精品解析：山东省泰安第二中学2026-2027学年高一上学期10月测试数学试题

高一数学试题 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算，即可得到结果. 【详解】，， 故选：B 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可. 【详解】由命题p：，得否定：，. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，联立方程即可求解. 【详解】由，解得， 故， 故选：C 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 6. 已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据“，”求的取值范围，再根据充分不必要条件的判定方法进行选择. 【详解】因为“，”， ， 所以，所以. 结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，，则 D. 最小值为8 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，运用作差法判断选项A，C，根据集合的性质结合二次函数性质判断选项B，利用基本不等式判断选项D． 【详解】选项A：， ，，则，， ，即，当时，，故A错误； 选项B：集合表示的定义域，即，集合表示的值域，即， ，故B错误； 选项C：， 又，，则，， ，即，故C正确； 选项D：令，由得，表达式变为， 根据基本不等式：，当且仅当时取等号，即等号不成立， 的最小值不为8，故D错误． 故选：C． 8. 若不等式的解集为R，则的范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为等式在R上恒成立，讨论的范围即可得到结果. 【详解】由题意得不等式在R上恒成立. 当时，不等式恒成立，符合题意. 当时，由不等式恒成立得，解得， 综上得，. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或多选的得0分． 9. 已知a，b，c，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,取，满足，，但，不满足，故A错误， 对于B，，由于，，故，因此，B正确， 对于C, ，由于，故，因此，故，C正确， 对于D,由于，，故，结合，因此，.D正确. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得和3为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D. 【详解】由题意得，和3为方程的根，且， 则，即，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由，即， 即，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，即， 解得，当且仅当，时等号成立； 对于B选项，因为，所以， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 由二次函数的性质可得，当时，上式取得最小值为，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 13. 已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全称量词命题为真命题求出a的范围，再利用存在量词命题为真命题求出a的范围，即可求解作答． 【详解】由，，得，由的否定是假命题，得是真命题，于是得； ，，即方程有实根，则，解得， 又是真命题，则； 因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解. 【详解】由得：， ①当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； ②当时，不等式的解集为，不符合题意； ③当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； 综上所述：实数m的取值范围是：或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或解题步骤． 15. 已知集合，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集的概念求解； （2）利用交集的概念求解； （3）现将一元二次不等式因式分解，然后结合充分必要条件求解即可. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 由可得：． 【小问3详解】 通过因式分解可得：， 则， 由“”是“”的充分条件可得：， 即． 由于，而，故“”是“”的不必要条件， 综上所述，． 16. 已知集合或，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值集合． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1），说明B要补上集合A缺失的区间[0,2]，列出区间端点的不等式组求解参数范围；（2）B和交集为空，要优先讨论B是空集的情形，再讨论B非空时区间完全分离的条件. 【小问1详解】 因为或，， 由，可得，解得，所以实数a的取值范围是； 【小问2详解】 由或，可得，若， ①当时，有，解得符合题意； ②当时，有或，不等式解集为； 综上，实数a的取值集合为． 17. 设A、B是非空集合，定义：，已知，． （1）求集合A与集合B； （2）求； （3）若，请写出C的所有子集． 【答案】（1）．或； （2）或或 （3），，，，，，， 【解析】 【分析】（1）根据根式以及二次不等式的性质即可求解集合， （2）利用定义，结合集合的交集和并集即可求解， （3）求解集合，即可根据子集定义求解. 【小问1详解】 ，则，故．故或； 【小问2详解】 由（1）可得：或，， 故或或 【小问3详解】 由（2）可得：， 的所有子集为，，，，，，， 18. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 19. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . 【小问2详解】 ，，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，，则 D. 最小值为8 8. 若不等式的解集为R，则的范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或多选的得0分． 9. 已知a，b，c，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则， 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则的值为__________. 13. 已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是__________. 14. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或解题步骤． 15. 已知集合，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知集合或，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值集合． 17. 设A、B是非空集合，定义：，已知，． （1）求集合A与集合B； （2）求； （3）若，请写出C的所有子集． 18. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 19. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $