精品解析：山西现代双语学校学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026-2027学年第一学期高三年级一轮复习检测 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，通过比较与进行判断，对于B，利用偶函数的定义分析判断，对于C，由函数的定义域是否关于原点对称进行判断，对于D，利用偶函数的定义分析判断. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为 ，则为奇函数，不是偶函数，故D错误. 故选：B 3. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 若正实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对等式直接利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】， ， 当且仅当，即等号成立， 故选：B 6. 已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且 即且，解得，即正数的取值范围是. 7. 已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意得出，从而求的值； 【详解】设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示， 若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数， 则，即，解得， 又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是一次函数且，则 B. 与表示同一个函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D． 【详解】A，因为是一次函数，可设， 所以，即， 所以解得所以，A正确； B，与的定义域均为， 又， 所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； C，函数的定义域为， 由，得，则函数的定义域为，故C错误； D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确． 10. 已知，则a，b满足的关系有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据，结合基本不等式可判断BCD的正误. 【详解】由，则， A：，正确； B：由A知：且，所以，即，故正确， C：由A、B知：，而，故错误， D：由上，，故正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图像，结合图象，可得判定A正确；结合图象得出，可得判定C正确；由二次函数的性质，得到，求得，再由，可判定B错误；令，令，得到，求得方程的根据，结合函数的图像，得到函数零点的个数，可判定D错误. 【详解】作出函数 的图像，如图所示， 对于A，方程有四个不同的根，即与的图像有4个交点， 结合函数的图像，可得，所以A正确； 对于C，由函数的图像，可得，即，解得，所以C正确； 对于B，由函数的图像，可得，所以，且， 又由，可得，即，所以， 因为， 所以，所以B不正确； 对于D，由函数，令，则， 令，即，解得， 当时，由函数的图像，可得有0个根； 当时，由函数的图像，可得有2个根； 当时，由函数的图像，可得有3个根； 当时，由函数的图像，可得有3个根， 所以函数有8个零点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【详解】配凑法： 故答案为： 换元法：令，则，代入可得 故答案为： 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即：  ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得 , 综合三个条件，得的取值范围是. 14. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数是偶函数． （1）求 ； （2）解不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合偶函数性质以及对数运算法则即可解出； （2）结合对数运算法则，将原函数化成对数形式，则不等式等价为，求解即可 【小问1详解】 是偶函数，，即对任意恒成立，，． 【小问2详解】 ∵， 则不等式等价于，由解得； 由得，得，即， 综上，不等式的解为 16. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 17. 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2） 在上单调递增. 由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此 ， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以在上单调递增. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. 【小问1详解】 根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 19. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，对，，求的取值范围； （3）设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在，． 理由如下： ． 中，显然，时，且单调递减； 时，且单调递减， ， 故关于中心对称， 令，方程可化为①， 方程有且仅有4个解，则方程①有两个不等正根，， 所以，解得， 四个解从小到大排列为，根据的对称性， 不妨设，， 由，可得， 因为，所以，即， 联立，化简得， ，解得： 综上，存在，． 【解析】 【分析】（1）结合指数的运算化简即可求解； （2）令，可将问题转化为．恒成立，结合二次函数的图像与性质研究即可求解； （3）令，将问题等价于方程有两个不等正根，，利用根与系数关系求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ，由（1）得， ． 令，则，． 即，令，对称轴， ①即时，最小值为，故只需或， 得或； ②即时，最小值为，故只需， 综上：或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三年级一轮复习检测 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 30 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是一次函数且，则 B. 与表示同一个函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 10. 已知，则a，b满足的关系有（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求的解析式为_________. 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数 的取值范围是_____. 14. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数是偶函数． （1）求 ； （2）解不等式 16. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 17. 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 19. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，对，，求的取值范围； （3）设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $