3.1.1 椭圆及其标准方程课件（第二课时）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 · 第二课时 从方程， 回到图形 位置关系 · 焦点三角形 · 参数 · 高考实战 方程是椭圆的身份证， 图形才是它的脾气。 人教A版 · 选择性必修第一册 这节课，四种问法 每讲一个知识点，就立刻跟一道题 2 高二数学 · 圆锥曲线的方程 01 位置关系 内、上、外，代进去比 1 02 焦点三角形 周长 2a+2c，面积 b²tan(θ/2) 03 参数与方程 分母同正，谁大谁在轴上 04 高考实战 两道真题，拆开看思路 看得懂 ≠ 做得对 —— 所以每一页后面都有一道题等着你。 点在椭圆里，还是外 不用画图，代进方程比一比 3 高二数学 · 圆锥曲线的方程 把点代进去，和 1 比大小 大于 1　→　点在椭圆外 等于 1　→　点在椭圆上 小于 1　→　点在椭圆内 外 上 内 例　判断 A(2, 1) 与 的位置关系。 解　4/8 + 1/4 = 3/4 < 1，所以点 A 在椭圆内。 手试一下 两道小题，一道判别，一道反求参数 4 高二数学 · 圆锥曲线的方程 练 1 点 P(2, 1) 与椭圆 的位置关系是？ 练 2 若点 (1, m) 在椭圆 的内部，求 m 的取值范围。 所以点 P 在椭圆上 焦点三角形，只用两件工具 椭圆的定义 + 余弦定理 5 高二数学 · 圆锥曲线的方程 先把三条边数清楚 ① 定义 ② 周长 （绕一圈全是定义） ③ 余弦 ④ 面积 θ 是顶角，b 是短半轴 —— 与 a、c 无关。 △PF₁F₂：点 P 与两个焦点围成的三角形 记住这一条：焦点三角形的面积，只由 b 和顶角决定。 两个公式，是推出来的 定义一次，余弦定理一次 6 高二数学 · 圆锥曲线的方程 ① 周长：三条边，两条直接来自定义 ② 面积：余弦定理把「平方」变成「乘积」 余弦定理　 关键两步：b² = a² − c²；sinθ ÷ (1 + cosθ) = tan(θ/2)。 先算一个，再自己算一个 顶角 90°，面积是多少 7 高二数学 · 圆锥曲线的方程 例　椭圆 上一点 P，若 ∠F₁PF₂ = 90°，求 △PF₁F₂ 的面积。 解　b² = 9，顶角 θ = 90° 所以 △PF₁F₂ 的面积为 9。 练　椭圆 ，∠F₁PF₂ = 60°，求 △PF₁F₂ 的面积。 答　 长得像椭圆，就一定是椭圆吗 分母为正，还要「不相等」 8 高二数学 · 圆锥曲线的方程 若方程　　表示椭圆，求 k 的取值范围。 两个分母都为正 k − 1 > 0 且 5 − k > 0 1 < k < 5 两个分母不相等 k − 1 ≠ 5 − k k ≠ 3 合起来 表示椭圆的条件 1 < k < 5 且 k ≠ 3 若焦点在 x 轴上：k − 1 > 5 − k > 0，即 3 < k < 5。 口诀：分母同正、互不相等；谁大，焦点就落在谁的轴上。 和为定值，积就有最大值 基本不等式在椭圆里的样子 9 高二数学 · 圆锥曲线的方程 两段焦半径的和是常数 所以　　 当且仅当 |PF₁| = |PF₂| = a 时取等号， 此时 P 恰好在短轴的端点。 这就是「和定积最大」。 例　椭圆 上一点 P，求 |PF₁|·|PF₂| 的最大值。 a = 3，a² = 9 最大值 = 9 高考真题 · 第一道 考场上，它就藏在「定义」里面 10 高二数学 · 圆锥曲线的方程 2021 （2021 · 新高考Ⅰ卷） 已知 F₁、F₂ 是椭圆 C： 的两个焦点，点 M 在 C 上，则 |MF₁|·|MF₂| 的最大值为（　） A　13 B　12 C　9 D　6 解　由定义：2a = 6，所以 |MF₁| + |MF₂| = 6 由基本不等式： 当 |MF₁| = |MF₂| = 3 时取等号，最大值为 9，选 C。 高考真题 · 第二道 周长 4a，一步就能看穿 11 高二数学 · 圆锥曲线的方程 2022 （2022 · 全国甲卷） 椭圆 C：（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F₁、F₂，离心率 ，过 F₁ 的直线交 C 于 A、B 两点。若 △F₂AB 的周长为 ，求 C 的方程。 解　△F₂AB 的周长 = 4a（四个焦半径，每个都是 a） b² = a² − c² = 3 − 1 = 2，所以方程为： 答案　 离心率 e = c/a —— 下一节课的主角。 椭圆的一个「魔法」 从一个焦点出发，必过另一个焦点 12 高二数学 · 圆锥曲线的方程 椭圆内壁，是一面「完美镜子」 在椭圆的一个焦点上放一支蜡烛， 光打到内壁任一点，反射后都穿过另一焦点。 它真的在用 —— · 耳语廊：站在一个焦点低语，另一个焦点听得清 · 体外碎石机：把冲击波聚到结石上 · 音乐厅穹顶：让声音均匀铺满全场 「焦点」这两个字，本来就是从光里来的。 随堂两分钟 一道面积，一道参数 13 高二数学 · 圆锥曲线的方程 练 1 椭圆 上一点 P，∠F₁PF₂ = 60°，求 △PF₁F₂ 的面积。 练 2 若方程　 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 求 m 的范围。 b² = 20，tan 30° = m − 2 > 6 − m > 0 即 4 < m < 6 四个问法，四条线 一张表带走这节课 14 高二数学 · 圆锥曲线的方程 位置关系 与 1 比大小 内 < 1，上 = 1，外 > 1 焦点三角形 周长 2a+2c，S = b²tan(θ/2) 定义 + 余弦定理，两条腿走路 参数 分母同正、互不相等 谁的分母大，焦点就在谁的轴上 最值 |PF₁|·|PF₂| ≤ a² 和为定值，积有最大值 题目会变，套路不变 —— 先定位，再动笔。 今天的作业 两道真题的味道，三道课本的底子 15 高二数学 · 圆锥曲线的方程 必做 1. 教材 3.1 习题：判断点与椭圆的位置关系（第 3、4 题） 2. 求椭圆 的焦点三角形周长与面积最大值 3. 整理「方程表示椭圆」的参数范围，写出完整步骤 选做 把课上两道高考题换一组数据，自己出一题并写解析 下节课：椭圆的几何性质 —— 范围、对称性、顶点、离心率。 $