3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 轨迹问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆轨迹方程求法，涵盖定义法、相关点法、直接法，从椭圆定义切入，通过动圆外切内切、三角形周长等例题，衔接椭圆标准方程，搭建从几何条件到代数方程的学习支架。 其亮点是精选高考真题及变式，结合素养小结提炼方法，以数学思维引导条件转化（如定义法中距离和为定值），用数学语言规范解析步骤。学生能提升逻辑推理与解题能力，教师可直接用于课堂探究与分层练习。

3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 1 第2课时 轨迹问题 2 探究点一 定义法求轨迹方程 探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程 探究点三 直接法求轨迹方程 ◆ ◆ 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. 4 探究点一 定义法求轨迹方程 例1 [2026·吉林实验中学高二期中]一动圆与圆 外切， 同时与圆 内切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A. B. C. D. √ [解析] 设圆的圆心为，半径为 ，圆 的圆心为，半径为，动圆圆心为 ，半径为，则,,,， 由圆与圆 外切可得，由圆与圆内切可得 ，所以， 课 中 探 究 5 所以点的轨迹是以, 为焦点的椭圆，设其方程为，则, ，所以,,则 ， 所以动圆圆心的轨迹方程为 .故选B. 课 中 探 究 6 变式（1）已知的周长为20，且顶点, ，则顶点 的轨迹方程是( ) A. B. C. D. [解析] 的周长为20，顶点,， ，则， 顶点的轨迹是焦点在 轴上的椭圆（不含与轴的交点） ，，， 顶点 的轨迹方程是 . 故选B. √ 课 中 探 究 7 （2）如图，已知 为圆 上的一个动点，定点 ，线段的垂直平分线交线段 于点， 则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 连接，由圆 ，可得圆心为，半径，又 ，所以. 因为线段的垂直平分线交线段 于点，所以 ，则 ， 课 中 探 究 8 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以,为焦点的椭圆，其中, ，可得,，则， 所以点 的轨迹方程为 .故选C. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点 轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确 定<m></m>，<m></m>的值. 课 中 探 究 10 探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程 例2 在中，已知，， . （1）求顶点 的轨迹方程； 解：由题意可得，故顶点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），且 ， ， 又，， ， 故顶点的轨迹方程为 ． 课 中 探 究 11 例2 在中，已知，， . （2）求的重心 的轨迹方程． 解：设， ，则 ， ，即的重心的轨迹方程为 ． 课 中 探 究 12 变式 [2026·福建师大附中高二期中]在平面直角坐标系中，点在 轴上运动，点在轴上运动，且，若点满足 ， 则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设,,，因为，所以 . 因为，, ，所以即代入得， 所以点 的轨迹方程为 .故选D. 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件 中去，即可解决问题. 课 中 探 究 14 探究点三 直接法求轨迹方程 例3 ［教材P108例3改编］已知的两个顶点是 和 ，边，所在直线的斜率的乘积是，求顶点 的轨迹 方程. 解：设顶点的坐标为，则， . 依题意得，化简可得顶点 的轨迹方程为 . 课 中 探 究 15 变式（1）在平面直角坐标系中，已知点，直线 .若动 点在直线上的射影为，且，设点的轨迹为 ，则 的方程为_ __________. [解析] 设，由 ，得,整理得的方程为 . 课 中 探 究 16 （2）[2026·沈阳五校协作体高二期中] 在平面直角坐标系 中， 已知动点,分别在轴、轴上，是线段上靠近 的三等分点， 为关于轴的对称点.若，则点 的轨迹方程为 _ __________. 课 中 探 究 17 [解析] 设，因为是线段上靠近 的三等分点，所以，，又为关于轴的对称点，所以 ，所以,. 因为 ，所以，即，则点 的轨迹方程为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将 几何条件<m></m>直接翻译成<m></m>,<m></m>的形式，即<m></m>，然后进行 等价变换. 课 中 探 究 19 课后习题 20 1.设，为定点，动点满足 ，则动 点 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 [解析] ，动点满足， 点 在线段 上.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 2.已知动点到两坐标轴的距离相等，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设点的坐标为，由题意得，即 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 3.[2026·襄阳四中高二月考]已知动点 的坐标满足 ，则点 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [解析] 由 两边平方得，即 ，即，因此点的轨迹方程是，所以点 的轨迹为椭圆.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 4.已知点的轨迹方程为,点，则的中点 的轨迹 方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设点的坐标为，点的坐标为 ，由中点坐标公式得即又点的轨迹方程为 ，所以，整理得的轨迹方程为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 5.已知点，点是圆 上的一个动点， 线段的垂直平分线交于点，则动点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得圆的标准方程为 ，则圆心为，半径. 连接，因为 ，所以，所以点 的轨迹是以,为焦点的椭圆，其中,,所以, ,所以， 所以动点的轨迹方程为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 6.（多选题）下列说法不正确的是( ) A.若定点,满足，动点满足 ，则动点 的轨迹是椭圆 B.若定点,满足，动点满足 ，则 动点 的轨迹是椭圆 C.当时，方程 表示椭圆 D.若动点的轨迹方程为，则点 的轨迹是椭圆，且焦点 坐标为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 [解析] 对于A，若定点,满足，动点 满足，则动点的轨迹为以, 为端点的线段，所以A中说法不正确； 对于B，若定点,满足，动点 满足，则由椭圆的定义，可得动点 的轨迹是以, 为焦点的椭圆，所以B中说法正确； 对于C，当，即时，方程 表示圆，所以C中说法不正确； 对于D，若动点的轨迹方程为，则点 的轨迹是椭圆，其中,，可得 ，所以焦点坐标为，所以D中说法正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 7.已知点在圆上运动，轴，垂足为，点在 的延长线上，且，则点 的轨迹方程为_ _________________. [解析] 设点的坐标为，点，由题意可知 ，且则 点在圆上运动， ，整理得， 故点的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 8.若两定点，间的距离为3，动点满足，则点 的 轨迹围成区域的面积为____. [解析] 以为原点，直线为 轴建立平面直角坐标系，不妨令. 设，依题意得 ，化简整理得，即，则点 的轨迹为圆，围成区域的面积为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 9.（13分）已知动点到定点的距离和 到定直线 的距离之比是常数，记点的轨迹为曲线，求曲线 的标 准方程. 解：依题意得 ，即 ，两边平方得 ，整理得， 故曲线的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 10.[2026·泉州五中高二期中]若的周长为10，且 边的长为4， 则 的面积的最大值为( ) A.4 B. C.5 D. √ [解析] 由题意得，又 ，所以，则点在以, 为焦点的椭圆上，且长轴长为，焦距为 ，则,，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 不妨令椭圆的焦点在轴上，如图，则点 的轨迹方程为 ，所以， 又 ，所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 11.设向量，，若 ， 则点的轨迹 的方程是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得 ，它表示点到点,的距离之和为4， 又，所以点 的轨迹为以,为焦点的椭圆，且,,即 ，，所以， 可得点的轨迹的方程为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 12.（多选题）已知定点，，动点 满足 ，则点 的轨迹可能是( ) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 [解析] ，，，又 ，，当且仅当，即 时等号成立. 当时，，此时点 的轨迹是线段；当时，，此时点 的轨迹是椭圆. 故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 13.已知为坐标原点，定点，是圆 内 （不包括边界）一动点，圆与以线段 为直径的圆内切，则动点 的轨迹方程为_ __________________. [解析] 取点，连接.设线段的中点为，圆与圆 内切于点，连接，. 易知，，三点共线，因为， 分别为线段,的中点，所以 ，所以， 故点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与轴的交点），且，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 又，则，故动点 的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 14.（15分）[2026·秦皇岛高二期中] 已知点是圆 上一动点，直线，，为垂足，是的中点，求 的轨迹方程，并指出它是什么图形. 解：设,，则 . 易知，因为线段的中点为，所以, ，即,，代入,得 ，即 ， 故的轨迹方程为， 的轨迹是椭圆. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 15.已知一张纸上面有半径为4的圆，在圆内有一个定点 ，且 ，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点 重合，这样的每一 种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆 上所有点时，所有折痕 与的交点形成的曲线记为，以的中点为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则曲线 的方程为_ __________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 由题意，不妨令，，设折痕与和 分别交于，两点，则，连接，则 ，所以 ， 故所有折痕与的交点形成的曲线为以，为焦点的椭圆，故曲线 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 16.（15分）如图，圆 和圆是圆心均为原点的 同心圆， 为大圆上一动点，连接交小圆于点，过点作 轴的垂线 ，垂足为，再过点作直线 的垂线，垂足为.当点在大圆上 运动时，求证点 的轨迹是椭圆，并求出椭圆的方程. 解：设点， ， 则，令，即 ， ， 点的轨迹是椭圆，椭圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 $