山西现代双语学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

**基本信息** 2026-2027学年高三9月月考数学试卷，120分钟150分19题，聚焦函数、导数、立体几何等核心内容，通过基础辨析与综合应用梯度设计，考查抽象能力与推理能力，适配高三一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、函数奇偶性与周期性|基础概念辨析，如第3题奇函数性质判断| |选择题（多选）|3/18|双曲线性质、函数极值与零点|多维度能力考查，如第10题函数性质综合判断| |填空题|3/15|幂函数、命题真假、不等式|数学语言表达，如第14题基本不等式求最值| |解答题|5/77|三角函数、含参函数单调性、立体几何证明与空间角|分层设计，如第16题分类讨论导数应用，第17题几何直观与空间推理|

2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分试题个数：共19题) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A=x∈Nx2-x-12<0,B=x2<82,则AnB=() A.{-2,-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{1,2} D.(-3,3) 2.已知函数fx)= (log4x,x>0 3x4-1,x≤o 则ff(-2)=() A月 B.1 C.-1 D.-2 3.已知fx)=x3+b-2)x2+3x是定义在a-2b,2a+b]上的奇函数，则() A.a=-6,b=2 B.a=-6,b=-2 C.a=2b=-2 3 D.a=3.b=2 4.设fx)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，fx)=5-2x,则 f(-)() A月 B.- c D. 5.已知定义在R上的可导函数fx)满足fx)+f'x)>0恒成立，且fO)=1,则下列不等式一 定成立的是() A.f(1)<e B.f(1)>e c.f)<日 D.f四>日 6.函数fx)=log1x2-Qx-1)在1，+∞)上单调递减的一个充分不必要条件是() A.a<-1 B.a≤0 C.a>1 D.a≥2 7.己知a=ln2,b=e-02,c=2则() A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>b>c 第1页/共 -x2+6x-7,x≥3 8.已知函数f(x)= og,(c+1以，-1<x<3若关于x的方程[/(+m()+m+3=0有6 个根，则的取值范围为 A.(-号，-3] B.（-3,-2 c.(3,-2 D.(号，-3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>0,b>0,且a+b=1,则() A.2a-b>1 B.√a+Vb≤√2 C.1og2a+1og2b≥-2 D.+≥ 10.设函数fx)=x-3x2+a,则下列结论正确的是() A.x=0是fx)的极大值点 B.若fx)的图像关于1，b)对称，则a-b=2 C.若fx)在t,t+2]上的最大值为a,则tE[-2,0] D.当且仅当0<a<4时，fx)恰有三个零点 1.已知双曲线E:x2-兰=1的左、右焦点分别为，F2,P在双曲线右支上，则下 列说法正确的是() A.PF-PF2=2 B.若∠F,PF2=90°，则|PF,‖PF=3 CP到E的两条渐近线的距离之积为 D.若M(3,1),则PF2+|PM的最小值为V26-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若幂函数fx)=m2-m-1)x2m-3在(0，+o)上单调递增，则实数m的值为 13.已知命题：“3x∈R,ax2-ax-2≥0”为假命题，则a的取值范围是 14.已知正实数a,b满足bWa2-7-√4-b-bln,则a+2b的最小值为 2页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且V√3 acosC=2b-V3 c)cosA ①求角A的大小： (四若a=2,求△ABC面积的最大值. 16.（15分)已知函数x)=x2-(a-2)x-amx(a∈R), (1)当a=1时，求函数y=x)的单调区间； (2)求函数y=x)的单调区间 17.(15分)如图，在三棱维P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,∠BAC=90° 点E为BC的中点，点M为PE的中点， (1)证明：AM1BC; (2)求直线AM与平面PBC所成角的正弦值： (3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的余弦值. M E 18.(17分)己知函数fx)=四-2-a. xx (1)当a=1时，求曲线y=fx)在点L,f(1)处的切线方程： (2)若a>0,函数g(x)=x2fx)有两个极值点x1,x2x1<x2). (①)求实数a的取值范围： ()当x1,x2满足lnx1一lnx2≥ln2时，求实数a的最大值. 第2页/共2 19.(17分)已知函数fx)=ax++c(a>0)的图象在点1，f1)处的切线方 程为y=x-1. (1)用a表示出b,c; (2)若fx)≥nx在[1，+∞上恒成立，求a的取值范围； (3)i证明1+台+号+…+片hm+)+3n>1+号+兮十…+片3n 23 n 23 n20n+0,n≥1.2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B A D A D A B 二、选择题： 题号 0 10 11 答案 ABD ABD ACD 三、填空题： 12.2 13.(-8,0] 14.4 部分小题： 6.【解析】解：令t=x2-ax-1,因为y=log1t定义域上单调递减， 要使函数y=logx-ax-1)在L+o)上单调递减。 则有t=x2-ax-1在(L,+oo)上单调递增，且t≥0恒成立， 所以s ,解得a≤O,所以只有A选项才是a≤0的充分不必要条件. 1-a-1≥0 故选：A. 7.【解析】解：由b=e02,c=名，将两式同乘e得e9与2， 由e>32=25,对不等式两边同时开5次方，可得e08>2,因此，e-02>2,即b>c. 构造函数fx)=nx-。x>0,求导得fx=-=x 当xE(0,e)时，f'x)>0,f(x)单调递增，当xE(e+∞)时，fx)<0,fx)单调递减， 因此，fwma=f@=0.代入x=2,得f2)=lm2-名<0，即ln2<名可得a<c.综 c>a. 8.【详解】作出函数∫(x)的大致图象， 2 令t=f(x).当t<0或t>2时，方程f(x)=t有1个根 当t=0或t=2时，方程f(x)=t有2个根： 当0<t<2时，方程f(x)=t有3个根. 原方程可化为t2+t+m+3=0.要使原方程有6个根，关于t的方程必须有两个不同的根，且 两个根都属于(0,2).令q(t)=t+t++3. △=2-4m-12>0 0、、 <2 7 因为二次项系数为正，所以需满足〈 2 ，由此得- <<-2. 3 q(0)=m+3>0 1q(2)=3+7>0 故m的取值范围为 10.【解析】解：对于A,因为fx)=x3-3x2+a,所以fx)=3x2-6x=3x(x-2), 所以当x<0时，f'(x)>0,函数fx)单调递增，当0<x<2时，f'x)<0,函数fx)单调递减，当 x>2时，fx)>O,函数fx)单调递增，所以x=0是f(x)的极大值点，故A正确： 对于B,若函数f(x)的图像关于(1，b)对称，则fx)+f(2-x)=2b, 又因为f(x)+f2-x)=x3-3x2+a+(2-x)3-3(2-x)2+a =x3-3x2+a+8-12x+6x2-x3-3(4-4x+x2)+a=x3-3x2+a+8-12x+6x2-x3- 12+12x-3x2+a=2a-4,所以2a-4=2b,所以a-b=2,故B正确； 对于C,由A知，f(x)在(02)上单调递减，在(-∞，O]和[2，+∞)上单调递增， 所以fx极大位=f0)=a,因为f3)=33-3×32+a=a,所以要使fx)在：，t+2]上的最大值为a, 财5清足作千2》≥0二9-，解得-2≤t≤0或t=1,放C错误： 对于D,由A知，f(x)极小值=f(2)=a-4,fx)极大值=f(0)=a, 当x→+o时，f(x)→+0∞，当x→-0o时，f(x)→-o, 上，b> 第1页/共4页 因为fx)恰有三个零点，所以f0)f2)<0,即a(a-4<0,解得0<a<4,故D正确. 故选：ABD 11.【解析】解：由双曲线方程可得：a=1,b=V3,c=2, 点P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得：PF-PF,引=2a=2,故A正确； 对于B,若∠FPF2=90°，所以PF2+PF2P=|F,F22=4c2=16, 又因为PF-PF2=2,则1PF,P+PF2P=PF-1PF22+2PF·PF2=16, 解得：PF·PF=6,故B错误： 对于C,F(-20,由E:2-号=1可得双曲线的渐近线方程为x±y=0, 由点到直线的距离公式可得，设点P化，y,则号-兰=1，即=3-3， 侧则Pxy到双曲线E的两条渐近线的距离之积为N!山×N3+1-31-号故c正确； 对于D,由双曲线的定义可得引PF-PF2=2,所以PF2=PF-2, 则PF2+IPM|=IPF-2+IPM|,当M,P,F,三点共线时，PF+|PMI最小， 且MPFl+PMDmin=lMF引=√(3+22+12=V26, 故IPF2+IPM的最小值为V26-2,故D正确.故选：ACD. 故答案为(-8,0]. 14【解析】解：由正实数a,b满足WQ2-7-V4-b=bln空可知， Va27-4-b2 -h即V7-√产=a+h号 4-b2 b 整理得Va2-1-lna=, 层2-1- 令fx)=Vx2-1-lnx,x≥1，当x>1时，fx)= x1=2-2>0, x2-1 x xvx2-1 函数f)在L,+o上单调递增，又V-7-na=√层2-1-h号即f@)=f存.则a=系 所以ab=2,所以a+2b≥2√2ab=4.当且仅当a=2,b=1时，等号成立，得最小值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】解：)由正弦定理可得：V3 sinAcosC=2 sinBcosA-V3 sinCcosA, 从而可得：V3sin(A+C)=2 sinBcosA,即V3sinB=2 sinBcosA, 第 又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是c0sA=只，又A为三角形内角，所以A-君 >M 由余弦定理：d2=b2+c2-2bc0sA△，得：4=b2+c2-2bc号≥2bc-Vbc, 所以bc≤42+V3,所以S=besinA≤2+V3,即△ABc面积的最大值为2+V3. 16.解()由题意得，当a=1时=r2+xln七，定义域为(0，+0），则f=2x+1=2x+1= (x+1)(2x-1) x 令f0,得0<r 令f>0,得x心所以)在(0，内单调递减，在G+0)上单调递增， (2)由题可知函数d)的定义域为(0，+0）)，且f)=2x-a-2)=22@-2xe=+02x四 (i)当a≤0时fx)>0在(0，+o)上恒成立x)在(0，+o)上单调递增； (i西当a>0时，令f<0,即2x-a<0,解得0<号令f心w>0,即2x-a>0,解得x所以)在(0,9内 单调递减，在(+o)上单调递增。 17.【解析】解：)证明：以A为原点，分别以AC,AB,AP所在直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. 则A00,0),C(2,00),B(02,0),P(002). 点E为BC的中点，所以E(L,L0以点M为PE的中点，所以M(分，)， AM=(2,BC=(3-20. 计算数量积得AM·BC=?2+号(-2)+1,0=0.因此AM1BC. 2)平面PBC经过点P0,0,2),C(2,00),B(0,2,0),其方程为x+y+z=2. 所以平面PBC的一个法向量为元=(L,L,1).直线AM的方向向量可取)=(L,L,2). 设直线AM与平面PBC所成角为0，则sin0= 材 计算标i=1+1+2,间=V6.园=V.所以sn0-高克9 (3)设平面ABM的法向量为元=x,y,z),平面ABM中AB=(O,2,O). 2页/共4页 则m1AB m·AB=2y=0 因此 m⊥AM A丽=方x+》+2=0y=0x=2, 令z=1,得m=（-2,O,1).设平面ABM与平面PBC所成二面角为0， 则0s0= 元m -2+0+1 V15 √3×√⑤ 15 结合图形可知，所求二面角为锐角，故余弦值取绝对值， 即平面ABM与平面PBC所成二面角的余弦值为 15 18.【解析】解：当a=1时，函数f=受-是-1，f)=-3, f-30,则f=3, 所以曲线y=fx)在点(L,f1)处的切线方程为y+3=3(x-1),即3x-y-6=0. (2)(i)g(x)=x2f(x)=xlnx-2x-ax2,g'(x)=Inx-2ax-1, 因为函数g(x)有两个不同的极值点x1,x2,所以x1,x2是g'x)的零点， 由lmx-2ax-1=0,得2a=-1.设hx)=nx-1,则h'x)=2- X x2 当0<x<e时，h(x)>0,h(x)单调递增，当x>e时，h'x)<0,h(x)单调递减， 所以h6max=he2)=之： 当x=e时，h(e)=0,当x>e时，h(x)>0, 结合h(c)的图象的变化趋势可知，0<2a<之，所以0<a< 2e2, 即a的取值范围为(022) (i由条件可知，lnx1-2ax1-1=0,lnx2-2ax2-1=0, 则2a=n12=22,且e<<e2<x2. X2 不妨令t=2t>),将x2=tx代入n-1=2已中， 得tnx-)=mt+mx-1,则nx-1=营 设md=答t>1,则m0)=二， t(t-1)21 令p(t)=t-1-tntt>),则pt)=-lnt<O,所以p(t)在(L,+oo)上单调递减， 则pt)<p)=0,即mt)<0,所以m(t)在(1，+∞)上单调递减. 由x1-lx2≥lm2得，n2≥lm2,所以t≥2， X1 因此mt)在区间[2，+o)上单调递减，即mt)≤m(2)=ln2, 于是lnx1-1≤ln2,所以x1≤2e,则x1∈(e,2e], 又2a=nx1-1,令ux)=nx-1,由)可知，vx)在区间(e,2e上单调递增， x1 所以na=v2e)=努则0<2a≤g解得0<a≤铝 故实数知的最大值为号 19.(17分)已知函数fx=ax++c(a>0)的图象在点l,fl)处的切线方程为y=x-1. )用a表示出b,c: 2)若f(x)≥lnx在[1，+oo)上恒成立，求a的取值范围： 6证明1+号++会n+》+0>1+号行++片n之1 n 【解析】解：(f)=ax++ca>0,∴f=a-名， f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=x-1, .f'l)=a-b=1,∴.b=a-1, 又f(1)=a+b+c=2a-1+c=0,∴.c=1-2a: 2由得f=ax+实+1-2a, g(x)=f(x)-Inx ax+a+1-2a-Inx, 则g(x)≥0在1，+)上恒成立， grw-a-学-2-a-山-@a-9-山， x2 x2 令g=0,解得：x=。2,为=1， 当≤1，即a≥时，gx≥0在，+0上恒成立， ∴g(x)在1，+∞)上单调递增，∴gx)≥g()=0,满足题意， 当。>1，即0<a<时， 若x∈1，。)，则g)<0,则gx)在(1，。2)上单调递减， 此时g)<g()=0,不合题意；综上所述：a的取值范围为分，+∞： 第3页/共4页 (3)先证左边：由(2)知：当a≥时，fx≥lnx在，+)上恒成立， 那么当a=时，b=?-1=-分c=1-2×3=0, 则fw=x-=-, 则fx=x-≥x在，+o)上恒成立， 又f0=1-》=0,fx=x-≥mx中的等号在x=1处取得， 则fx=x->x在4，+o)上恒成立， 令x依次取导多手，可得： 异->m2,得>2情>哼…告开>兴 n >1n2×2x号×.×)=m+, m+1++号+，+2-m-克言1>m+, 23 21++写+…+片+中->hn+, 3 22(m+1) 再证右边： 方法一：令9=x-1+片因为gx-士克-号 所以g(x)在(O)上是单调递减函数，在L,+∞)上是单调递增函数， 所以g(xmm=g()=0,所以g(0≥0， 所以x>1>,所以1+>1京高 所以，1+片+日点】>婴，点+京=公信+ 即+中>1+分+片所以右边得 方法二：先证明不等式<x<x-x>, x+1 证明如下：设f=mx-2,x>1, f0=是-20x+0-26-】=x-12 (x+1)2 x(x+102 当x>1时，fx)>0,则f(x)在(L,+o)上是单调递增函数， 又f0=lm1-21-业=0， 1+1 则当x>1时，fw>f)=0.即x>2号x>: 设g(x=x--x(x>D, 而g闭+-生 当x>1时，g'(x)>0,则g(x在(1，+∞)上是单调递增函数， 又g(0=21--ml=0, 则当x>1时，9x>gW=0,即时x-之>lx(x>1: 综上可得，2D<x<c-,化>). X+1 x=1+会则1+克>2芒 1+2+1 即1+>品又品>品对测1+>京下同方法一， 第4页/共4页 2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 3.已知是定义在上的奇函数，则(    ) A. ， B. ， C. D. 4.设是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 6.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为 A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，，且，则(    ) A. B. C. D. 10.设函数，则下列结论正确的是(    ) A. 是的极大值点 B. 若的图像关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线右支上，则下列说法正确的是(    ) A. B. 若，则 C. 到的两条渐近线的距离之积为 D. 若，则的最小值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若幂函数在上单调递增，则实数的值为        ． 13.已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是           ． 14.已知正实数，满足，则的最小值为     ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （13分）在中，角，，的对边分别是，，，且 Ⅰ求角的大小； Ⅱ若，求面积的最大值．   16.（15分）已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 17.（15分）如图，在三棱锥中，平面，，点为的中点，点为的中点． 证明：； 求直线与平面所成角的正弦值； 求平面与平面所成二面角的余弦值． 18． （17分）已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 若，函数有两个极值点， 求实数的取值范围； 当，满足时，求实数的最大值． 19． （17分）已知函数的图象在点处的切线方 程为． 用表示出，； 若在上恒成立，求的取值范围； 证明．  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高三年级数学学科 9月月考命题情况调研表 2026年 9 月 题号 题型 考点 题目来源 难度系数 1 客观 集合的运算、解不等式 选编改编 0.95 2 客观 分段函数 选编改编 0.95 3 客观 奇偶性求参 选编改编 0.9 4 客观 奇偶性、周期性求值 选编改编 0.9 5 客观 单调性应用 选编改编 0.7 6 客观 复合函数单调性 选编改编 0.6 7 客观 指对幂比大小 学科网 0.5 8 客观 复合函数零点问题 选编改编 0.4 9 客观 基本不等式综合 选编改编 0.8 10 客观 三次函数综合应用 选编改编 0.7 11 客观 双曲线综合应用 学科网 0.3 12 客观 幂函数 选编改编 0.9 13 客观 量词命题、恒成立问题 选编改编 0.7 14 客观 函数求最值 学科网 0.3 15 主观 简单的解三角形问题 学科网 0.85 16 主观 导数与函数单调性 学科网 0.7 17 主观 立体几何 学科网 0.65 18 主观 导数的综合 学科网 0.6 19 主观 导数与数列综合 学科网 0.4 Sheet2 Sheet3 $null20262027学年高三年级上学期9月月考 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂☐ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][BJ[C][D] 二、多项选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14. 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M E B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A D A B C   二、选择题： 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ACD 三、填空题： 12.2 13.  14.4 部分小题： 6.【解析】解：令，因为定义域上单调递减， 要使函数在上单调递减， 则有在上单调递增，且恒成立， 所以，解得，所以只有选项才是的充分不必要条件． 故选：． 7.【解析】解：由，，将两式同乘得与， 由，对不等式两边同时开次方，可得，因此，，即． 构造函数，，求导得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此，．代入，得，即，可得．综上，． 8.【详解】作出函数的大致图象， 令 ．当 或 时，方程 有 个根； 当 或 时，方程 有 个根； 当 时，方程 有 个根． 原方程可化为要使原方程有 个根，关于 的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于 ．令 因为二次项系数为正，所以需满足，由此得 故 的取值范围为. 10.【解析】解：对于，因为，所以， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是的极大值点，故A正确； 对于，若函数的图像关于对称，则， 又因为 ，所以，所以，故B正确； 对于，由知，在上单调递减，在和上单调递增， 所以，因为，所以要使在上的最大值为， 则需满足或，解得或，故C错误； 对于，由知，，， 当时，，当时，， 因为恰有三个零点，所以，即，解得，故D正确． 故选：． 11.【解析】解：由双曲线方程可得：， 点在双曲线右支上，由双曲线的定义可得：，故A正确； 对于，若，所以， 又因为，则， 解得：，故B错误； 对于，，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得，设点，则，即， 则到双曲线的两条渐近线的距离之积为，故C正确； 对于，由双曲线的定义可得，所以， 则，当，，三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故D正确．故选：． 故答案为． 14.【解析】解：由正实数，满足 可知， ，即， 整理得． 令，，当时，， 函数在上单调递增，又，即．则， 所以，所以．当且仅当，时，等号成立，得最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 【答案】解：Ⅰ由正弦定理可得：， 从而可得：，即， 又为三角形内角，所以，于是，又为三角形内角，所以． Ⅱ由余弦定理：，得：， 所以，所以，即面积的最大值为．  16．解 (1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1- 令f'(x)<0,得0<x<; 令f'(x)>0,得x>所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增. (2)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a-2)- (ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (ⅱ)当a>0时,令f'(x)<0,即2x-a<0,解得0<x<;令f'(x)>0,即2x-a>0,解得x>所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增. 17. 【解析】解：证明：以为原点，分别以，，所在直线 为，，轴，建立空间直角坐标系． 则，，，． 点为的中点，所以点为的中点，所以， ，． 计算数量积得．因此． 平面经过点，，，其方程为． 所以平面的一个法向量为直线的方向向量可取． 设直线与平面所成角为，则． 计算得，，．所以． 设平面的法向量为，平面中． 则，因此， 令，得．设平面与平面所成二面角为， 则， 结合图形可知，所求二面角为锐角，故余弦值取绝对值， 即平面与平面所成二面角的余弦值为． 18．【解析】解：当时，函数，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． ，则， 因为函数有两个不同的极值点，，所以，是的零点， 由，得．设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 当时，，当时，， 结合的图象的变化趋势可知，，所以，即的取值范围为． 由条件可知，，， 则，且． 不妨令，将代入中， 得，则． 设，，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，即，所以在上单调递减． 由得，，所以， 因此在区间上单调递减，即， 于是，所以，则， 又，令，由(ⅰ)可知，在区间上单调递增， 所以，则，解得， 故实数的最大值为． 19．（17分）已知函数的图象在点处的切线方程为． 用表示出，； 若在上恒成立，求的取值范围； 证明．  【解析】解：，， 的图象在点处的切线方程为， ，， 又，； 由得， 令， 则在上恒成立， ， 令，解得：，， 当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意， 当，即时， 若，则，则在上单调递减， 此时，不合题意；综上所述：的取值范围为； 先证左边：由知：当时，在上恒成立， 那么当时，，， 则， 则在上恒成立， 又，中的等号在处取得， 则在上恒成立， 令依次取，，，，可得： ，，，，， ， ， ， 左边得证． 再证右边： 方法一：令，因为， 所以在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以右边得证． 方法二：先证明不等式， 证明如下：设， ， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 设， 而， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 综上可得，． 设，则， 即，又，则，下同方法一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $