专题11 指数与指数函数考点精练【14大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

专题11 指数与指数函数高频考点精练 14大考点汇总 考点一　根式的化简求值 考点二　指数幂的化简、求值 考点三　指数函数的概念及其求参数 考点四　求指数函数的解析式或求值 考点五　指数型函数的定义域问题 考点六　指数型函数过定点问题 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点八　指数函数图像应用 考点九　求指数型函数的单调区间 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 考点十二　求指数型函数的值域或最值 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 题型突破 考点一　根式的化简求值 1．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 3．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 考点二　指数幂的化简、求值 5．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 6．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 7．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 8．（26-27高一上·安徽·期中）求值：_____． 考点三　指数函数的概念及其求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 10．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 考点四　求指数函数的解析式或求值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 14．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知指数函数的图象过点，则__________. 15．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 16．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 考点五　指数型函数的定义域问题 17．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 19．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 20．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 考点六　指数型函数过定点问题 21．（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若函数（且）的图象过定点P，则点P的坐标是__________. 23．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）已知函数（，且），则函数的图象恒过定点______． 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 25．（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 26．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是_____，实数b的取值范围是_____． 27．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A．B． C． D． 28．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 考点八　指数函数图像应用 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 30．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点九　求指数型函数的单调区间 33．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）已知函数，． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论函数的单调区间． 34．（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是___________ 36．（25-26高一上·北京·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 37．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 38．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 40．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 41．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）将，，，从小到大排序正确的是（        ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 考点十二　求指数型函数的值域或最值 45．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 46．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知函数 (1)若，求的取值范围． (2)当时，求的最值． 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 49．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 50．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 51．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 53．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 54．（25-26高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 55．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 56．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 指数与指数函数高频考点精练 14大考点汇总 考点一　根式的化简求值 考点二　指数幂的化简、求值 考点三　指数函数的概念及其求参数 考点四　求指数函数的解析式或求值 考点五　指数型函数的定义域问题 考点六　指数型函数过定点问题 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点八　指数函数图像应用 考点九　求指数型函数的单调区间 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 考点十二　求指数型函数的值域或最值 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 题型突破 考点一　根式的化简求值 1．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 3．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 考点二　指数幂的化简、求值 5．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 6．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 7．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 8．（26-27高一上·安徽·期中）求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 考点三　指数函数的概念及其求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 10．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 考点四　求指数函数的解析式或求值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 14．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知指数函数的图象过点，则__________. 【答案】 【分析】明确指数函数的定义，设出其解析式，利用待定系数法求解. 【详解】因为是指数函数，可设， 将坐标代入得，所以. 故答案为：. 15．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出解析式. 【详解】设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 16．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 考点五　指数型函数的定义域问题 17．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 18．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 19．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 20．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 考点六　指数型函数过定点问题 21．（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数定点计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象过定点. 故选：A. 22．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若函数（且）的图象过定点P，则点P的坐标是__________. 【答案】 【详解】令，解得，解得， 所以P的坐标是. 23．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合求解即可. 【详解】令，即，再由，所以，所以图象恒过. 故选：B. 24．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）已知函数（，且），则函数的图象恒过定点______． 【答案】 【分析】直接代入即可得到定点坐标. 【详解】令，可得， 因为，所以函数过定点为. 故答案为：. 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 25．（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 26．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是_____，实数b的取值范围是_____． 【答案】 【详解】当时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象限；当时，满足条件，如图2，所以，得． 27．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果. 【详解】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 28．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 考点八　指数函数图像应用 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 30．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 31．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 32．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象和的图象的交点可求的解集. 【详解】的解集即的解集， 也就是的图象在的图象的下方的点的横坐标的全体， 而的图象和的图象如图所示： 由图可得的解集为， 故选：B. 考点九　求指数型函数的单调区间 33．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）已知函数，． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)的取值范围是. (2)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）根据给定条件分离参数，利用指数函数性质及基本不等式求出范围. （2）变形给定函数，利用指数函数单调性，结合二次函数单调性按分类求出单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，不等式恒成立， 而，则，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. （2）函数，其定义域为， 令，则函数在上单调递减，， 当时，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 34．（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 35．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是___________ 【答案】 【分析】令，，根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，令，则， 易知在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递减区间为， 故答案为：. 36．（25-26高一上·北京·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 37．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 38．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 39．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 40．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 41．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）将，，，从小到大排序正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性比较同底数幂的大小，利用幂函数单调性比较同指数幂的大小，即可得到四个数的排序. 【详解】  指数函数在上单调递减， 由于，所以.   指数函数在上单调递减， 由于，所以. 幂函数在上单调递增，由于，所以. 又，， 幂函数在上单调递增， 且，所以，即. 综上，. 42．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 43．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 44．（25-26高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数图象分析判断. 【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示： 当，则，A成立； 当，则，B成立，C不成立； 当时，则，D成立. 故选：ABD.    考点十二　求指数型函数的值域或最值 45．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 46．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 48．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知函数 (1)若，求的取值范围． (2)当时，求的最值． 【答案】(1) (2)最小值4，最大值64 【分析】（1）根据指数函数的单调性可得，即可求解的取值范围； （2）当，求出，即可求解函数的最值. 【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或. 所以的取值范围为. （2）因为函数的对称轴为， 所以当，，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 49．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 【答案】A 【详解】令，则，对称轴， 当即时，函数在上单调递增，当时，， 因为，所以，不符合题意； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，函数在对称轴处取得最小值，，即，解得， 因为，所以． 50．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 51．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 52．（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求得，求得，得到时，，根据题意，转化为在上的值域为值域的子集，得到 ，结合，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 53．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 54．（25-26高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 55．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 56．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $