辽宁锦州市某校2026-2027学年高一上学期限时训练数学试卷

2026—2027学年度第一学期限时训练 高一 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则（ ） A．8 B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，．若，则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 8．若，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A． B． C． D．1 10．已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ） A．0 B．1 C． D． 11．下列说法正确的有（ ） A．若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．定义在R上的函数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知集合，则满足的集合共有                        个． 13．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是                        ． 14．正数，满足，若对任意正数，恒成立，则实数的取值范围是                         四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（1）解不等式：； （2）解方程：． 16．已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17．已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 18．为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为． 已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值． 19．已知关于，的方程组其中． （1）当时，求该方程组的解； （2）证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值．若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年度第一学期限时训练 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B B C D A BC AB 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】由题可化简集合B，再由交集运算即得. 【详解】∵，又， ∴. 故选：A. 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．B 【分析】先求得，再代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以可得， 则， 故选：B 4．B 【分析】根据抽象函数定义域求法和偶次根式被开方数大于等于零可构造不等式组求得结果. 【详解】的定义域为，，解得：， 的定义域为. 故选：B. 5．B 【分析】为方程的两根，且，由韦达定理得到，分式不等式变形后等价于，求出不等式解集. 【详解】由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，故， 故， 等价于，解得， 故不等式解集为. 故选：B 6．C 【分析】通过已知条件，得到且，进而分别求出实数的取值范围即可. 【详解】由于集合，即集合，或， 已知，则且，所以实数满足，解得， 因此实数的最大值是，故C正确. 7．D 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 8．A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 9．BC 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 10．AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 11．ABC 【分析】对于A选项，直接根据一元二次不等式恒成立的条件进行求解即可；对于B选项，直接根据抽象函数定义域的要求进行求解即可；对于C选项，首先根据的范围求解的取值范围，进而求解函数值域即可；对于D选项，直接根据方程组法求解解析式即可. 【详解】【详解]对于A选项，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以，因此可得： 解得. 综上可得：实数的取值范围为，故A选项正确； 对于B选项，已知函数的定义域为，得：， 即得：，因此函数的定义域为，故B选项正确； 对于C选项，已知，得：，故， 因此可得：函数的值域为，故C选项正确； 对于D选项，将代入原式得， 由方程组，解得：，故D选项错误. 故选：ABC. 12．8 【分析】结合已知条件可知，，然后分类讨论集合中元素的个数即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当只有1个元素时，则； 当只有2个元素时，则，，； 当只有3个元素时，则，，； 当只有4个元素时，则； 综上所述，所求集合共有8个. 故答案为：8. 13． 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 14． 【分析】先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 取等号时，即， 所以，解得， 故答案为：. 15．（1）；（2） 【详解】（1）， 解得，.......................................................................................................................................................5分 所以原不等式的解集为........................................................................................................................6分 （2）， 又，所以...........................................................................................................................12分 则方程的解集为...........................................................................................................................................13分 16．(1) (2)或 【详解】（1）由或，所以；.......................................................................3分 当时，由，所以...............................................................................................5分 所以.............................................................................................................................................7分 （2）由，所以..........................................................................................................................9分 若，则方程无解，所以；.............................................................................................11分 若，则； 若，则......................................................................................................................14分 综上可得：的取值范围为或.................................................................................................15分 17．(1)； (2). 【详解】（1）当时，集合，则或，......................................3分 又由不等式解得，所以，.......................................................5分 所以..................................................................................................................................7分 （2）由（1）知，集合，当时，， 因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，..........................................9分 则且等号不能同时成立，..............................................................................................................12分 解得，所以正实数m的取值范围是............................................................................................15分 18．(1) (2)时，最小，最小值为 万元 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，.............................................................................................................3分 即，................................................................................................................................................5分 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此...................................................................................................................................8分 （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元...........................................................................................17分 19．(1)和 【详解】（1）当时，..............................................................................................................1分 消去得， 解得，，..................................................................................................................................4分 因此，方程组的解为和...............................................................................................................6分 (2)消去整理得，..................................................................................................................................8分 显然，且，..................................................................................................................................10分 因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解...............................................................11分 (3)是定值，定值为4，理由如下： 由韦达定理得，，..................................................................................................................................13分 所以， ，..........................................................................................................15分 所以， 因此，是定值，且定值为4...................................................................................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $