第28章 旋转 单元复习（4大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

第28章 旋转 知识点1　旋转的定义与三要素 　　1.定义：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 　　2.三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 　　3.对应关系：旋转后得到的新图形，原图形中的每一个点都与新图形中的一个点对应，这样的点叫做对应点，对应点之间的连线所夹的角等于旋转角。 　　4.对应点与旋转中心：对应点到旋转中心的距离相等。 知识点2　旋转的性质 　　1.对应点：对应点到旋转中心的距离相等，即。 　　2.对应线段与对应角：旋转前后的图形全等，即对应线段相等、对应角相等。 　　3.旋转角相等：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角，即。 　　4.不变量：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点3　旋转对称图形与中心对称 类别 定义 联系与区别 旋转对称图形 绕一个定点旋转一定角度后能与自身重合的图形 旋转角小于即可，不必是 中心对称图形 绕对称中心旋转后能与自身重合的图形 中心对称图形是特殊的旋转对称图形，旋转角为 知识点4　中心对称与中心对称图形 　　1.中心对称：把一个图形绕某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。 　　2.中心对称图形的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 　　3.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为。 【基础必考题型】 【题型1】中心对称图形的识别 1.核心知识点： 　　中心对称图形的定义；中心对称图形与轴对称图形的区分。 2.解题方法技巧： 　　①绕对称中心旋转后能与自身重合的是中心对称图形； 　　②沿一条直线折叠后两边重合的是轴对称图形； ③平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆既是中心对称图形，其中圆和正方形也是轴对称图形。 【例题1】.（2026·辽宁·模拟预测）下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 【变式题1-1】.（2025·全国·模拟预测）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式题1-2】.（2026·辽宁·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 【变式题1-3】.（2026·辽宁·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 【题型2】旋转对称图形的识别与旋转角 1.核心知识点： 　　旋转对称图形的定义；求旋转角。 2.解题方法技巧： 　　①图形绕定点旋转一定角度能与自身重合即为旋转对称图形； 　　②求旋转角：除以图形相同部分的个数； ③正边形绕其中心旋转的整数倍后能与自身重合。 【例题2】.（2025七年级下·全国·专题练习）在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案． 【答案】 基本图形为直角梯形，如下图： 图中的风车图案，可以由“一个直角梯形”，绕着中心顺（或逆）时针旋转4次90度得到．（答案不唯一） 【分析】图中有4个一样的直角梯形，每个直角梯形顺（或逆）时针旋转90度即可得到另一个直角梯形，据此解答即可． 【详解】解：略 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）确定如图中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转了几次，每一次旋转了多少度． 【答案】旋转中心是点O，可以看成是由旋转而生成的，旋转了次，可以得到这个图形，每一次旋转了． 【分析】根据旋转的性质作答即可． 【详解】略 【变式题2-3】.（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 【题型3】找旋转中心、旋转角与对应点 1.核心知识点： 　　旋转的三要素；旋转角的识别。 2.解题方法技巧： 　　①旋转角是对应点与旋转中心连线所夹的角，而非对应点之间的任意角； 　　②对应点的确定：旋转后位置重合的点即为对应点； ③结合全等三角形与角度关系判断旋转角大小。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查旋转的定义和性质，绕着点旋转，点就是旋转中心，旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角都相等，所以答案不唯一． 【详解】解：因为绕点顺时针旋转得到，所以点就是旋转中心； 又因为旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角是旋转角，且对应边是，对应边是， 所以或都是旋转角． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与都是等腰直角三角形，和都是直角，点E在上，如果旋转后能与重合，那么旋转中心是点_______，旋转了_______；点C的对应点是点_______，线段的对应线段是线段________，的对应角为___________． 【答案】 【分析】本题关键在于找到旋转中心，进而能判断出逆时针旋转了的度数大小后与重合． 【详解】解：①点未发生位移和旋转，以点为旋转中心旋转后与重合． ②以点为旋转中心逆时针旋转了的度数后与重合， 为等腰直角三角形，且为直角， ，即旋转了． ③经旋转后，点与点重合，故点的对应点是点． ④经旋转后，线段与线段重合，故线段的对应线段是线段． ⑤经旋转后，与重合，故的对应角为． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）钟表的分针匀速旋转一周需要． (1)指出它的旋转中心； (2)若钟表经过，则分针的旋转角度是多少? 【答案】(1)旋转中心是钟表表盘的中心 (2) 【分析】（1）旋转中心是物体绕着转动的定点； （2）分针匀速旋转一周的角度是，完整用时分钟，先求出分针每分钟旋转的角度，再计算分钟转过的角度． 【详解】解：（1）旋转中心是钟表表盘的中心； （2），， ∴分针的旋转角度是． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是正方形的边上一点，经顺时针旋转后与重合，连接． (1)旋转中心是点______，旋转角度为_______； (2)是怎样的三角形? (3)若正方形的边长为，，求的长度． 【答案】(1)； 90 (2) 是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用旋转的定义得出旋转中心； 利用正方形的性质得出旋转角的度数即可； （2）利用旋转的性质以及等腰直角三角形的判定得出即可； （3）在中，利用勾股定理求出的长，再在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：∵经顺时针旋转后与重合， ∴旋转中心是点． ∵四边形是正方形， ∴． ∵经顺时针旋转后与重合， ∴旋转角为， ∴旋转角为． （2）解：由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由正方形的性质，得，， ， ， ∴． 【题型4】求旋转后点的坐标 1.核心知识点： 　　坐标系中点的旋转变换；关于原点对称的点的坐标。 2.解题方法技巧： 　　①绕原点旋转、、的坐标变化规律； 　　②点绕原点逆时针旋转得； ③绕原点旋转（中心对称）得。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即， 解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 【变式题4-3】.（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 【题型5】旋转后求对应角的大小 1.核心知识点： 　　旋转角与对应角的关系；全等三角形的性质。 2.解题方法技巧： 　　①旋转前后的对应角相等； 　　②利用三角形内角和与旋转角建立方程求解； ③注意点恰好落在边上的特殊位置，结合共线、共点条件。 【例题5】.（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 【变式题5-1】.（2026·河北沧州·二模）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·新疆·期中）如图，将在平面内绕点顺时针旋转到的位置，，则下列说法正确的是（     ） A．旋转角为 B． C．的度数为 D． 【答案】C 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴ 由已知条件无法求得， 故只有选项C正确． 【培优高频题型】 【题型6】旋转与全等三角形综合求线段长 1.核心知识点： 　　旋转性质：对应线段相等、图形全等；全等三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧： 　　①旋转后常构造全等三角形，通过等量代换求线段长； 　　②利用旋转角相等与对应边相等建立等量关系； ③在特殊图形（等边三角形、矩形、菱形）中结合其特有性质求解。 【例题6】.（26-27八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【答案】6 【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中作中点H，然后在内部找一点P，使得； (3)在的方格纸中与全等的格点三角形（不含）共有________个． 【答案】(1) (2) (3)71 【分析】（1）取格点，连接，点的位置即为所求，理由为在网格中可利用边边边证明，即有，结合网格的特点可知即可； （2）取格点和，连接与的交点即为点，利用矩形的性质即可知为的中点，再取格点，连接与的交点即为点，根据点和点的位置可知点为的重心，结合重心的性质可知； （3）结合三角形全等的性质可知平移和旋转、翻转均满足全等的要求，首先将移至左上角点可以向下平移2格，向右平移2格，此时有8个与全等的三角形（排除）；同理将的全等三角形化为的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：将移至左上角点可以向下平移2格，向右平移2格，此时有8个与全等的三角形（排除）；同理将的全等三角形化为的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 则共有． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点Q，证明为等边三角形，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，，证明点、C、Q在同一直线上，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，过点O作于点Q，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴点、C、Q在同一直线上， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（2026九年级·天津·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型7】利用中心对称的性质求解 1.核心知识点： 　　中心对称的性质：对称点连线被对称中心平分、图形全等。 2.解题方法技巧： 　　①关于中心对称的图形全等，对应线段平行且相等； 　　②对称点所连线段都经过对称中心且被其平分； ③利用中点性质结合三角形、四边形知识求解面积与线段长。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是任意三角形，边在直线l上，动点O不与点B重合． (1)作出关于点O的中心对称图形； (2)连接，四边形的形状是_______，并说明理由． 【答案】(1)如图即为所求： (2)平行四边形 理由：由中心对称图形的性质可得， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）连接并延长到，使得，同理作出，，再顺次连接，，即可； （2）由中心对称图形的性质可得，根据四边形的对角线相互平分即可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是中心对称图形，直线经过四边形的对称中心点，若，四边形的面积为，则________，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】 连接利用证明，结合全等三角形的对应边相等即可得到的长度； 根据全等三角形的判定定理证明，由全等三角形的面积相等推出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是中心对称图形，对称中心是点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴ ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 【题型8】补画图形使之成为中心对称图形 1.核心知识点： 　　中心对称图形的作图；补形。 2.解题方法技巧： 　　①找出图形的对称中心，逐一确定空白位置对应的对称点； 　　②在网格中利用格点对称性补画； ③结合轴对称与中心对称的综合要求分类讨论。 【例题8】.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 【答案】(1)轴对称 (2)解：如图所示， 【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行解答即可； （2）根据中心对称的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形； （2）略 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请将图中的一个空白小方格涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小方格一起组成一个中心对称图形．你有几种涂法？ 【答案】3种 【详解】解：共3种情况，如图： 【压轴素养题型】 【题型9】旋转中的规律性问题 1.核心知识点： 　　旋转角度的周期性；坐标规律。 2.解题方法技巧： 　　①旋转次后，角度变化具有周期性，先求一个周期； 　　②用总次数除以周期求余数，判断最终位置； ③结合坐标平移规律求动点坐标。 【例题9】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与轴交于两点、；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得二次函数的图象按照每4个单位长度的图象为一个循环，，，故点在某段抛物线上与上时的函数值相等，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， ，， ， 根据图象绕点旋转得到图象， 故的解析式为， 将图象绕点旋转得到图象，交轴于点； 故的解析式为， 故二次函数的图象按照每4个单位长度的图象为一个循环， ，， 故点在某段抛物线上与上时的函数值相等，且等于， 故． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，点A与原点重合，，，将绕点B旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上…，依次按这样的规律旋转，则点的坐标______，点的坐标______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，过点作轴的垂线，垂足为，由等面积法计算得出，则，结合旋转的方式得出规律点的坐标可表示为，令，则，结合所得规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， 由所给旋转方式可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即，…， 由此可见，点的坐标可表示为， 当，即时，， ∴点的坐标． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定，再求，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 【题型10】利用旋转的性质证明 1.核心知识点： 　　旋转性质：图形全等、对应线段相等、旋转角相等。 2.解题方法技巧： 　　①先由旋转得到对应边相等、对应角相等，再结合已知条件证明全等或平行； 　　②证明线段相等时，常通过旋转构造全等三角形； 　　③证明角的关系时，利用旋转角相等进行角的转化。 【例题10】.（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，先结合将绕点A顺时针旋转，得到， ，，又因为，故，然后根据，，证明，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形（点的对应点分别为点），交于点，连接．求证：． 【答案】 证明：∵正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形和旋转的性质可得，，进而证明即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】略 【变式题10-2】.（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵于点，于点， ∴． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由正方形性质与旋转得、，用 证； （2）由旋转得且，先证是等边三角形，再由与求底角． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 由图2可知，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查正方形的旋转综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；第（1）问利用同角的余角相等构造全等条件；第（2）问关键是发现是等边三角形，且的位置关系由图形确定，再用等腰三角形求底角． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 (1)试证明：． (2)如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______.       【结论探索】 (3)如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．           【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． (2) (3)存在， 理由：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （3）类似（2）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）略 【题型11】旋转与最值问题 1.核心知识点： 　　旋转构造全等；最值的求法（垂线段最短、两点之间线段最短）。 2.解题方法技巧： 　　①通过旋转将分散的线段集中，构造一条折线转化为最短路径问题； 　　②利用“两点之间线段最短”求最小值； ③结合直角三角形、动点轨迹判断最值。 【例题11】.（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形； 理由如下：将绕点按逆时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，， ，，， 又延长交于点F， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； (3)． 【分析】（1）先求出的长度，再求出的长度，最后用减去得到的长． （2）根据旋转的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件进行判断． （3）找到点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系来确定的最大值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，，且点落在上， ， ； （2）略 （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图， 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即线段长度的最大值为． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）在等边中，点为线段上一动点． (1)如图1，点为中点时，连接，为上一点，作于点，若，，求的长； (2)如图2，若点为延长线上一点，点为延长线上一点，，且．求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明：如图，在上截取， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用等边三角形，含30°角的直角三角形，以及勾股定理求，再在中算斜边的长； （2）截长补短法，构造两次全等，把拆成两段，分别等于和 即可求解； （3）线段绕点逆时针旋转得到线段，为等边三角形，再确定动点的轨迹，然后利用轴对称最短路径，当且仅当、、三点共线时取最小值，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，算出点坐标，然后求的面积． 【详解】（1） 解： 已知是等边三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵于点，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 已知，是直角三角形，有 ， ∴， 即的长为． （2）略 （3） ∵在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 过点作交于点， ∴的轨迹为线段绕旋转后刚好在线段上． ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当且仅当、、三点共线时，取最小值． 以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， ∵是等边三角形，且， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 点坐标为． 设直线为，代入点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：， 当时，点坐标为； 设直线为，代入点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：； 设直线为，代入点坐标和点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：； ∴联立和得， 解得， ∴点坐标为． 又∵点坐标为， ∴， ∵是等边三角形，点为中点， ∴， ∴， 即的面积为． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)猜想，与的数量关系，并说明理由； (3)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2)解：，理由： 连接， ∵旋转， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质、正方形的性质可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可； （2）仿照（1），，导角求出，证明，得出，，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （3）由（2）可得，连接交于O，连接，过O作于H，连接，当G、O、H三点共线时，最大，最大值为，即可求解． 【详解】（1）解∶∵旋转， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知：， ∴， 连接交于O，连接，过O作于H，连接 ∵正方形中，， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴当G、O、H三点共线时，最大，最大值为， ∴的最大面积为， 又， ∴的最大面积为． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，等腰中，，点为上一点，连接． (1)如图1，若，且，求线段的长度； (2)如图2，过点作，交延长线于点，以为斜边作等腰直角，过点作交延长线于点，且，求证：； (3)如图3，为射线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：如图2，连接，在上截取，连接， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）过A作垂线，根据构造特殊角直角三角形，再根据是等腰三角形，结合勾股定理即可求出的长度； （2）连接，在上取，可得，然后根据全等三角形和等腰直角三角形的判定和性质求解即可； （3）过点B作，交的延长线于点D，连接，根据勾股定理求出，证明，得出，证明，得出点M在过点D与垂直的直线上，根据垂线段最短，得出当点M与点D重合时，最小，且最小值为的长，最后求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于K， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过点B作，交的延长线于点D，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可得；，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在过点D与垂直的直线上， ∵垂线段最短， ∴当点M与点D重合时，最小，且最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【题型12】旋转变换与面积综合问题 1.核心知识点： 　　旋转性质与面积计算；全等图形面积相等。 2.解题方法技巧： 　　①旋转前后的图形全等，面积相等，可进行面积的转化； 　　②利用割补法求重叠部分或不规则图形的面积； 　　③结合等边三角形、正方形等特殊图形的面积公式。 【例题12】.（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，设点P的运动时间为t（秒）． (1)求线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在线段上时，求t的值； (3)设与重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的运动时间为（秒），可证是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可表示，； （2）可知是等腰直角三角形，进而根据勾股定理构造方程即可求解； （3）当时，如图②，与重叠部分图形的面积就是的面积；当时，如图③，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积，分这两类讨论即可求解． 【详解】（1）解：点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动． 设点的运动时间为（秒）， ． 在中，，， ． ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ． （2）解：如答图①，当点落在边上时， 由（1）得． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得． ，， ， ， ， 解得． （3）解：由（2）可知，当点落在边上时，， 当时，如图②，与重叠部分图形的面积就是的面积， ，， ； 当点与点重合时，， 解得， 当时，如图③，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ，， 四边形是平行四边形， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ∴四边形为矩形． 是等腰直角三角形， ， ， ． 综上所述，与的函数关系式为 【变式题12-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，若，连接，三角形的面积为，求点的坐标； (2)若，点是第一象限内一点，且，过点作于点，求证：； (3)若，如图3，点为，过点作，连接交轴于点，试求的面积． 【答案】(1)． (2)证明：由 知点 与原点 重合，且 ，， ∴ ，． 过点 作 于点 ． ∵ ，， ∴ 在 中，， ∴ ． ∵ 点 、 都在 上， ∴ ，． ∵ ， ∴ 在 中，， 且 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ，． ∵ 点 、 在线段 上， ∴ ， ∴ ，即 ． (3)． 【分析】（1）由旋转得 且 ，用“AAS”证明 与 全等，得 、，写出点 的坐标后用面积列式求出 ； （2）由 知点 与原点重合，过点 作 于点 ，先由 得 为等腰直角三角形，再用“ASA”证明 与 全等，把 转化为 即得； （3）由 、 得 ，从而 ，过点 作 轴于点 ，用“AAS”证明 与 全等，把 、 转移到 、 上写出点 的坐标；再由 得内错角相等，用“ASA”证明 与 全等得 ，求出点 的坐标后用面积公式求解． 【详解】（1）解：∵ 点 ，点 ，， ∴ ，． ∵ 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ， ∴ ，， 过点 作 轴于点 ． ∵ 点 、、 都在 轴上，， ∴ ． ∵ 在 中，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在 轴正半轴上， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）略 （3）解：由 ， 知点 与原点 重合，且 ，． ∵ 点 ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 过点 作 轴于点 ． ∵ 点 、、 都在 轴上， ∴ ． ∵ 在 中，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 轴， 轴， ∴ ． ∵ 交 轴于点 ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上，点 在 与 之间， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． ∴ 三角形 的面积为 ． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下： 延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，，则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·吉林·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； (2)【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)证明：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， 由旋转，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形作答即可； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据等边对等角得到，，即，由旋转，得，则，根据，得到，则，即，进而证明，即可得到四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形是菱形； （3）证明四边形是平行四边形，作交于H，则四边形与四边形的面积比，根据菱形的性质得到，，则，根据菱形的性质得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． （2）略 （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 作交于H， 则，， 即四边形与四边形的面积比， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形的面积比． 易错点 　　1.混淆旋转角与对应角：旋转角是对应点与旋转中心连线所夹的角，不是任意两边的夹角。 　　2.误判中心对称与轴对称：中心对称图形绕点旋转重合，轴对称图形沿直线折叠重合，不可混淆。 　　3.旋转方向与旋转角理解错误：旋转方向（顺、逆时针）和旋转角大小必须同时确定，缺一不可。 重点 　　1.旋转的三要素与旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、图形全等、旋转角相等）。 　　2.中心对称与中心对称图形的性质，关于原点对称的点的坐标变化规律。 　　3.在坐标系中作旋转图形，求旋转后点的坐标。 难点 　　1.确定旋转中心：作对应点连线的垂直平分线找交点。 　　2.旋转与全等三角形综合的线段长、最值问题。 　　3.旋转中的规律性问题与多情况分类讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、是中心对称图形，故选项D符合题意． 2．如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用旋转性质得到，在中求出，再算出，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 由勾股定理得： ． ∴． 在中，，， 由勾股定理得： ． 3．等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0和，若绕顶点按顺时针方向连续翻转，翻转一次后点B对应的数是1，则翻转2023次后点B对应的数是（     ） A．不对应任何数 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，结合旋转的性质可得规律，即可求解． 【详解】解：因为点对应的数分别为0和， 所以． 因为为等边三角形， 所以． 因为绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次或2次后，点B所对应的数均为1，翻转4次或5次后，点B对应的数均为4， 所以每3次翻转为一个循环组依次循环， 所以， 所以连续翻转2023次后，点B对应的数应为． 二、填空题 4．点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特点求得，的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 点关于原点对称点的坐标是． 5．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，令与的交点为O，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为O， ∵点B恰好落在直线上， ∴、、B三点共线， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴​． 6．如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接，若， ，则的长度为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得、、，易得，进而得到，根据含30度直角三角形的性质可得，最后运用勾股定理求解即可。 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接， ，，， ， ， ， ， ∴在中，． 三、解答题 7．如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接． (1)求的度数是________． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形的两锐角互余可得，再由旋转的性质可得，，即可得解； （2）由含角直角三角形的性质可得，再用勾股定理依次解直角三角形和即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．求证：． 【答案】证明：连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴ ， 即， 由旋转得， ∴． 【分析】根据旋转的性质得，再结合等腰三角形的性质得出答案即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）作点，，关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）解：已知点的坐标为，点与点关于原点对称， 则点的坐标为． （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 10．探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)或或 (3) 【分析】（1）证明，即可求解； （2）分、、，三种情况画图求解即可； （3）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，满足条件点的坐标分别为或或． （3）解：如图，作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的最小值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转 知识点1　旋转的定义与三要素 　　1.定义：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 　　2.三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 　　3.对应关系：旋转后得到的新图形，原图形中的每一个点都与新图形中的一个点对应，这样的点叫做对应点，对应点之间的连线所夹的角等于旋转角。 　　4.对应点与旋转中心：对应点到旋转中心的距离相等。 知识点2　旋转的性质 　　1.对应点：对应点到旋转中心的距离相等，即。 　　2.对应线段与对应角：旋转前后的图形全等，即对应线段相等、对应角相等。 　　3.旋转角相等：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角，即。 　　4.不变量：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点3　旋转对称图形与中心对称 类别 定义 联系与区别 旋转对称图形 绕一个定点旋转一定角度后能与自身重合的图形 旋转角小于即可，不必是 中心对称图形 绕对称中心旋转后能与自身重合的图形 中心对称图形是特殊的旋转对称图形，旋转角为 知识点4　中心对称与中心对称图形 　　1.中心对称：把一个图形绕某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。 　　2.中心对称图形的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 　　3.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为。 【基础必考题型】 【题型1】中心对称图形的识别 1.核心知识点： 　　中心对称图形的定义；中心对称图形与轴对称图形的区分。 2.解题方法技巧： 　　①绕对称中心旋转后能与自身重合的是中心对称图形； 　　②沿一条直线折叠后两边重合的是轴对称图形； ③平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆既是中心对称图形，其中圆和正方形也是轴对称图形。 【例题1】.（2026·辽宁·模拟预测）下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2025·全国·模拟预测）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【变式题1-2】.（2026·辽宁·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·辽宁·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】旋转对称图形的识别与旋转角 1.核心知识点： 　　旋转对称图形的定义；求旋转角。 2.解题方法技巧： 　　①图形绕定点旋转一定角度能与自身重合即为旋转对称图形； 　　②求旋转角：除以图形相同部分的个数； ③正边形绕其中心旋转的整数倍后能与自身重合。 【例题2】.（2025七年级下·全国·专题练习）在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）确定如图中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转了几次，每一次旋转了多少度． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【题型3】找旋转中心、旋转角与对应点 1.核心知识点： 　　旋转的三要素；旋转角的识别。 2.解题方法技巧： 　　①旋转角是对应点与旋转中心连线所夹的角，而非对应点之间的任意角； 　　②对应点的确定：旋转后位置重合的点即为对应点； ③结合全等三角形与角度关系判断旋转角大小。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与都是等腰直角三角形，和都是直角，点E在上，如果旋转后能与重合，那么旋转中心是点_______，旋转了_______；点C的对应点是点_______，线段的对应线段是线段________，的对应角为___________． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）钟表的分针匀速旋转一周需要． (1)指出它的旋转中心； (2)若钟表经过，则分针的旋转角度是多少? 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是正方形的边上一点，经顺时针旋转后与重合，连接． (1)旋转中心是点______，旋转角度为_______； (2)是怎样的三角形? (3)若正方形的边长为，，求的长度． 【题型4】求旋转后点的坐标 1.核心知识点： 　　坐标系中点的旋转变换；关于原点对称的点的坐标。 2.解题方法技巧： 　　①绕原点旋转、、的坐标变化规律； 　　②点绕原点逆时针旋转得； ③绕原点旋转（中心对称）得。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 【题型5】旋转后求对应角的大小 1.核心知识点： 　　旋转角与对应角的关系；全等三角形的性质。 2.解题方法技巧： 　　①旋转前后的对应角相等； 　　②利用三角形内角和与旋转角建立方程求解； ③注意点恰好落在边上的特殊位置，结合共线、共点条件。 【例题5】.（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【变式题5-1】.（2026·河北沧州·二模）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·新疆·期中）如图，将在平面内绕点顺时针旋转到的位置，，则下列说法正确的是（     ） A．旋转角为 B． C．的度数为 D． 【培优高频题型】 【题型6】旋转与全等三角形综合求线段长 1.核心知识点： 　　旋转性质：对应线段相等、图形全等；全等三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧： 　　①旋转后常构造全等三角形，通过等量代换求线段长； 　　②利用旋转角相等与对应边相等建立等量关系； ③在特殊图形（等边三角形、矩形、菱形）中结合其特有性质求解。 【例题6】.（26-27八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【变式题6-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中作中点H，然后在内部找一点P，使得； (3)在的方格纸中与全等的格点三角形（不含）共有________个． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 【变式题6-3】.（2026九年级·天津·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【题型7】利用中心对称的性质求解 1.核心知识点： 　　中心对称的性质：对称点连线被对称中心平分、图形全等。 2.解题方法技巧： 　　①关于中心对称的图形全等，对应线段平行且相等； 　　②对称点所连线段都经过对称中心且被其平分； ③利用中点性质结合三角形、四边形知识求解面积与线段长。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是任意三角形，边在直线l上，动点O不与点B重合． (1)作出关于点O的中心对称图形； (2)连接，四边形的形状是_______，并说明理由． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是中心对称图形，直线经过四边形的对称中心点，若，四边形的面积为，则________，四边形的面积为_________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【题型8】补画图形使之成为中心对称图形 1.核心知识点： 　　中心对称图形的作图；补形。 2.解题方法技巧： 　　①找出图形的对称中心，逐一确定空白位置对应的对称点； 　　②在网格中利用格点对称性补画； ③结合轴对称与中心对称的综合要求分类讨论。 【例题8】.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请将图中的一个空白小方格涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小方格一起组成一个中心对称图形．你有几种涂法？ 【压轴素养题型】 【题型9】旋转中的规律性问题 1.核心知识点： 　　旋转角度的周期性；坐标规律。 2.解题方法技巧： 　　①旋转次后，角度变化具有周期性，先求一个周期； 　　②用总次数除以周期求余数，判断最终位置； ③结合坐标平移规律求动点坐标。 【例题9】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与轴交于两点、；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则________． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，点A与原点重合，，，将绕点B旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上…，依次按这样的规律旋转，则点的坐标______，点的坐标______． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【题型10】利用旋转的性质证明 1.核心知识点： 　　旋转性质：图形全等、对应线段相等、旋转角相等。 2.解题方法技巧： 　　①先由旋转得到对应边相等、对应角相等，再结合已知条件证明全等或平行； 　　②证明线段相等时，常通过旋转构造全等三角形； 　　③证明角的关系时，利用旋转角相等进行角的转化。 【例题10】.（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形（点的对应点分别为点），交于点，连接．求证：． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 (1)试证明：． (2)如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______.       【结论探索】 (3)如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．           【题型11】旋转与最值问题 1.核心知识点： 　　旋转构造全等；最值的求法（垂线段最短、两点之间线段最短）。 2.解题方法技巧： 　　①通过旋转将分散的线段集中，构造一条折线转化为最短路径问题； 　　②利用“两点之间线段最短”求最小值； ③结合直角三角形、动点轨迹判断最值。 【例题11】.（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）在等边中，点为线段上一动点． (1)如图1，点为中点时，连接，为上一点，作于点，若，，求的长； (2)如图2，若点为延长线上一点，点为延长线上一点，，且．求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)猜想，与的数量关系，并说明理由； (3)若，求的面积最大值． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，等腰中，，点为上一点，连接． (1)如图1，若，且，求线段的长度； (2)如图2，过点作，交延长线于点，以为斜边作等腰直角，过点作交延长线于点，且，求证：； (3)如图3，为射线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，直接写出的最小值． 【题型12】旋转变换与面积综合问题 1.核心知识点： 　　旋转性质与面积计算；全等图形面积相等。 2.解题方法技巧： 　　①旋转前后的图形全等，面积相等，可进行面积的转化； 　　②利用割补法求重叠部分或不规则图形的面积； 　　③结合等边三角形、正方形等特殊图形的面积公式。 【例题12】.（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，设点P的运动时间为t（秒）． (1)求线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在线段上时，求t的值； (3)设与重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式． 【变式题12-1】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，若，连接，三角形的面积为，求点的坐标； (2)若，点是第一象限内一点，且，过点作于点，求证：； (3)若，如图3，点为，过点作，连接交轴于点，试求的面积． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·吉林·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； (2)【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 易错点 　　1.混淆旋转角与对应角：旋转角是对应点与旋转中心连线所夹的角，不是任意两边的夹角。 　　2.误判中心对称与轴对称：中心对称图形绕点旋转重合，轴对称图形沿直线折叠重合，不可混淆。 　　3.旋转方向与旋转角理解错误：旋转方向（顺、逆时针）和旋转角大小必须同时确定，缺一不可。 重点 　　1.旋转的三要素与旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、图形全等、旋转角相等）。 　　2.中心对称与中心对称图形的性质，关于原点对称的点的坐标变化规律。 　　3.在坐标系中作旋转图形，求旋转后点的坐标。 难点 　　1.确定旋转中心：作对应点连线的垂直平分线找交点。 　　2.旋转与全等三角形综合的线段长、最值问题。 　　3.旋转中的规律性问题与多情况分类讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 3．等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0和，若绕顶点按顺时针方向连续翻转，翻转一次后点B对应的数是1，则翻转2023次后点B对应的数是（     ） A．不对应任何数 B．2022 C．2023 D．2024 二、填空题 4．点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 5．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 6．如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接，若， ，则的长度为______． 三、解答题 7．如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接． (1)求的度数是________． (2)若，求的长． 8．如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．求证：． 9．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 10．探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $