精品解析：吉林省长春市九台区第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学 （时间：120分钟 分数：150分） 注意事项： 1．本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题），共150分．考试时间共120分钟，2．考生作答时，将全部答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后只交答题卡． 3．本试卷考试范围：人教版必修二 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（ ）， A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，则直线过定点__________． 13. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，若，则向量在基底下的坐标为______． 14. 如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求AE的长; （2）求AE和BC夹角的余弦值. 16. 已知的三个顶点坐标分别为、、. （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线的方程． 17. 过作直线， （1）若在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． （2）若分别交轴、轴的正半轴与点，， ①当为中点时，求直线的方程； ②设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量. （1）若P是平面内的任意一点，求证：； （2）另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点是空间任意一点，记向量.求证：点Q到直线的距离与点Q到平面的距离满足关系式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （时间：120分钟 分数：150分） 注意事项： 1．本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题），共150分．考试时间共120分钟，2．考生作答时，将全部答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后只交答题卡． 3．本试卷考试范围：人教版必修二 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】，点N为BC中点， 则. 故选：C 2. 已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的公式计算即可； 【详解】由题可得：,, 所以在方向上的投影向量是, 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 5. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和. ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 6. 过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（ ）， A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 【答案】B 【解析】 【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果. 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选:A． 8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，设线段的中点为，利用点、球心、点三点共线且球心在线段上时，最长可求得的最大值，由此可得出的最大值. 【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且， 将三棱锥补成正方体， 设三棱锥的外接球半径为，球心为， 则，， 取的中点，连接、， ，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心， 所以，平面，平面，， ，， 由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时， 取得最大值，且. ，， 所以，. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，为单位向量，则 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量满足，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角定义求解判断A；作出符合条件的轨迹并求出其长度判断BD；利用等体积法求出最大体积判断C. 【详解】对于A，当点重合时，连接，由矩形为正方体的对角面， 得，则直线与直线所成的角为或其补角， 而，即为等边三角形，因此，A正确； 对于B，取中点中点，连接，由， 得，则，， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面， 由，得点的轨迹为四边形（除点外）， 又，则动点的轨迹长度为，B错误； 对于C，显然为正三角形，，而， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 点是正方体表面上到平面距离最大的点，三棱锥是棱长为的正四面体， 点到平面的距离，则 ，C正确； 对于D，由平面平面，得直线与平面所成的角为， 连接，由平面，平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）；在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接，由平面，得是与平面所成角， 而，则，因此点轨迹是线段及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，则直线过定点__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知直线，变形为： 根据的任意性可得，解得 当取不同值时直线恒过定点. 13. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，若，则向量在基底下的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标表示的定义，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意得，， 所以向量在基底下的坐标为． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】首先的轨迹是过点的一条线段，再构建合适的空间直角坐标系，延长交于点，设，标出相关点坐标，求出平面、平面的法向量，结合二面角的大小及面面角的向量求法列方程求参数，进而确定面积最大值. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为． 故答案为：4 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求AE的长; （2）求AE和BC夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由向量运算可得，平方可得，求出数量积，可得的长； （2）先求出，进而可得的值，即可求解. 【小问1详解】 在平行六面体中， 由于，则， 由题意得，，， 由于是的中点， 则， 所以， 则. 【小问2详解】 由， 则. 所以AE和BC夹角的余弦值为. 16. 已知的三个顶点坐标分别为、、. （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，则由两点式即可求得中线的方程； （2）先求得直线的斜率，根据垂直时直线的斜率关系可知上高线的斜率，进而利用点斜式求得高所在直线的方程； （3）先求得线段的中点的坐标，根据直线垂直的斜率关系结合点斜式即可求得的垂直平分线的方程. 【小问1详解】 解：线段的中点坐标为， 所以，边上的中线所在直线的方程是，即. 【小问2详解】 解：根据两点间斜率公式可得，所以，边上高线的斜率是， 所以，边上的高所在直线方程是，即. 【小问3详解】 解：边上的中点的坐标为，， 所以，边的垂直平分线的方程是，即. 17. 过作直线， （1）若在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． （2）若分别交轴、轴的正半轴与点，， ①当为中点时，求直线的方程； ②设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）和 （2）① ；② 【解析】 【分析】(1)当直线过原点时，代入坐标求解即可；当直线不过原点时，利用截距式求解即可.(2)①利用截距式和中点公式求解即可；②结合基本不等式求出的面积最小时横纵截距的值，然后利用截距式即可求解. 【小问1详解】 结合已知条件可知，直线的斜率存在， (i)若直线过原点，满足题意，设直线的方程：， 因为直线过，则， 所以直线的方程：，即； (ii)若直线不过原点，设直线的横纵截距分别为，， 则直线的方程为：，即， 因为直线过，则， 所以直线的方程：. 综上所述，的方程为：和. 【小问2详解】 不妨设，，且，， 则直线的方程为：， ①因为为中点， 所以，， 由截距式可知，直线的方程为：，即. ②因为在直线上，所以， 所以由均值不等式可知，， 当且仅当时，即，时，有最小值8， 故， 当的面积最小时，，， 此时直线的方程为：，即. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：因为侧面底面且交线为， 因为，故，因为平面， 故底面，因为平面，则； 又因为，故， 又因为，故，则， 又因为，分别为，的中点，所以，故； 因为且平面， 所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直，在面内找两条相交直线与已知直线垂直，根据题干所给面面垂直关系找出线线垂直，再根据底面的边角关系找出垂直条件，进行证明即可； （2）根据（1）中所得的垂直关系，可建立空间直角坐标系，将两平面的夹角转化为两平面法向量的夹角进行计算； （3）利用（2）中的向量代入点到平面的距离公式计算三棱锥的体积，再根据四棱锥的已知条件计算体积，作比即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知底面，； 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，则，，，； 则，； 设为平面的法向量，则 ，故，取； 同理可得平面的法向量； 则， 则平面与平面夹角为，故正切值为； 【小问3详解】 由（2）知，，，故； 则， 则， 设为平面的法向量， 则，故，取； 设到平面的距离为， 则； 因为，故， 由； 则； 因为， 则； 故． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量. （1）若P是平面内的任意一点，求证：； （2）另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点是空间任意一点，记向量.求证：点Q到直线的距离与点Q到平面的距离满足关系式：. 【答案】（1） ∵平面经过点，且P是平面内的任意一点， 则是平面内的任意一条直线，且平面的法向量为， ∴， 由于，， ∴， 即. （2） （3） 因点，且直线的方向向量为， 则点Q到直线的距离为， 又点，且平面的法向量为，则点Q到平面的距离为， ∴满足关系：. 得证成立. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用空间位置关系的向量证明即可； （2）根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式求解即可； （3）利用空间向量求点线距、点面距的公式证面即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $