第7讲 指数与指数函数专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五讲 指数与指数函数—专题练习 【知识点梳理】 指数 知识点一、n次方根 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示(n>1，且n∈N*) （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根记作. （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，此时正数a的n次方根记作.负数没有偶次方根. 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4.根式的性质 （1）负数没有偶次方根． （2）0的任何次方根都是0，记作＝0. （3）＝a(n∈N*，且n>1)． （4）. 知识点二、分数指数幂和有理数指数幂 1.整数指数幂与分数指数幂的概念 整数指数幂 分数指数幂 正整数指数幂：（n个a相乘，n∈N*） 正数的分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负整数指数幂：（n∈N*） 正数的负分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 规定：0的0次方没有意义； 非零整数的0次方都等于1. 规定：0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念 1.无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2.实数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 指数函数 知识点一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二、指数函数的图像和性质 1.指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 2.底数a对指数函数图像的影响 （1）规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. （2）在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. 知识点三、利用指数函数比较幂值的大小 1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 （1）函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． （2）当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．（复合函数同增异减） 【专题练习】 考点一：指数 1.根式的化简与求值 例1.化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 解：（1）原式＝(－2)＋(－2)＝－4. （2）原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. （3）原式＝|x＋2|＝. 例2.已知－1<x<2，求的值． 解：原式＝＝|x－2|－|x＋1|. 因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0， 所以原式＝2－x－x－1＝1－2x. 随堂练习： 1.化简：＝　　 ． 解：原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x. 故答案为：. 2.若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 解：1＜a＜2，则1﹣a+2﹣a＝3﹣2a．故选：C． 3.当有意义时，化简的结果是　 ． 解：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2， 所以原式＝＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.故答案为：－1. 4.已知－3<x<3，求的值． 解：原式＝＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝. 5.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 6.化简下列各式： （1）； （2）(a≤1)； （3）. 解：（1）＝－2. （2）∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. （3）＝a＋|1－a|＝. 7.化简：（1）(x<π，n∈N*). （2）. 解：（1）∵x<π，∴x－π<0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上. （2）∵，∴2a－1≤0， ∴＝＝|2a－1|＝1－2a. 2.根式与分数指数幂的互化 例1.将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）(a>0)； （2）(x>0)； （3）(b>0)． 解：（1）原式=. （2）原式＝. （3）原式＝. 随堂练习： 1.(a>0)的值为　　 ． 解：原式＝a3··＝.故答案为：. 2.已知a＞0，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 解：因为a＞0，所以．故选：A． 3.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 解：A，∵，∴A错误， B，∵y＞0，∴，∴B正确， C，∵x＞0，∴，∴C正确， D，∵x＞0，∴，∴D正确，故选：BCD． 4.已知x＞0，化简：　　 ． 解：x＞0，．故答案为：x3． 5.(a>0)等于　 ． 解：原式＝.故答案为：. 6.化简：的答案为　 ． 解：a﹣1．故答案为：． 7.化简：答案为　 ． 解：． 故答案为：． 8.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； （1）； （2）； （3）（m＞n）； （4）； （5）． 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴． （2）∵m＞0，∴． （3）∵m＞n＞0，∴． （4）∵a＞0，∴． （5）∵a＞0，∴． 3.指数幂的运算 例1.计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 解：（1）原式＝1＋. （2）原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100. （3）原式＝. 随堂练习： 1.化简的结果为(　　) A.5 B. C. D.－5 解：.故选：B. 2.计算　　 ． 解：由题意可知，3﹣1+2＝4． 故答案为：4． 3.计算：　　 ． 解：原式114216．故答案为：16 4.计算：　　 ． 解： ＝112.故答案为：2. 5.计算：　　 ． 解：原式47﹣2 ＝﹣9． 故答案为：﹣9． 6.计算：（1）； （2）． （3）. （4）. 解：（1）原式； （2）原式． （3）原式1011. （4）原式|14|＝42﹣3﹣1（14） ＝1614. 4.根据已给条件求值 例1.已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 解：（1）由题意，所以． （2）由题意， 所以． 例2.已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 解：已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，则由a＞b＞0， 可得． 随堂练习： 1.已知ab＝－5，则的值是(　　) A． B．0 C． D． 解：由题意知ab<0，.故选：B. 2.已知2a＝5b＝m，且，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 解：由题意得m>0，∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝.故选：A. 3.已知，求的值. 解：，两边平方得a+a﹣1+2＝9，即a+a﹣1＝7， 平方得a2+a﹣2+2＝49，即a2+a﹣2＝47，. 4.若a＞0，且，求代数式的值． 解：∵a＞0，且， ∴ 1． 5.已知，求的值． 解：∵，∴， 则x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝72﹣2＝47，可得． 6.已知3，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）a2﹣a﹣2． 解：（1）∵3，∴a+a﹣12＝32﹣2＝7； （2）a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝72﹣2＝47； （3）∵a﹣a﹣1±． ∴a2﹣a﹣2＝（a﹣a﹣1）（a+a﹣1）． 考点二：指数函数 1.指数函数的概念 例1.给出下列函数： ①y＝2﹣x；②y＝2x+1；③y＝3•2x；④y＝﹣2x；⑤y＝（﹣2）x；⑥y＝x2；⑦y＝πx； ⑧y＝（a﹣1）x（a＞1且a≠2）． 其中是指数函数的是　　 （填序号）. 解：根据指数函数的定义可知，形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数. 故答案为：①⑦⑧． 例2.若函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，则实数a的值为 ． 解：∵函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，∴a2﹣3a+3＝1且a＞0且a≠1， 即a2﹣3a+2＝0，解得a＝1（舍）或a＝2．故答案为：a＝2． 随堂练习： 1.下列函数中是指数函数的是　　 （填序号）． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝﹣4x；④；⑤y＝2﹣x；⑥y＝2x﹣1． 解：对于②，y＝x4为幂函数；根据指数函数的定义知：①y＝4x，④y，⑤y＝2﹣x都是指数函数；对于③y＝﹣4x，⑥y＝2x﹣1不是指数函数． 故答案为：①④⑤． 2.下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝－4x C．y＝3x－1 D．y＝ 解：A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数．故选：D. 3.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2 B．－1 C．2 D. 解：依题意，有，解得m＝2(舍m＝－1)．故选：C. 4.函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 解：∵y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，∴a2﹣3a﹣3＝1，即a2﹣3a﹣4＝0， ∴a＝4或a＝﹣1，∵a＞0且a≠1，∴a＝4，故选：B． 5.若函数y＝（m2﹣m﹣1）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D． 解：根据题意可得，，得m＝2.故选：C． 6.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A．8 B. C．4 D．2 解：∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2. ∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.故选：D. 7.下列函数中是指数函数的是 ．(填序号) ①y＝2·；②y＝2x－1；③y＝；④y＝；⑤y＝. 解：①中指数式的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故答案为：③. 8.若函数，a≠1）是指数函数，则下列说法正确的是（　　） A．a＝8 B．f（0）＝﹣3 C． D．a＝4 解：因为函数，a≠1）是指数函数，所以a﹣3＝1，解得a＝8，选项A正确，D错误； 由此知f（x）＝8x，所以f（0）＝80＝1，选项B错误； 所以f（）2，选项C正确． 故选：AC． 2.求指数函数的解析式或函数值 例1.函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数， （1）求函数的解析式； （2）若f（x）＝3，求x的值． 解：（1）∵函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数，故有 a2﹣a﹣1＝1， 解得a＝﹣1，或 a＝2．再由 a＞0，且a≠1可得 a＝2，故函数的解析式为y＝2x． （2）若f（x）＝3，则 2x＝3，∴x＝log23． 例2.已知指数函数f（x）的图像过点（﹣3，），求这个指数函数的解析式，并求f（2）的 值． 解：设指数函数f（x）＝ax，∵指数函数f（x）的图像过点（﹣3，）， ∴，解得a＝2，故f（x）＝2x，f（2）＝22＝4． 随堂练习： 1.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝ ． 解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝， 所以f(－1)＝＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝＝.故答案为：. 2.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解：由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.故选：D. 3.已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点P（2，9），则f（﹣1）＝　 　． 解：∵f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点P（2，9）， ∴f（2）＝a2＝9，解得a＝3，∴f（x）＝3x，f（﹣1）＝3﹣1． 故答案为：． 4.指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），函数图像经过点（4，16），求该函数的解析式和 f（0）的值． 解：因为函数f（x）＝ax的图像过点（4，16），所以a4＝16，又因为a＞0，所以a＝2， 所以函数的解析式为f（x）＝2x，所以f（0）＝20＝1． 5.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），求f（x）的解析式及f（﹣1）的值． 解：设指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）， ∵指数函数f（x）的图象经过点（2，9），∴a2＝9，∵a＞0且a≠1， ∴a＝3，∴f（x）＝3x，∴．综上所述，f（x）＝3x，． 3.指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x－2x＋1. 解：（1）定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． （2）由题意知1－≥0，∴≤1＝，∴x≥0，∴定义域为[0，＋∞)． ∵x≥0，∴≤1.又∵>0，∴0<≤1.∴0≤1－<1， ∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)． （3）函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，∴函数的值域为. 随堂练习： 1.函数y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 解：要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x>0，所以0≤16－4x<16， 即函数y＝的值域为[0,4)．故选：C. 2.已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为 ． 解：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 令t＝，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增， 又y＝为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]． ∵t＝≥－1，∴∈(0,2]．故f(x)的值域为(0,2]． 故答案为：(－∞，0]，(0,2]. 3.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 解：函数的定义域为R. ∵y＝， 又∵3x>0，∴1＋3x>1，∴0<<1，∴－1<<0， ∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)． 故答案为：R，(0,1)． 4.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 解：x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴≠1，∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}． 故答案为：{x|x≠4，x∈R}，{y|y>0，且y≠1}． 5.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 解：由x2－2x≥0，解得：x≤0或x≥2，∴定义域为（－∞，0]∪[2，+∞）. ∵，∴.∴函数的值域为[1，+∞）. 故答案为：（－∞，0]∪[2，+∞），[1，+∞）. 4.指数函数的图像及应用 例1.如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c ＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解：结合指数函数的性质可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．故选：B． 例2.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象． 解：y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象，如图所示． 例3.已知实数a满足a＞0且a≠1，则函数f（x）＝ax﹣2﹣1的图象过定点　 ． 解：由y＝ax过定点（0，1），令x﹣2＝0，得f（2）＝a0﹣1＝0， 所以f（x）的图象过定点（2，0）．故答案为：（2，0）． 随堂练习： 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.故选：D. 2.函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 ． 解：函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1），则当x﹣1＝0时，即x＝1时，f（1）＝6， 则函数f（x）的图象恒过定点（1，6）．故答案为：（1，6）． 3.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，由， 故选：C． 4.如图所示的是y，，，在同一平面直角坐标系中的图象，则a1， a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．0＜a3＜a4＜1＜a1＜a2 B．0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1 C．0＜a3＜a4＜1＜a2＜a1 D．0＜a4＜a3＜1＜a1＜a2 解：结合指数函数的性质可得，a1＞a2＞1＞a3＞a4＞0．故选：B． 5.函数y＝2x＋1的图象是(　　) 解：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增．故选：A. 6.如图，曲线①②③④分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则实数a、b、 c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b 解：根据函数图象可知函数①y＝ax；②y＝bx为减函数， 且x＝1时，b1＜a1，所以0＜b＜a＜1， 根据函数图象可知函数③y＝cx；④y＝dx为增函数，且x＝1时，c1＞d1，所以c＞d＞1， 所以b＜a＜d＜c．故选：B． 7.函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2的图象过定点　 　． 解：幂函数图象恒过定点（1，1），令2x﹣3＝1，解得x＝2， 代入函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2，得f（2）＝1a﹣2＝1﹣2＝﹣1， 所以函数f（x）图象恒过定点（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）． 8.已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：函数y＝|2x－2|的图象如图所示． 要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0,1)． 9.利用指数函数f（x）＝2x的图像，作出下列各函数的图像. （1）y＝2x－1； （2）y＝2|x|； （3）y＝2x－1； （4）y＝－2x； （5）y＝|2x－1|； （6）y＝－2-x. 解：利用指数函数f（x）＝2x的图像变化作图可得各函数的图像，如图所示. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 5.指数函数的单调性的应用 例1.比较大小 （1）1.52.5与1.53.2；（2）0.5﹣1.2与0.5﹣1.5；（3）1.50.3与0.81.2． 解：对于（1），指数函数y＝1.5x在R上是单调增函数， 且2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2； 对于（2），指数函数y＝0.5x是R上的单调递减函数， 且﹣1.2＞﹣1.5，所以0.5﹣1.2＜0.5﹣1.5； 对于（3），由1.50.3＞1.50＝1，0.81.2＜0.80＝1，所以1.50.3＞0.81.2． 例2.如果a2x+1＞ax+7（其中a＞0，a≠1），求x的取值范围． 解：当a＞1时，函数y＝ax为增函数， ∵a2x+1＞ax+7，∴2x+1＞x+7，得出：x＞6， 当0＜a＜1时，函数y＝ax为减函数， ∵a2x+1＞ax+7，∴2x+1＜x+7，得出：x＜6， 综上：当a＞1时，x的取值范围为（6，+∞）， 当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣∞，6）. 随堂练习： 1.若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 解：由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，+∞）上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c．故选：D． 2.不等式的解集为　 　． 解：由于y＝是减函数，且，所以x2－2x－2<x－4，即x2－3x＋2<0，解得1<x<2.故答案为：(1,2). 3.若，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 解：函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选：A. 4.求不等式a2x﹣7＞a4x﹣1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围． 解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下： 当a＞1时，∵y＝ax在定义域上递增，∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3； 当0＜a＜1时，∵y＝ax在定义域上递减，∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3； 综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）； 当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）． 5.比较下列各组中两个数的大小： （1）0.20.3和0.20.2； （2）1.20.3和1.20.2； （3）0.30.1和0.3﹣0.1； （4）1.350.2和1.35﹣0.2． 解：（1）因为指数函数y＝0.2x在R上单调递减，且0.3＞0.2，所以0.20.3＜0.20.2； （2）因为指数函数y＝1.2x在R上单调递增，且0.3＞0.2，所以1.20.3＞1.20.2； （3）因为指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且0.1＞﹣0.1，所以0.30.1＜0.3﹣0.1； （4）因为指数函数y＝1.35x在R上单调递增，且0.2＞﹣0.2，所以1.350.2＞1.35﹣0.2． 6.比较下列各题中两个值的大小． （1）1.70.3，0.93.1； （2）（）﹣1.8，（）﹣2.5； （3）0.20.3，0.30.2． 解：（1）因为1.7＞1，所以y＝1.7x在R上单调递增， 因为0.3＞0，所以 1.70.3＞1.70＝1；，因为0＜0.9＜1， 所以y＝0.9x在R上单调递减，因为3.1＞0，所以0.93.1＜0.90＝1， 所以1.70.3＞0.93.1； （2）因为，所以在R上单调递减，又因为﹣1.8＞﹣2.5， 所以； （3）因为0＜0.2＜1，所以y＝0.2x在R上单调递减， 因为0.3＞0.2，所以0.20.3＜0.20.2；， 因为0.2＞0，所以y＝x0.2在（0，+∞）单调递增， 因为0.2＜0.3，所以0.20.2＜0.30.2，所以0.20.3＜0.30.2． 7.比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； （2）0.6－1.2和0.6－1.5； （3）1.50.3和0.81.2. 解：（1）∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2. （2）∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5. （3）由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. 8.设，，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有： （1）y1＝y2 （2）y1＜y2． 解：，，其中若a＞0且a≠1， （1）y1＝y2，即a3x+1＝a﹣2x，可得：3x+1＝﹣2x，解得：x． ∴当x时，y1＝y2； （2）y1＜y2．即a3x+1＜a﹣2x， 当a＞1时，可得：3x+1＜﹣2x，解得：x． 当1＞a＞0时，可得：3x+1＞﹣2x，解得：x． 综上：当a＞1时，x． 当1＞a＞0时，x． 6.指数型复合函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）. 解：（1）设， 则在上单调递增，在上单调递减. 当时，在R上是增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）函数的定义域为. 设， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在R上是增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）令，则，. 由，得. 又，所以，即，解得. 又在R上是增函数，而在上单调递增，在上单调递减. 上单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 随堂练习： 1.函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解：定义域为R.设u＝1－x，则y＝. ∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数．故选：A. 2.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解：由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝是减函数．故选：D. 3.函数y＝在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是 ． 解：由复合函数的单调性知，y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.故答案为：[2，＋∞). 4.函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 解：设u＝，则y＝3u，因为u＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数， 且y＝3u在R上是增函数，所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 故选：D. 5.函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞) 解：函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．故选：B. 6.判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域． 解：令u＝x2－2x，易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增，又0<<1，所以f(x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝，u∈[－1，＋∞)，所以0<≤＝3， 所以函数f(x)的值域为(0,3]． 7.设函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间． 解：（1）由4+3x﹣x2＝﹣（x+1）（x﹣4）≥0 可得﹣1≤x≤4， 故函数的定义域为[﹣1，4]． （2）由于二次函数t＝4+3x﹣x2的对称轴为x，且﹣1≤x≤4，故函数的增区间为[﹣1，]，减区间为[，4]． 8.已知函数y＝（）x﹣（）x+1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间. 解：令t，则y＝t2﹣t+1＝（t）2 当x∈[1，2]时，t是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是减函数 当x∈[﹣3，1]时，t是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数 ∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1] 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 指数与指数函数—专题练习 【知识点梳理】 指数 知识点一、n次方根 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示(n>1，且n∈N*) （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根记作. （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，此时正数a的n次方根记作.负数没有偶次方根. 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4.根式的性质 （1）负数没有偶次方根． （2）0的任何次方根都是0，记作＝0. （3）＝a(n∈N*，且n>1)． （4）. 知识点二、分数指数幂和有理数指数幂 1.整数指数幂与分数指数幂的概念 整数指数幂 分数指数幂 正整数指数幂：（n个a相乘，n∈N*） 正数的分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负整数指数幂：（n∈N*） 正数的负分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 规定：0的0次方没有意义； 非零整数的0次方都等于1. 规定：0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念 1.无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2.实数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 指数函数 知识点一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二、指数函数的图像和性质 1.指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 2.底数a对指数函数图像的影响 （1）规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. （2）在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. 知识点三、利用指数函数比较幂值的大小 1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 （1）函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． （2）当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．（复合函数同增异减） 【专题练习】 考点一：指数 1.根式的化简与求值 例1.化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 例2.已知－1<x<2，求的值． 随堂练习： 1.化简：＝　　 ． 2.若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 3.当有意义时，化简的结果是　 ． 4.已知－3<x<3，求的值． 5.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 6.化简下列各式： （1）； （2）(a≤1)； （3）. 7.化简：（1）(x<π，n∈N*). （2）. 2.根式与分数指数幂的互化 例1.将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）(a>0)； （2）(x>0)； （3）(b>0)． 随堂练习： 1.(a>0)的值为　　 ． 2.已知a＞0，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 3.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 4.已知x＞0，化简：　　 ． 5.(a>0)等于　 ． 6.化简：的答案为　 ． 7.化简：答案为　 ． 8.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； （1）； （2）； （3）（m＞n）； （4）； （5）． 3.指数幂的运算 例1.计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 随堂练习： 1.化简的结果为(　　) A.5 B. C. D.－5 2.计算　　 ． 3.计算：　　 ． 4.计算：　　 ． 5.计算：　　 ． 6.计算：（1）； （2）． （3）. （4）. 4.根据已给条件求值 例1.已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 例2.已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 随堂练习： 1.已知ab＝－5，则的值是(　　) A． B．0 C． D． 2.已知2a＝5b＝m，且，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 3.已知，求的值. 4.若a＞0，且，求代数式的值． 5.已知，求的值． 6.已知3，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）a2﹣a﹣2． 考点二：指数函数 1.指数函数的概念 例1.给出下列函数： ①y＝2﹣x；②y＝2x+1；③y＝3•2x；④y＝﹣2x；⑤y＝（﹣2）x；⑥y＝x2；⑦y＝πx； ⑧y＝（a﹣1）x（a＞1且a≠2）． 其中是指数函数的是　　 （填序号）. 例2.若函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，则实数a的值为 ． 随堂练习： 1.下列函数中是指数函数的是　　 （填序号）． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝﹣4x；④；⑤y＝2﹣x；⑥y＝2x﹣1． 2.下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝－4x C．y＝3x－1 D．y＝ 3.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2 B．－1 C．2 D. 4.函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 5.若函数y＝（m2﹣m﹣1）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D． 6.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A．8 B. C．4 D．2 7.下列函数中是指数函数的是 ．(填序号) ①y＝2·；②y＝2x－1；③y＝；④y＝；⑤y＝. 8.若函数，a≠1）是指数函数，则下列说法正确的是（　　） A．a＝8 B．f（0）＝﹣3 C． D．a＝4 2.求指数函数的解析式或函数值 例1.函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数， （1）求函数的解析式； （2）若f（x）＝3，求x的值． 例2.已知指数函数f（x）的图像过点（﹣3，），求这个指数函数的解析式，并求f（2）的 值． 随堂练习： 1.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝ ． 2.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 3.已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点P（2，9），则f（﹣1）＝　 　． 4.指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），函数图像经过点（4，16），求该函数的解析式和 f（0）的值． 5.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），求f（x）的解析式及f（﹣1）的值． 3.指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x－2x＋1. 随堂练习： 1.函数y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 2.已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为 ． 3.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 4.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 5.已知函数y＝，则其定义域为 ，函数值域为 ． 4.指数函数的图像及应用 例1.如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c ＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 例2.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象． 例3.已知实数a满足a＞0且a≠1，则函数f（x）＝ax﹣2﹣1的图象过定点　 ． 随堂练习： 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 2.函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 ． 3.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4.如图所示的是y，，，在同一平面直角坐标系中的图象，则a1， a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．0＜a3＜a4＜1＜a1＜a2 B．0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1 C．0＜a3＜a4＜1＜a2＜a1 D．0＜a4＜a3＜1＜a1＜a2 5.函数y＝2x＋1的图象是(　　) 6.如图，曲线①②③④分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则实数a、b、 c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b 7.函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2的图象过定点　 　． 8.已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 9.利用指数函数f（x）＝2x的图像，作出下列各函数的图像. （1）y＝2x－1； （2）y＝2|x|； （3）y＝2x－1； （4）y＝－2x； （5）y＝|2x－1|； （6）y＝－2-x. 5.指数函数的单调性的应用 例1.比较大小 （1）1.52.5与1.53.2；（2）0.5﹣1.2与0.5﹣1.5；（3）1.50.3与0.81.2． 例2.如果a2x+1＞ax+7（其中a＞0，a≠1），求x的取值范围． 随堂练习： 1.若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 2.不等式的解集为　 　． 3.若，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 4.求不等式a2x﹣7＞a4x﹣1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围． 5.比较下列各组中两个数的大小： （1）0.20.3和0.20.2； （2）1.20.3和1.20.2； （3）0.30.1和0.3﹣0.1； （4）1.350.2和1.35﹣0.2． 6.比较下列各题中两个值的大小． （1）1.70.3，0.93.1； （2）（）﹣1.8，（）﹣2.5； （3）0.20.3，0.30.2． 7.比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； （2）0.6－1.2和0.6－1.5； （3）1.50.3和0.81.2. 8.设，，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有： （1）y1＝y2 （2）y1＜y2． 6.指数型复合函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）. 随堂练习： 1.函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 2.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 3.函数y＝在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是 ． 4.函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 5.函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞) 6.判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域． 7.设函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间． 8.已知函数y＝（）x﹣（）x+1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $