第03讲 集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第03讲 集合的基本运算 模块一 交集、并集（重点） 题型讲解： 1 课后作业 ····································································································································· 11 模块三 集合新定义 8 3 模块二 全集、补集（重点） 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第03讲 集合的基本运算 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 搞懂并集（∪）、交集（∩）、补集（）的核心概念。 1. 掌握数轴法和 Venn 图法，这是解决集合运算的两大神器！ 1. 警惕“空集”陷阱，注意区间端点的开闭。 模块一 交集、并集 知 识 点 睛 1. 并集 ( ) · 文字语言：由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合。 · 符号语言： · 大白话理解：把两个集合的元素“合并”在一起，重复的只写一次（互异性）。 · Venn图：圆圈A和B的全部。 · 核心性质： ； ； 。 2. 交集 ( ) · 文字语言：由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合。 · 符号语言： · 大白话理解：找两个集合的“公共部分”。如果没有公共部分，交集为空集 。 · Venn图：两个圆重叠的中间部分。 · 核心性质： ； ； 。 【小练一下】 1. 已知 ， ，求 和 。 2. 已知 ， ，求 和 。 3. 判断正误：若 ，则 和 中至少有一个是空集。 ( ) 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）设集合，或，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【练习1】 设集合，，若，则m的值为_________. 【练习2】 （单选）设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【练习3】 （单选）设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 常考的两个公式：; 【例2】 已知，.若，求实数的取值范围. 【例3】已知集合，． （1）用列举法表示集合A，并写出集合A的所有子集； （2）若，求实数a的取值集合． 【练习4】 已知，集合，． （1）当时，求； （2）若，求 的取值范围． 【练习5】 已知集合．若，求实数的取值范围； 【练习6】 （单选）设集合，，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【练习1】 模块二 全集与补集 知 识 点 睛 全集与补集 ( ) · 全集 ( )：包含所研究问题中涉及的所有元素的集合。 · 补集：由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合。 · 符号语言： · Venn图：大矩形（全集 ）里，挖掉小圆（集合 ）剩下的部分。 性质： ； ； 。 核心运算技巧（重点！） · 无限数集运算（区间）：必须画数轴！ · 注意：取不到的端点画空心圈 ，能取到的端点画实心点 。 【小练一下】 1. 已知全集 ， ，求 。 2. 已知全集 ， ，求 。 热 点 题 型 归 纳 【例4】已知集合，，求： （1），； （2），． 【例5】 （单选）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）（Venn图的应用） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【练习7】 （单选） 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【练习8】 （单选）已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【练习9】 已知全集，集合，，.求； 【练习10】（单选）已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【练习11】（单选）商洛市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，则没有参加任何一科竞赛的学生有多少名（ ）（可以画Venn图） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 模块三 集合新定义 耐心读题，按照题目给的要求一步步做就行。涉及到多个集合可以借助韦恩图来理清新定义要取的部分，补充常见函数：最大值max{1,2,3 }=3，最小值min{1,2,3}=1， 取整函数[x]（不超过x的最大整数）eg [1.2]=1, [-1.5]=-2 热 点 题 型 归 纳 【例6】 （多选）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）（借助Venn图理解差集含义） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 【练习12】（单选）设、是非空集合，定义且，若，，则等于 A. B. C D. 【练习13】设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. （注：例7,8及练习均为压轴题） 【例7】给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证：注：分别表示数集中的最小数与最大数． 【练习14】设数集（，）满足：①；②且，有，则称数集具有性质. （1）判断集合，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合的元素个数不超过3； （3）求满足性质的所有三元素集. 【练习15】（多选） 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则； （2）若，则．则称A为一个“封闭集．以下说法 ①若A为一个“封闭集”，则； ②若A为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【例8】（单选）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【练习16】已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 课后作业 一、 选择题（夯实基础，概念辨析） 1. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 设全集 ，集合 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集 ，集合 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知集合 ， ，则 ____________。 1. 已知全集 ， ， ，则 ____________， ____________。 1. 已知集合 ， ，则 ____________, ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 已知全集 ，集合 ， 。 （1）求 和 ； （2）求 和 。 1. 已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第03讲 集合的基本运算 模块一 交集、并集（重点） 题型讲解： 1 课后作业 附解析 19 模块三 集合新定义 11 5 模块二 全集、补集（重点） 7 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第03讲 集合的基本运算 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 搞懂并集（∪）、交集（∩）、补集（）的核心概念。 1. 掌握数轴法和 Venn 图法，这是解决集合运算的两大神器！ 1. 警惕“空集”陷阱，注意区间端点的开闭。 模块一 交集、并集 知 识 点 睛 1. 并集 ( ) · 文字语言：由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合。 · 符号语言： · 大白话理解：把两个集合的元素“合并”在一起，重复的只写一次（互异性）。 · Venn图：圆圈A和B的全部。 · 核心性质： ； ； 。 2. 交集 ( ) · 文字语言：由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合。 · 符号语言： · 大白话理解：找两个集合的“公共部分”。如果没有公共部分，交集为空集 。 · Venn图：两个圆重叠的中间部分。 · 核心性质： ； ； 。 【小练一下】 1. 已知 ， ，求 和 。 【解析】 （注意元素 3 只写一次）； （只有 3 是公共元素）。 2. 已知 ， ，求 和 。 【解析】 画数轴可知，重叠部分从 1 到 3，其中 1 能取到（实心），3 取不到（空心）。 故 。 全部覆盖部分从 -1 到 5，两端都取不到。故 。 3. 判断正误：若 ，则 和 中至少有一个是空集。 ( ) 【解析】错误。 只说明 和 没有公共元素（互斥），它们完全可以都是非空集合。例如 ，交集为空，但都不是空集。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）设集合，或，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【练习1】 设集合，，若，则m的值为_________. 【答案】4 【解析】因为，所以必有；故答案为：. 【练习2】 （单选）设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 【练习3】 （单选）设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】集合，Z为整数集，集合， 集合中元素的个数是3个． 故选：A. 常考的两个公式：; 【例2】 已知，.若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 【例3】已知集合，． （1）用列举法表示集合A，并写出集合A的所有子集； （2）若，求实数a的取值集合． 【答案】（1）；的子集为：、、、；（2） 【解析】【小问1详解】由，解得：或，即. 故的子集为：、、、. 【小问2详解】由（1）可知：，由可得：. 当时，得：，满足； 当时，得：， 由，得：或者，解得：或者. 综上所述可得：实数a的取值范围为 【练习4】 已知，集合，． （1）当时，求； （2）若，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 故； （2）由知 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值范围为 【练习5】 已知集合．若，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】 由 可得， 当，则，可得， 当，则，可得， 综上所述，的取值范围为. 【练习6】 （单选）设集合，，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：C. 【练习1】 模块二 全集与补集 知 识 点 睛 全集与补集 ( ) · 全集 ( )：包含所研究问题中涉及的所有元素的集合。 · 补集：由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合。 · 符号语言： · Venn图：大矩形（全集 ）里，挖掉小圆（集合 ）剩下的部分。 性质： ； ； 。 核心运算技巧（重点！） · 无限数集运算（区间）：必须画数轴！ · 注意：取不到的端点画空心圈 ，能取到的端点画实心点 。 【小练一下】 1. 已知全集 ， ，求 。 【解析】（全集中去掉 1, 3, 5 剩下的）。 2. 已知全集 ， ，求 。 【解析】全集中大于2的部分被 占据，补集就是小于等于2的部分。故 。 热 点 题 型 归 纳 【例4】已知集合，，求： （1），； （2），． 【答案】（1），； （2）；或. 【解析】【小问1详解】由条件可知，， 所以，； 【小问2详解】因为，所以. 又或，所以或. 【例5】 （单选）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）（Venn图的应用） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】D 【解析】， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 【练习7】 （单选） 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】， 由题设有，故， 故选：C. 【练习8】 （单选）已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为集合，，则， 且，所以. 故选：C. 【练习9】 已知全集，集合，，.求； 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴ 【练习10】（单选）已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程解得或，故. 故且. 故. 故选：B 【练习11】（单选）商洛市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，则没有参加任何一科竞赛的学生有多少名（ ）（可以画Venn图） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】因为有24名学生参加数学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加数、化两科的有4名， 所以只参加数学竞赛的有名， 因为有28名学生参加物理竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加物、化两科的有3名， 所以只参加物理竞赛的有名， 因为有19名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加物、化两科的有3名，参加数、化两科的有4名， 所以只参加化学竞赛的有名， 则没有参加任何一科竞赛的学生有名， 故选：A. 模块三 集合新定义 耐心读题，按照题目给的要求一步步做就行。涉及到多个集合可以借助韦恩图来理清新定义要取的部分，补充常见函数：最大值max{1,2,3 }=3，最小值min{1,2,3}=1， 取整函数[x]（不超过x的最大整数）eg [1.2]=1, [-1.5]=-2 热 点 题 型 归 纳 【例6】 （多选）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）（借助Venn图理解差集含义） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 【答案】BD 【解析】对于A：由且，故，故A错误； 对于B：由且，则，故，故B正确； 对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分， 所以，故C错误； 对于D：或， 则或，故D正确. 故选：BD. 【练习12】（单选）设、是非空集合，定义且，若，，则等于 A. B. C D. 【答案】A 【解析】解不等式，即，解得，则集合. 所以，，， 根据集合的定义可得. 故选A 【练习13】设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由“长度”定义可知：集合的长度为，集合的长度为； 若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端， 的“长度”的最小值为 若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多， 的“长度”的最大值为 则集合的“长度”的取值范围为 故答案为： （注：例7,8及练习均为压轴题） 【例7】给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证：注：分别表示数集中的最小数与最大数． 【答案】（1）集合不是，集合是，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】【小问1详解】 对于集合：因为，所以集合不是规范数集； 对于集合：因为， 又， 所以相伴数集，即，故集合是规范数集． 【小问2详解】 不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则，则，且， 使得，当时，则．当且仅当且时，等号成立； 当时，则，当且仅当且时，等号成立： 当时，则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：． 【练习14】设数集（，）满足：①；②且，有，则称数集具有性质. （1）判断集合，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合的元素个数不超过3； （3）求满足性质的所有三元素集. 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】（1）∵，，且，，∴集合不具有性质. ∵，，满足条件①，且，，，满足条件②，∴集合具有性质. （2）假设集合有个元素，不妨令， ，由于，所以，易知，则， 而满足的两两不同的整数至多3个，所以，即且， 若，则，所以，必有一个不属于，矛盾， 综上，； （3），证明如下： 对于三元素集，不妨设，由（2）易知， 所以只能取中的两个不同数， 不妨设，，， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又，，，所以满足条件②， 所以集合满足性质， 对于集合，当时，，则， 当时，，即，所以满足性质， 对于集合，当时，，则， 当时，，即，所以满足性质， 综上，满足性质的所有三元素集. 【练习15】（多选）11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则； （2）若，则．则称A为一个“封闭集．以下说法 ①若A为一个“封闭集”，则； ②若A为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】对于①，因为A为一个“封闭集”，由定义可知则，那么，正确； 对于②，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，正确； 对于③，都是封闭集，显然或不成立，错误； 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令， 假设且．则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以，分两类情况讨论 若，又，则，所以，这与假设矛盾； 若，又，则，所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确． 故选：ABD 【例8】（单选）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 【练习16】已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合； （2）2051； （3）675. 【解析】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合.理由如下： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为， 所以中的最小元素为， 同理，2次自相加后得到的集合中的最小元素是. 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 因为集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合；所以对， 再进行一次自相加操作，任意两个偶数相加的和还是偶数， 因为任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，故是完美自相加集合. （2）由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行1次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第2次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第3次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第4次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第5次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第6次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第7次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第8次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第9次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第10次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第11次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合的次自相加集合中的元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为. （3）因为且，集合 所以 要使，须使，所以， 又因为，故的最小值为. 课后作业 一、 选择题（夯实基础，概念辨析） 1. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 设全集 ，集合 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集 ，集合 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知集合 ， ，则 ____________。 1. 已知全集 ， ， ，则 ____________， ____________。 1. 已知集合 ， ，则 ____________, ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 已知全集 ，集合 ， 。 （1）求 和 ； （2）求 和 。 1. 已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】B。解析：并集是将两个集合的元素合并，根据元素的互异性，重复的元素只保留一个。故 。 1. 【答案】D。解析：解方程 得 或 ，所以 。因为 与 的元素完全相同，所以 。 1. 【答案】B。解析：补集是全集中去掉集合 的元素后剩下的部分。全集 中去掉 ，剩下 ，故 。 1. 【答案】C。解析：交集是找两个集合的公共部分。在数轴上，大于 2 且小于 5 的部分即为公共部分，故 。 1. 【答案】A。解析：补集是全集中不属于集合 的部分。全集 中去掉 的部分，剩下的就是 ，故 。 二、 填空题 6. 【答案】 ； 。 7. 【答案】 ； 。解析： 找公共元素，只有 ； ，再与 求并集，得 。 8. 【答案】 ； 。解析：画数轴求解。交集找重叠部分，注意端点 1 取不到（空心），3 取不到（空心）；并集找全部覆盖部分，端点 -2 能取到（实心），5 能取到（实心）。 三、 解答题 9. 【解析】 （1）画数轴分析： 找重叠部分：从 2 到 4，其中 2 能取到，4 取不到。故 。 找全部覆盖部分：从 -1 到 6，两端都取不到。故 。 （2） 是全集中去掉 的部分，故。 是全集中去掉 的部分，故。 10. 【解析】 解方程 得 或 ，所以 。 因为 ，需分情况讨论： ① 当 时，方程 无实数根，判别式 ，即 ， ，此不等式无解。 ② 当 时， 中的元素只能是 1 或 3。 若 ，则方程有两个相等的实根 1，由韦达定理得 ，且 ，解得 ，符合题意。 若 ，同理可得 ，但此时 ，矛盾，故不成立。 若 ，则 ，且 ，解得 ，符合题意。 综上所述，实数 的取值范围是 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $