精品解析：山东泰安实验中学2026-2027学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题

2026级高一上学期阶段性测试一 注意事项： 1．答卷前，考生务必将个人信息填涂写在答题卡相应的位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，，则 D. 最小值为8 6. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 10. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 13. 若函数，则的值是______； 14. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． （3）已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 16. 已知集合，，或． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 17. 某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件．已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍． （1）将2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2026年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 19. 对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. （1）若，，求，； （2）试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； （3）已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上学期阶段性测试一 注意事项： 1．答卷前，考生务必将个人信息填涂写在答题卡相应的位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并集的运算即可得到结果. 【详解】因为，，则. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，不能推出； 若，则，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，，则 D. 最小值为8 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，运用作差法判断选项A，C，根据集合的性质结合二次函数性质判断选项B，利用基本不等式判断选项D． 【详解】选项A：， ，，则，， ，即，当时，，故A错误； 选项B：集合表示的定义域，即，集合表示的值域，即， ，故B错误； 选项C：， 又，，则，， ，即，故C正确； 选项D：令，由得，表达式变为， 根据基本不等式：，当且仅当时取等号，即等号不成立， 的最小值不为8，故D错误． 故选：C． 6. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得， 当为真时，对，不等式恒成立， 则， 而，当且仅当时取等号，满足题意， 所以， 所以为假时，． 故选：A． 7. 已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【详解】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 10. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 【答案】0或2 【解析】 【详解】∵，∴， 当时，即， 此时成立， 当时，解得或， 若，则，，此时成立， 若，违反集合中元素互异性，不合题意， 综上所述，或. 13. 若函数，则的值是______； 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，令，得到关于的方程，求解即可. 【详解】已知函数，令，得， 令，则，即， 整理得，解得. 14. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． （3）已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，先写出集合；再求在实数集里的补集；最后求它和的交集； （2）等价于， 分和两种情况列不等式，最后取并集； （3）先求，说明整个区间落在补集里，列不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 当 时，，或， 又 . 【小问2详解】 由 得 . ① 若 ，则 ，解得 . ② 若 ， 则，解得 得. 综合①②得的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以或， 又， ，即. 的取值范围是 . 16. 已知集合，，或． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）直接根据交集的定义，求集合和的公共元素即可； （2）由必要条件的逻辑关系推出，结合集合包含关系列不等式组求解； （3）命题为假等价于，分为空集、非空两种情况分类讨论求解. 【小问1详解】 已知集合，或，由交集的定义可知. 【小问2详解】 若“”是“”的必要条件，则 ，即，  首先非空，故，解得. 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 命题“”为假命题，则其否定“”为真，即，分两种情况讨论： ① 当时，，解得，满足； ② 当时，有，要满足，需的整个区间在的左侧或右侧： 在左侧：，得； 在右侧：，得. 综合两种情况，的取值范围是​. 17. 某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件．已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍． （1）将2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2026年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）厂家2026年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元． 【解析】 【分析】(1)产品的利润等于销售收入减去成本，即可得解； (2)由(1)知，配凑后利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 则，所以 因为每件产品的销售价格为元， 所以2026年该产品的利润 即 【小问2详解】 因为当 当且仅且当时，等号成立． 故该厂家2026年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元． 18. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1) ，恒成立，则恒成立,求在定义域上的最小值， (2) ，使得，代入整理得，即，当时，令，则，， 所以，根据基本不等式可求， (3)原不等式代入整理，即，恰有3个正整数解，分情况讨论，，，其中只有最后一种情况可满足条件，再根据时，原不等式的解集为，因为解集中恰有3个正整数，所以必须满足，最终求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 19. 对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. （1）若，，求，； （2）试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； （3）已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【答案】（1），. （2）成立，证明： 由题意可知：，， 所以， 所以成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式和绝对值不等式，求解其并集和交集，然后根据集合运算新定义求解即可； （2）结合并集运算和交集运算，利用集合运算新定义求解即可； （3）画出Venn图，由条件可得，进而求得，不妨设集合，利用集合运算新定义得，则有集合为集合的子集，即可得解. 【小问1详解】 由已知得：，， 则，， 故，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画出Venn图，将划分成个集合， 每一个集合的元素个数为，则， ，， ， 由条件可得： ， 化简得，即，得，即. 由，可知； 由，可知，故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，所以， 即集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $