3.1.2 椭圆的简单几何性质课件第2课时-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.了解椭圆在实际生活中的应用. 数学应用 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系. 数学抽象 数学运算 复习回顾 椭圆的简单几何性质： 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c关系 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0,c)、(0,-c) 关于x、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 长半轴长为a,短半轴长为b(a>b) -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b a2=b2+c2(a>b>0) 探索新知 例1. 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建 立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在Rt△BF1F2中， 由椭圆的性质知， 所以，所求的椭圆方程为 探索新知 归纳总结 解决和椭圆有关的实际问题的思路： (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. 探索新知 变式1 A 探索新知 根据题意，动点M的轨迹就是集合 即 将上式两边平方，并化简，得 9x2+25y2=225， 由此得 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆. . F x y O M H 解：设d是点M到定直线l: 的距离， 探索新知 归纳总结 椭圆的第二定义 点M与一个定点的距离与它到一条定直线的距离比是常数时，这个点的轨迹是椭圆. 0<e<1 范围 “三定 ”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率. 对于椭圆 对应于焦点F2(c,0)， 准线方程是 根据椭圆的对称性，对应于焦点F1(-c,0)准线方程是 所以椭圆有两条准线. F2 x y O F1 探索新知 变式2 解： 探索新知 例3:已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C： m为何值时，直线l与椭圆C: (1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ 探索新知 归纳总结 判断直线与椭圆位置关系的方法步骤： 联立椭圆方程与直线方程组成方程组 消去一个未知数，得到关于x(或y)的 元二次方程，并计算判别式∆的值 ∆＞0 直线和椭圆相交； ∆ =0 直线和椭圆相切； ∆＜0 直线和椭圆相离. 算 联 判 探索新知 探索新知 变式3.直线y＝x＋1与椭圆x2＋ ＝1的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交. √ 探索新知 变式4.已知斜率为1的直线l过椭圆 ＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长. 解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 探索新知 归纳总结 课堂小结 回顾本节知识，自主完成下列问题： 1.解决和椭圆有关的实际问题的思路： 2.椭圆的第二定义： 3.判断直线与椭圆位置关系的方法步骤什么： 课堂检测 1、某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是____米. 解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32， 故拱宽至少为32米. 32 课堂检测 (1)有两个不同的公共点； 解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 课堂检测 (2)有且只有一个公共点； 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 课堂检测 (3)没有公共点？ 可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 课堂检测 √ 课后作业 课本第114页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆 绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于 椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭 圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中 到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且， 则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过 的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 例2 动点 与定点 的距离和M到定直线 的距离的比是常数 ，求动点M的轨迹. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 求点M的轨迹. 设点到直线l的距离为d，依题意， ，于是，化简得 ，即. 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图: 2.过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切. 3.过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切. 4.过椭圆内一点的直线与椭圆相交. 秒杀技： 若点Q（x0，y0）在椭圆+＝1上，则椭圆在点Q处的切线方程为 +＝1，对于m>n>0，0<m<n都适用. 研究直线与椭圆位置关系问题的特殊方法 1.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， 由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝， 将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0， ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝. ∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 直线与椭圆的相交弦： 设直线交椭圆于点两点， 则 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ，. 8 解析　设椭圆方程为＋＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1， 2、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： 由Δ>0，得－3<m<3. 于是，当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解. 2、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： 解　由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解. 2、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： 解　由Δ<0，得m<－3或m>3. 从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根， 3.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于 A. B. C.2 D.3 解析　由得交点为(0,1)，， 则|AB|＝＝. $