山西省太原市实验中学校2026-2027学年高三上学期数学周练（二）试题

太原市实验中学校2027届高三数学周练（二） 本卷满分150分，考试时间90分钟。 一、单选题（每小题5分，共40分) 1.复数z= 在复平面内对应的点所在象限是（） 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【分析】先根据复数的除法化简复数z,再根据复数几何意义可得 【详解】因为复数z= 2+i 由复数的除法得z= 2司- 12 所以复数z在复平面对应的点为 35 该点在第一象限 2.已知向量a=(1,-3),6=(2y),且a1i,则y的值为() A.6 2 B. 。号 D.-6 【答案】B 详解】因为向量a化-3,6=2，且a1万，则@-6=2-3=0，解得y子 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,A=135°，B=15°，c=2,则a=() A.2W2 B.2V3 C.2V5 D.2V6 【答案】A 【详解】因为∠A=135°，∠B=15°，故∠C=180°-135°-15°=30°， 由正弦定理得 AB BC ,即2 BC sinC sin 4 sin30°sinl35o' .ac-2x 12 =22,即a=22: 2 4.在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC,则AD=() A.AD=24B+1AC B.AD-14B+2AC 3 3 C.AD=AB+2AC D.AD=24B+AC 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算公式化简可得 【详解】已知D=B+B0=B+号BC=B+(4C-) 3 2 所以AD=!AB+2AC, 3 试卷第1页（共10页） 故选：B B D 5.若a=(2cosa,1),b=(sina,1),且dlb,则tana=() A.1 B.2 C.2 D. 5-2 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标表示即得。 【详解】a=(2cosa,1),b=(sina,1),且alb, .2cos a=sin a, 'tan a=2. 故选：C 6.已知数列{a,}满足a=1,a1-an=2”，则a。=() A.511 B.1023 C.1024 D.2047 【答案】B 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可！ 【详解】由题可知：an1-an=2”, 当n22时，a。-a1=2"，an-an2=2-2.…42-4=2, 累加得：01-4=2+2+2+2+2”-20-2）=21-2， 1-2 所以a=21-2+a=2-1,即a,=2”-1,又4=1也适合， 则a。=20-1=1023. 7.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D,其中∠BCD=α， ∠BDC=B.现测得a=15°，B=120°，CD=10m,在点C处测得塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为 () 试卷第2页（共10页） A.10v2m B.152m C.30v2m D.352m 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得∠CBD=45°，由正弦定理可得BC,然后在Rt△ABC中，由AB=BC.tanO, 即可得到结果. 【详解】在△BCD中，∠CBD=180°-15°-120°=45°， s咖CDsinB则BC=CDsin10x CD BC 由正弦定理可得， sin∠CBD 2=56m, √ 2 在Rt△ABC中，AB=BC.tan0=5V6xV3=15V2m 8.若直线y=ax+b是曲线f(x)=lnx+1的切线，也是曲线g(x)=ln(x+2)的切线，则b=() A.In2 B.1-In2 C.1+In2 D.2-In2 【答案】A 【分析】分别设出切点，结合导数的几何意义列出方程组，求出答案 【详解】因为直线y=c+b是曲线f(x)=lx+l的切线，也是曲线g(x)=n(x+2)的切线， 所以这两个切点都在直线y=ax+b上.设两个切点分别为(，+b),（x2,2+b), 且f()=1,g)=1 +2,则k=11 书+2，即x=,+2 c+b=lnx+1① 由切点在各自曲线上，得 a,+b=n(+2)②’将x=为+2代入①得 +2+6=h(6+2+1回.@®闲2水=1.解得= 由k==1 =元5+2得=2，名=0，由①得1+b=h2+1,解得5=n2 二、多选题（每小题6分，错选不得分，部分选对得部分分) 9.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=5,S4=16,则() A.a=9 B.S。=100 试卷第3页（共10页） C. n 是等比数列 D.{an}是递增数列 【答案】ABD 【详解】S=a+a)=2a+a)=2a+5列=16→4=3. 所以公差d=a-a2=5-3=2>0, 所以an=3+2(n-2)=2n-1, 从而a=9,故A和D正确： S=a+a,)=,所以，=100，号=n为等差数列，放B正确，C错误 10.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH, 其中0A=1给出下列结论正确的是() A 图1 图2 A.OA与Oi的夹角为 B.OD+OF=OE loi-oco c D.01B=2-1 2 【答案】ACD 【分析】利用正八边形ABCDEFGH的特征，结合向量的线性运算及向量数量积的定义逐一分析运算即可 【详解】对A,因为八边形ABCDEFGH为正八边形，所以∠AOH=2匹=交 8=41 所以OA与Oi的夹角为牙，故A正确： 对B,由于四边形ODEF不是平行四边形，所以OD+OF≠OE,故B错误； 对c,∠40c=2×年-所以lo1-0d==5o=5,DM=2lo=2, 所以oi-0G-号Dm放c正确： 对D,因为AB=0B-OA, 所o,=aio-0网-a1.0丽-O4=11om子1-号-1：故DE 2 故选：ACD 试卷第4页（共10页） 1.已知函数f()=ac02r-n2x(其中a,b为常数，且ah+0),若函数f()的最大直等于f() 则下列选项正确的是() A.若6是面数fe)的两个相都零点，则（佰生受）州 B.a)--) C.将函数()的图象向右平移日x个单位长度后，图象关于原点对称 D.若函数f(ox)(o>0)在区间[0，π]上恰有3个零点，则0∈ 13197 12'12 【答案】BC 【分析】根据题意，化简得到f(x)=2acos 2+} 结合选项，利用正弦函数的图象与性质，以及三角 函数的图象变换，逐项计算，即可求解 【详解】设f(x)=acos2x-bsin2x=Acos(2x+p),其中A=Va+b2,a=Acos,.b=Asino, 因为函数f()的最大值为A,且心)的最大值等于〔，可得（君）=4， 即Aco-子+p)=4,即co(-子+o)=l,所以-子+p=2akeZ. 即p-骨+2eZ,可得p-子片以a=4cm号号b=4m-4 3 2 可得a>0,6-=5a,所以f()=acas2x-V5asin2x=2acsy2x+写) 对于A.由/)=2acw2x+写}=0，可得eas2x+3=0, 所以2x+=+低，k∈Z,可得x=+,k∈Z, 32 122 因为西足至数化两个相部安点设=晋+经-骨任Z 12 2 则+五=+2k+n,keZ, 12 学2个侣）月-2ae小-ez.不 对于B,由fx-=2acas2cx-+-2acs2x, 汉由/x-君引-2amx-+到}-2am20-22x， 所以x(x- 所以B正确； 对于C,函数f()的图象向右平移π个单位长度后， 12 试卷第5页（共10页） 可得y=fx-）-2a2(-到}-2am个2x引-2am-22m2x. 所以画数)=（一资为奇画藏，所以它的图家关于原点对春，所以C正箱： 对于D,函数fox)2acos2or+b 由x∈[0，，可得2ox+∈ 因为函数f(@x)在区间x∈0，上恰有3个零点，所以s2om+<7π 32 解得Bs0< 19 1319 12 即@的取值范相为 2'12 所以D不正确， 三、填空题（每小题5分，共15分) 12.已知向量a与6夹角为30°，且a=5,-2,则a- 【答案】1 【详解】因为(a-}=d+6-2a-6=3+4-2×5×2xcos30=7-4N3×5-l, 所以a-=1 13.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S6=48,S2=60,则Ss的值为 【答案】63 【分析】应用等比数列前n项和的性质，Sn,S2n-Sn,Sm-S2m仍成等比数列求解即可. 【详解】根据片段和性质，有(S2-S)2=S。(S8-S2),则(60-48)2=48×(S8-60),解得S=63。 14已知在数列a}冲，4=2，Q4,设数列a0的前n现和为8：若不等式a+8k>8对 VneN恒成立，则k的最小值为 【答案1号 【分析】由条件得到数列(n+1)an}的性质，从而得到数列{an}的通项公式，然后得到数列{a,a1}的通项 8 公式，由裂项相消得到其前n项和为S,然后整理不等式得到2+6+10”借助基本不等式求得n+6最 n 小值，从而知道k的最小值。 【详解】由题意知(n+2)an1=(n+1)an,则数列{(n+l)an}是首项为(1+1)×2=4的常数列， n 7aa14x4=6 4 n+1*n+2(a+1)a+2-16 11 (n+1n+2 试卷第6页（共10页） 8n Sn=16× 233445 n+1n+2厂n+2' 8n 8 16+10' 2n+8(n+2(n+8)n+ +16≥8，当且仅当n= 16 ~n>0,∴n ,即n=4时取等号， n …k 9 则k的最小值为4 故答案为： 9 四、解答题 l5.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin2C=sinC. (1)求∠C: (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长. 【俗案】02C- (2)10+2V7 【分们]（根据正弦二信角公式得到c(-方得到答案： (2)根据三角形面积得到方程，求出a=4,由余弦定理得到c=2√7，得到周长 【详解】(1)在aABC中，：sin2C=2 sinCcosC=sinC, 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, cosC-又C∈(0，，故zC=” 3 (2)由)知∠C-骨若h=6,且△1BC的面积为nC-x6a 2 2 5-65 故a=4, 1 在△ABC中，由余弦定理得c2=b2+a2-2 abcosC=36+16-2×4×6×5=28, 2 .c=27, △ABC的周长1=a+b+c=10+2√7. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn+1=2an. (1)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=an+2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn. 试卷第7页（共10页） 【答案】(1) 0n=21 (2) Tn=2"+n2-1 【分析】(1)利用an与Sn的关系式即可求解： (2)由(1)得出数列{b},然后利用分组求和法和等差数列，等比数列求和公式求解即可 【详解】(1)当n=1时，S,+1=2a,得a,=1, 当n≥2时，由Sn+1=2an得，Sn-1+1=2an, 两式相减得：an=2an-2an-1,an=2an1, 所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，且an=21 (2)由(1)知bn=an+(2n-1)=2-1+2n-1, 所以Tn=b+b2+b+…+bn=2°+1+2+3+22+5+…+2+(2n-1), 所以7，=2°+2'+2++2+1+3+5++(2n-）=-1-2++21-n 1-2 2 即Tn=2”+n2-1. 17.已知△ABC,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且L 2cos B sin A 2sin C+sin B (1)求A: 35 (2)若C=3,SAc= 2,D为BC边上的中点，求AD的长. 2π 【答案】(I)A= 3 (②)AD= 2 【分析】(l)根据sinC=sin(A+B),结合已知条件整理化简，求得cosA,则A得解： (2)根据面积公式，求得b,再由余弦定理求得a,利用余弦定理求得cosB,再在△ABD中，由余弦定 理求得AD. sin 4-2sin C+sinB2sin C+sin B=2sin Acos B, 1 【详解】(1)因为 2cosB sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin 4, 2sin Bcos A+2cos Bsin A+sin B=2sin Acos B, 试卷第8页（共10页） 得2 sin Bcos A+sinB=0,且Be(0,π)，则sinB≠0， 可得c@sA=分且40动，所以A-行 31 (2)如图： D B 因为c=3,A=2红 3 由Sc=besin A=2，所以，×3×bx3=V3。盒 解得b=2, 2 2 2 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A=4+9-2x2x3× 、2 =19,则a=19, 又D为BC边上的中点，所以BD= 2 在△ABC中，由余弦定理得，则cosB=+c-_19+9-4-4 2ac 2×V19x319’ 在a4BD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB-BDc0sB=9+9-2X3××4四_7 4 2 194 所以AD=V7 2 18.己知数列{an}满足：a=1,an=2an+n-1 (1)证明：数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)设bn=(2n-1)(an+n),求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】(1)证明见解析，an=2”-n;(2)Tn=(2n-3)2+6. 【分析】(1)由题设中的递推关系可得a1+(n+1)=2an+2n,从而可证{an+n}是等比数列，利用等比数 列的通项公式可求{an}的通项公式. (2)利用错位相减法可求T。 【详解】(1)证明：因为an=2an+n-1,所以an+(n+)=2an+2n, 因为4+1=2≠0，故a,+n≠0即t+-2, ar+n 所以数列{an+n}是以2为首项2为公比的等比数列， 试卷第9页（共10页） 则an+n=22=2”,故an=2”-n (2)bn=(2n-1)(an+n)=(2n-l)2”, 则Tn=2+3×22+5×2+…+(2n-1)2"①， 2T,n=22+3×23+5×2+…+(2n-3)2”+(2n-1)2m②， ①-②得：-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2”-(2n-1）2 =2×2+22+…+2”）-2-(2n-1)21=-(2n-3)21-6, 所以Tn=(2n-3)2+6. 试卷第10页（共10页）太原市实验中学校2027届高三数学周练（二) 本卷满分150分，考试时间90分钟。 一、单选题（每小题5分，共40分) 1.复数z= 在复平面内对应的点所在象限是（） 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(1,-3),b=(2,y),且⊥，则y的值为() A.6 c.-2 D.-6 3 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=135°，B=15°，c=2,则a=() A.2V2 B.25 C.25 D.2√6 4.在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC,则AD=() A.初-号孤+号C B.D-+号c C.AD=AB+2AC D.AD=24B+AC 5.若a=(2cosa,1),b=(sina,1),且ab,则tana=() A.1 C.2 D 5-2 6.已知数列{an}满足a4=1,an1-an=2”,则ao=（) A.511 B.1023 C.1024 D.2047 7.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D,其中∠BCD=a, ∠BDC=B.现测得ax=15°，B=120°，CD=10m,在点C处测得塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为() A.10v2m B.15v2m C.30v2m D.35√2m 8.若直线y=ac+b是曲线f(x)=lnx+l的切线，也是曲线g(x)=n(x+2)的切线，则b=() A.In2 B.1-In2 C.1+In2 D.2-In2 试卷第1页（共3页） 二、多选题（每小题6分，错选不得分，部分选对得部分分) 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=5,S4=16,则() A.a5=9 B.S0=100 c.是等比数列 n D.{a}是递增数列 10.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH, 其中OA=1给出下列结论正确的是() 图1 图2 A.OA与0i的夹角为 4 B.OD+OF=OE e.Ji-o D.0AB=5-1 1.已知弱数了闪=acs2x-in2x(其中ab为常数，且ah≠0)，若西数f()的景大值等于f(君 则下列选项正确的是() A.若x,x2是函数f(x)的两个相邻零点， 则(32 .f) C.将函数f(x)的图象向右平移5 π个单位长度后，图象关于原点对称 山.者蚕版a侧)(o>0)在区印上合有3个罗点，则e[侣 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.己知向量a与6夹角为30°，且a=5,园=2，则a-= 13.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S6=48,S2=60,则S1s的值为 14.己知在数列a,}中，a=2,a”十20，设数列a4}的前n项和为8，若不等式a+8k>S对 neN恒成立，则k的最小值为一 试卷第2页（共3页） 四、解答题 l5.记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知sin2C=sinC. (1)求∠C: (2)若b=6,且△ABC的面积为6V3,求△ABC的周长. 16.己知数列{an}的前n项和为Sn,Sn+l=2an. (1)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=an+2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn. 1 2cos B 17.己知△ABC,其内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 sin A 2sin C+sin B (1)求A: (②若c=3,Sc35,D为BC边上的中点，求D的长 18.已知数列{an}满足：4=1，a1=2an+n-1 (1)证明：数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)设bn=(2n-1)(an+n),求数列{bn}的前n项和Tn 试卷第3页（共3页）