精品解析：辽宁省辽西高中联考2026-2027学年高一上学期同步月考测试卷(一)数学试题

2026～2027学年度高中同步月考测试卷（一） 高 一 数 学 测试模块：必修第一册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册第一章~第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，，则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简条件与结论，结合充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】等价于，即或， 等价于，即，等价于， 因为可推出或， 因此可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 当时，此时， 但，，， 所以“”不是“”的充分条件， 因此“”是“”的必要不充分条件. 4. 若，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，得，，；，即，故B错误； 对于C，由，得；，即，故C正确； 对于D，由，得，，；， 即，故D错误. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【详解】由知中的元素都是偶数且为被除余的整数； 而中，取遍全体整数，故恰为全体偶数的集合. 所以 ，从而. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 7. “集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据真子集个数求出集合元素个数，确定参数的充要范围，再利用集合间的包含关系判断充分性与必要性. 【详解】若一个集合的元素个数为，则它的真子集个数为. 因为集合恰有个真子集，所以集合中只有个元素， 因为，，则有当，时，；当，时，；当，时，， 则的取值范围为． 充分不必要条件要求选项对应的的范围应该是集合的真子集. 选项，：与集合相等，为充要条件，错误； 选项，：是集合的真子集，为充分不必要条件，正确； 选项，：包含集合，为必要不充分条件，错误； 选项，：与集合相交，互相不包含，为既不充分也不必要条件，错误. 8. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】 【分析】设两次油价，分别求出两种加油方案的均价，用作差法比较大小. 【详解】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由可得,即. 故有. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以有成立，即成立. A：由上可知该选项说法正确； B：，所以本选项说法不正确； C：，所以本选项说法正确； D：，所以本选项说法不正确. 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对C先由基本不等式可得，再由不等式性质可得；对D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得. 【详解】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合可用列举法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以是正整数且为的约数， 因此有， 所以. 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 14. 若集合，满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为______． 【答案】27 【解析】 【分析】分析的元素可知，必须包含A中不属于的所有元素，对每个确定的，的可选个数为的子集个数. 【详解】设集合， 集合为空集时，，共1种； 当集合有1个元素时有3种， 例如，则集合中必有，的子集个数为2，共有种； 当集合有2个元素时有3种， 例如，则集合中有，的子集个数为4，共有种； 当集合有3个元素时有1种， 例如，则集合个数为的子集个数，共8种； 所以总有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 【答案】（1），． （2）或，． 【解析】 【小问1详解】 由题意知或， ， ， ，. 【小问2详解】 由题意，或. ，. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用元素与集合之间的关系建立不等式求解即得； （2）由题意，分为空集和不为空集两种情况列不等式求解即可； （3）由必要不充分条件推得集合间包含关系，列不等式求解即得. 【小问1详解】 因为，所以 解得，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意知， 若， 当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是或． 【小问3详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 17. 某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可表示为．当月处理量为160万吨时，月处理成本为65万元． （1）求月处理成本的最小值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？ 【答案】（1）万元 （2）当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低 【解析】 【分析】（1）先代入求解出，再用配方法求得的最小值. （2）先求出的表达式，然后利用基本不等式求解出最小值即可. 【小问1详解】 由题意知当时，，所以，解得， ， 当且仅当时，等号成立，所以月处理成本的最小值为万元． 【小问2详解】 由题意知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低． 18. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）（i）1；（ii）； （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 【解析】 【分析】（1）利用构造基本不等式的形式，利用“一正二定三相等”求解即可；（2）分别利用，，，得到不等关系，再利用不等式性质得到，最后验证等号成立条件即可. 【详解】（1）解：（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）略 19. 设为实数，已知． （1）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）分一次函数和二次函数两种情况讨论，二次函数恒小于0需满足开口向下且判别式小于0，综合可得的取值范围； （2）先化简不等式为一元二次不等式形式，因式分解后按的取值进行分类讨论，结合二次函数的图象性质，即可求解； （3）将题意转化为大于等于在时的最小值，再转化为恒成立问题，通过换元结合均值不等式求分式函数的最大值，最终得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，对任意，不恒成立，不符合题意； 当时，为二次函数，要使对任意，恒成立， 需要满足，解不等式组，可得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 将代入不等式， 得，整理得， 当时，不等式化为，解得，即此时不等式的解集为； 当时，令，因式分解得， 解得方程的根为和， 设， 若，则为开口向上的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 设，， 由题意，对任意的，总存在，使得成立， 因为在单调递增，所以， 即在上的值域为， 要存在使得成立，等价于对任意的恒成立， 即在上恒成立， 整理得，， 令，设，因为，所以， 所以， 当时，， 当时，， 又由均值不等式可得，当且仅当，即取得等号，此时， 所以， 又，所以， 综上所述，在上的值域为， 又在上恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高中同步月考测试卷（一） 高 一 数 学 测试模块：必修第一册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册第一章~第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不是 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. “集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合可用列举法表示为_________． 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 14. 若集合，满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可表示为．当月处理量为160万吨时，月处理成本为65万元． （1）求月处理成本的最小值； （2）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？ 18. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 19. 设为实数，已知． （1）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $