第27章反比例函数与一次函数综合重点知识点归纳专项练（2）2026-2027学年数学人教版九年级上册

第27章 反比例函数--反比例函数与一次函数综合 重点知识点归纳 专项练（2） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、反比例函数与一次函数实际应用 1．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，，若，则实数k的值为（） A．8 B． C．6 D． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 4．如图，已知一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且．一次函数与反比例函数的图象交于两点，其中点B的横坐标为3． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接，求的面积； (3)观察函数图象，请直接写出的解集． 二、反比例函数与一次函数图象与性质综合 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 6．如图，点P为反比例函数上的一个动点，作PD⊥x轴于点D，如果△POD的面积为m，则一次函数的图象为（  ） A． B． C． D． 7．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 9．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，作，则的长为______． 10．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 三、反比例函数与一次函数几何综合 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 13．已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，函数（）的图像经过该正方形的顶点P，（）的图像上有一点D，直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E．当时，b的取值范围为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 16．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，的值是 ； (3)在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 5 6 7 8 12 答案 D D D D D D C 1．D 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 2．D 求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 解：对于一次函数，当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴ ∵点C坐标为， ∴ ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得． 3． 先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 4．(1)； (2) (3)或 （1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得点的坐标，即可求得的面积； （3）结合图象即可求得的解集． （1）解：， ， 把代入， 得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，， ， 把代入，可得， 所以反比例函数解析式为； （2）解：列方程， 解得，， ， 直线向上平移2个单位长度后，解析式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：整理，可得， 观察函数图象，则的解集为或． 5．D 找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可. 解：由图象可知，当时，的取值范围为或. 6．D 根据反比例函数k的几何意义，求出m的值等于1，然后求出一次函数的解析式，在确定一次函数的图象经过的点即可得解； 设P点的坐标为， ∵P点在第一象限且在函数的图象上， ∴， ∴，即， ∴一次函数解析式为， ∴一次函数的图象是经过点，的直线； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和一次函数的图象，准确分析判断是解题的关键． 7．D 设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 8．D 过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得． 解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 将代入正比例函数得：，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：． 9． 本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是关键．根据题意得到，结合点的坐标可知，再根据两点之间距离的公式计算，，，最后根据等面积法即可求解． 解：如图，连接，过点作于点 ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 解得， 故答案为： ． 10．(1) (2) (3) 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象的平移、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先将代一次函数中求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，得到，再由计算即可得出答案； （3）新的一次函数的解析式为，当时，，当函数的图象过点时，，得出，画出函数和的图象，结合函数图象即可得出答案． （1）解：点在直线上， ， ， 反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的表达式； （2）解：∵反比例函数解析式为，点的横坐标为， ， 一次函数的图象与轴交于点， 令，则， ， ， ， ， ； （3）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到， 为， 当时，，直线经过点时，，， 如图所示： 由题得在时恒成立， 当时，直线与直线平行，且直线在直线上方，不等式恒成立， 如图所示： 当时，不能保证时不等式恒成立， 综上所述，的取值范围为． 11．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) (3)或 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形面积的和差，可得答案； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解． （1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得或（舍去）， ∴点， ∵点，在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点为直线与轴的交点， ． ． （3）解：∵ ∴ 由图象得：或． 12．C 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由，解得或， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 13． 根据正比例函数和反比例函数的性质得到它们的交点关于原点中心对称，据此求解即可． 解：直线是过原点的正比例函数，双曲线是反比例函数，两个函数的图象都关于原点中心对称， 它们的交点也关于原点中心对称， 已知一个交点为，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， 另一个交点为． 14． 本题考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质. 先求出反比例函数解析式，根据题意求出，，当时，由中点坐标可知，再由值恒定，随b的增大而增大，作答即可. 解：∵正方形的边长为3， ∴， ∵函数（）的图像经过该正方形的顶点P， ∴， 即函数解析式为， ∵直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E． ∴F纵坐标为3，E纵坐标为0 当时，，即 当时，，即 当时，由中点坐标可知 ∵直线经过点D， ∴， ∴， ∵值恒定， ∴随b的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：. 15．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 （1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． （1）解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 16．(1)； (2) （1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． （1）解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 17．(1) (2)12 (3) （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. （1）解：把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由图象可知，时，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $