浙江省杭州第二中学富春学校2026-2027学年高一上学期10月考试数学试题

2026—2027学年第一学期杭州第二中学富春学校 高一年级10月考试 数学试题 命题:黄跃龙 校对、审核:马文豪 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合为阴影部分表示的集合.若集合,集合,则集合( ) A. B. C.或 D.或 3.命题“,”否定是( ) A., B., C., D., 4.命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 5.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金,一位顾客到店里购买20g黄金,售货员先将10g的砝码放在天平的左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将10g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次秤得的黄金交给顾客,你认为顾客购得的黄金是( ) A.小于等于20g B.等于20g C.小于20g D.大于20g 6.若,是两个实数,且,有如下三个式子:① ,②,③ .其中恒成立的有. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.已知,则的最小值是( ) A.14 B. C.8 D. 8.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲.如图,“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形(黑色)围成的一个正方形,中间的部分是一个小正方形,过正方形的顶点作正方形,且.若中间最小的正方形的面积为1,,则正方形的面积为( ) A.25 B.36 C.49 D.64 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设正实数,满足,则( ) A.有最大值为 B.有最小值为 C.有最小值为 D.有最大值为 10.在下列结论中,正确的有( ) A.是的必要不充分条件 B.在中,“”是“为直角三角形”的充要条件 C.若,则“”是“,不全为0”的充要条件 D.一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件 11.生活经验告诉我们,a克糖水中有b克糖且,若再添加c克糖后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是( ) A.若,,则与的大小关系随m的变化而变化 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则一定有 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合,则 13.已知,则的取值范围为. 14.定义:对于非空集合,若元素,则必有,则称集合为“和集合”.已知集合,则集合所有子集中,是“8和集合”的集合有个. 四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合,. (1)求; (2)求; (3)定义,求. 16.(15分)(1)设,,均为正实数.证明:成立的充要条件是; (2)已知,求的最大值. 17.(15分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y(单位:万元)与处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似表示为,,已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品. (1)判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损? (2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少? 18.(17分)已知集合,. (1)若,求实数的取值范围. (2)若,求实数的取值范围. 19.(17分)对于给定的非空数集,定义集合, ,当时,称A具有孪生性质. (1)若集合,求集合,; (2)若集合,,且,求证:; (3)若集合,且集合C具有孪生性质,记为集合C中元素的个数,求的最大值. 试卷第1页(共3页) 试卷第1页(共3页) 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D D B A C ACD AC 题号 11 答案 BCD 1.D 2.D 【分析】根据给定的韦恩图,结合集合的运算求解. 【详解】集合,集合,则, 由韦恩图得或. 故选:D 3.B 【分析】根据全称量词的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定是存在性命题可知, 命题“,”否定是,, 故选:B 4.D 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“,”为真命题的充要条件:,恒成立. 即,.故其必要不充分条件为. 故选:D 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题. 5.D 【解析】设天平的左臂长为,右臂长,则,售货员现将10g的砝码放在左盘,将黄金放在右盘使之平衡;然后又将10g的砝码放入右盘,将另一黄金放在左盘使之平衡,则顾客实际所得黄金为,利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】解:由于天平两臂不等长, 可设天平左臂长为,右臂长为,则, 再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,, ,, , 当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立,即, 因此,顾客购得的黄金大于20g. 故选:D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值从而解决实际问题,考查推理能力与计算能力,属于中档题. 6.B 【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立. 【详解】① 不恒成立; ②恒成立; ③当时,,所以不恒成立.故选B. 【点睛】本题考查不等式的证明,难度一般.利用作差法证明不等式时,可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果. 7.A 【分析】根据给定条件,用含x的式子表示,再运用基本不等式求解作答. 【详解】因为,则, 于是得, 当且仅当,即时取“=”, 所以当时,取最小值14. 故选:A 8.C 【分析】设,根据勾股定理得,根据中间最小的正方形的面积为1得,从而求得,即可得解. 【详解】中,设,则由题意, 则中间小正方形的边长为,因为, 所以,所以,所以, 即正方形的面积为49. 9.ACD 【分析】A:直接由基本不等式求解出最大值;B:转化为二次函数通过配方法求解出最小值;C:利用“”的代换求解出最小值;D:通过平方运算和配凑法求解出最大值. 【详解】对于A:由,当且仅当时,等号成立,故A正确; 对于B:由,当且仅当时,取最小值,故B错误; 对于C:, 因为, 当且仅当时,等号成立,所以,故C正确; 对于D:因为, 又因为,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号,所以最大值为,故D正确. 故选:ACD. 10.AC 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解. 【详解】对于A中,由,可得,可得,所以充分性不成立, 反之:由,可得,可得,所以必要性成立, 所以是的必要不充分条件,所以A正确; 对于B中,在中,由,可得为直角三角形, 反之:由为直角三角形,不一定得到, 所以是为直角三角形的充分不必要条件,所以B不正确; 对于C中,若,由,可得不全为, 反之:当不全为,可得,所以是不全为0”的充要条件, 所以C正确; 对于D中,若一个四边形是正方形,可得它一定是菱形,所以充分性成立, 反之:菱形不一定是正方形,所以必要性不成立, 所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件,所以D不正确. 故答案为:AC 11.BCD 【分析】由作差法可判断ABC,由不等式的性质可判断D 【详解】对于A,,, ,,故A错误, 对于B,,, ,,故B正确, 对于C,,, ,, , ,故C正确, 对于D,,, ,, ,故D正确, 故选:BCD 12.; 【分析】直接根据集合的运算求解即可 【详解】,. 13. 【详解】设,则,解得, 于是, 由,得, 由,得, 因此,所以的取值范围是. 14.15 【解析】由新定义可得集合的子集中,、、、一定成组出现,再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意,集合的子集中,、、、一定成组出现, 当集合的子集中只有1个元素时,即为,共1个; 当集合的子集中有2个元素时,即为,共3个; 当集合的子集中有3个元素时,即为,共3个; 当集合的子集中有4个元素时,即为,共3个; 当集合的子集中有5个元素时,即为,共3个; 当集合的子集中有6个元素时,即为,共1个. 当集合的子集中有7个元素时,即为,共1个. 则集合所有子集中,是“8和集合”的集合有15个. 故答案为:15. 15.(1) (2) (3) 【分析】(1)由交集定义解之即可; (2)先求集合B的补集,再与集合A取并集; (3)先求集合B的补集,再与集合A取交集. 【详解】(1) 故 (2)由得 (3) 16.(1)证明:必要性:因为,,均为正实数, 所以,当且仅当时取等号, ,当且仅当时取等号, ,当且仅当时取等号. 所以, 即,当且仅当时取等号, 所以若,则,必要性成立. 充分性:若, 则,, 所以若,则,充分性成立. 所以成立的充要条件是. (2)7 【分析】(1)证明必要性利用三组基本不等式相加,等号同时成立推出;证明充分性直接代入验证等式成立; (2)先对式子变形凑出,由判断为负,提取负号构造正数,再使用基本不等式求最大值. 【详解】(1)略 (2)因为,所以,即, 所以, 当且仅当,即时,等号成立, 所以的最大值为7. 17.(1)该工厂不会获利,国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损; (2)40吨. 【分析】(1)求得工厂获利的函数表达式,结合二次函数的性质求得正确答案. (2)求得平均处理成本的函数表达式,利用基本不等式求得正确答案. 【详解】(1)当时,设该工厂获利, 则, 因为,故时,, 因此该工厂不会获利,国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损. (2)二氧化碳的平均处理成本为: , 当时, , 当且仅当,即时等号成立, 故的最小值为, 所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少. 18.(1)若,,即时,满足, ②若,即,则且,可得, 综上,. (2)先求反面, 情况1:,由(1)得,此时交集为空,满足, 情况2:,即, 若在左侧:,与矛盾,无解; 若在右侧:, 因此的解集为或, 取反面(即),. 19.(1),. (2) 由于集合,, 则集合的元素在0,,,中产生, 且,, 而,故B中最大元素属于,而为4个元素中的最大者, 故,即, 故,故中的4个元素为0,,,且与0,或或重复, 而,故即, (3)1350 【分析】(1)根据集合定义计算即可; (2)根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证; (3)根据集合定义先求出的最大值,再根据孪生性质证明即可. 【详解】(1)因为集合, 所以由1+1=2,1+2=3,1+6=7,2+2=4,2+6=8,6+6=12,可得, ,,,,,,可得. (2)略 (3)设满足题意,设, 则, ∴,又,∴, ∵,∴,即, ∴, 中最小的元素为0,最大的元素为,, ∴,即, ∴. 实际上当时满足题意, 证明如下:设,, 则,, 依题意有,即,故m的最小值为675, 于是当时,C中元素最多, 即时满足题意, 综上所述,集合C中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】关键点点睛:解题证明的关键点是应用孪生性质得出不等关系证明集合元素个数的最大值. 答案第1页(共2页) 答案第1页(共2页) 学科网(北京)股份有限公司 $