专题13 函数的零点问题及应用考点精练【10大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

专题13 函数的零点问题及应用高频考点精练 10大考点汇总 考点一　求函数的零点 考点二　函数零点存在定理 考点三　用二分法求方程的近似解 考点四　函数零点个数的判断 考点五　根据零点个数求参数 考点六　函数的零点所在区间求参数 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 考点八　比较零点的大小关系 考点九　求零点的和 考点十　函数与方程的综合问题 题型突破 考点一　求函数的零点 1．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 4．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 考点二　函数零点存在定理 5．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 考点三　用二分法求方程的近似解 9．（2026高一上·全国·专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 11．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 考点四　函数零点个数的判断 13．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知函数，则方程的实根个数为_________. 14．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则______，的零点个数为______． 15．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 16．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点五　根据零点个数求参数 17．（26-27高一上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 20．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 考点六　函数的零点所在区间求参数 21．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 22．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数的零点，则整数的取值为_____． 23．（25-26高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为__________. 24．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 26．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）对于函数，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若函数有两个零点，则 C．若方程的两个根都在区间，则 D．若时，则的取值范围是 27．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）函数，若，且互不相等，则的取值范围是______． 28．（2026·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 考点八　比较零点的大小关系 29．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·浙江绍兴·期末）（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点九　求零点的和 33．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 35．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 36．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点十　函数与方程的综合问题 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（    ） A． B． C． D． 38．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（     ） A．6 B．8 C．16 D．18 39．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 40．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数的零点问题及应用高频考点精练 10大考点汇总 考点一　求函数的零点 考点二　函数零点存在定理 考点三　用二分法求方程的近似解 考点四　函数零点个数的判断 考点五　根据零点个数求参数 考点六　函数的零点所在区间求参数 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 考点八　比较零点的大小关系 考点九　求零点的和 考点十　函数与方程的综合问题 题型突破 考点一　求函数的零点 1．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 2．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 3．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 4．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 【答案】2 【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可. 【详解】对于方程，可得其根为，均不满足，故舍去； 又函数单调递增，且，满足题意. 零点为2. 考点二　函数零点存在定理 5．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在原理，结合方程的解与相对应函数的零点关系进行求解判断即可. 【详解】设函数， 因为函数在上都是单调递增函数， 所以函数在上也是单调递增函数. 因为， 所以， 又因为函数在上是单调递增函数， 所以根据函数零点存在原理，函数在上有唯一零点，且该零点在区间内， 因此方程的解所在区间为. 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 7．（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 8．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 考点三　用二分法求方程的近似解 9．（2026高一上·全国·专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【答案】1.4 【分析】本题是通过列表法给出部分函数值，进一步利用零点存在定理判断方程的解所在区间并求方程的符合条件的近似解. 【详解】，且，且题目要求精确度为。 的一个近似解为． 故答案为：． 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【分析】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【详解】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C 11．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 12．（25-26高一上·全国·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 考点四　函数零点个数的判断 13．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知函数，则方程的实根个数为_________. 【答案】7 【分析】令，则，进而分和解方程得，再讨论取相应值时方程的根的个数即可得答案. 【详解】解：令，原方程等价于 ①当时，有，即，解得或，均满足； ②当时，有 所以， 综上，的解：， 接下来分别解方程，，整理得， 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有1个实根， 所以，方程的实根个数为. 14．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则______，的零点个数为______． 【答案】 27 2 【详解】因为，所以． 令，得．函数的部分图象如图所示． 由图可知的图象与的图象有两个公共点，所以有两个零点． 15．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 【答案】 【分析】将函数的零点个数，转化为在上的图象与函数的图象的交点的个数.结合图象可得. 【详解】因为定义域为，所以的定义域为， 所以的定义域为. 函数的零点个数，即方程在上的实数根的个数， 即方程在上的实数根的个数， 即函数在上的图象与函数的图象的交点的个数. 如图，将定义域为的函数的图象关于原点对称即可得到的图象. 作函数在上的图象，可得该图象与函数的图象有3个交点， 所以函数的零点个数为. 16．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 考点五　根据零点个数求参数 17．（26-27高一上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为.则答案为ABC. 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数在内单调递增，值域为，分类讨论函数在内的零点个数，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】因为函数在内单调递增， 则函数在内的值域为. 若函数在内无零点，则或，可得或， 可知函数在内有2个零点， 则，解得，所以或； 若函数在内有且仅有1个零点，则，可得， 可知函数在内有且仅有1个零点， 则或，解得或，所以无解； 综上所述：的取值范围是. 19．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据函数的性质确定的取值范围，再结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ，，， 取交集得 . 20．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】令，则原方程转化为，分段解得或时，再分和进行求解. 【详解】令，则原方程转化为， 当时，，解得； 当时，，因为，所以该方程仅当时才有解，此时解为. 当时，的解为或，即或， 当时，，的解为，的解为； 当时，，故均为解. 因为时原方程有无数个实根，不符合题意，故. 当时，时无解，故有唯一解，即. 当时，，的解为，存在一个实根； 则当时，无解，即在时无解，时， 所以或，即或. 综上，. 考点六　函数的零点所在区间求参数 21．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 22．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数的零点，则整数的取值为_____． 【答案】或2 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【详解】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 23．（25-26高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 24．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由零点存在性定理得到，结合求出答案； （2）考虑和两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案. 【详解】（1）时，开口向上，为连续函数， 且， 要想在区间内有且只有1个零点，只需， 即，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2）当时，为一次函数，令， 解得，满足在区间内有且只有1个实数根， 当时， 当时，开口向下，为连续函数，且， 当，解得或， 当时，，令， 解得，舍去， 当时，，令， 解得，满足要求， 当，即时， 因为开口向下，为连续函数，且， 故，解得， 综上，实数a的取值范围是. 26．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）对于函数，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若函数有两个零点，则 C．若方程的两个根都在区间，则 D．若时，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用判别式即可；对于B，利用判别式即可；对于C，利用二次函数性质、二次方程根的分布即可；对于D，对分类，利用基本不等式即可. 【详解】对于选项A，若对任意，恒成立，则判别式， 即，解得，故A正确； 对于选项B，函数有两个零点等价于，即，解得或.故B错误； 对于选项C，令. 因为方程两根都在区间， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，当时，，故. 当时，，当且仅当即时等号成立； 当时，，当且仅当即时等号成立； 所以取值范围是，故D正确. 27．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）函数，若，且互不相等，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可得到函数图象，不妨令，即可得到，，再由基本不等式求出的范围，即可得解. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以函数的图象如下图所示: 若，且互不相等，不妨设， 则， 则，即， 所以．又，，，所以， 又由，变形得，解得，所以． 所以的取值范围是. 故答案为： 28．（2026·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 考点八　比较零点的大小关系 29．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 30．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 31．（25-26高一上·浙江绍兴·期末）（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作出的图象，由题意，结合图形可知且，化简计算即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，， 由知，，即， 即，得，故A错误，B正确； 由，得，所以故C正确， 所以故D正确，. 故选：BCD. 32．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由得到，由与的图象，可以直接判断，；再由得到，结合进一步得到. 【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示.    不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确. 因为，所以，故C错误. 又因为，所以，即，所以，故A错误，B正确. 故选：BD. 考点九　求零点的和 33．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，结合对数的运算性质、二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 二次函数，对称轴为， 设， 因为，由图， 显然， ， 所以， 故选：C 34．（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 35．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图象可得，，，，进而可得，结合对勾函数单调性求取值范围. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又因为，在上单调递增， 可知在上单调递增，当时，， 且，作出函数的图象，如图所示： 若关于x的方程有四个实数解，且， 可得，，， 又因为，则， 因为，则，可得， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且，，当x趋近于时，趋近于， 即，所以的取值范围为. 故答案为：. 36．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 考点十　函数与方程的综合问题 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 38．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（     ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由偶函数的定义可得为偶函数，再由其奇数个零点可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，可得，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 39．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 【答案】ACD 【分析】转化成方程的根的问题，数形结合可判断A；转化成与的交点问题，数形结合可判断B；解方程，把问题转化成和与的交点个数问题，数形结合可判断C；令，得，转化成与的交点个数问题，分类讨论，数形结合可判断D. 【详解】对于A：设，且点关于原点对称的点也在上，不妨设， 选项A等价于存在唯一的，使， 即， 化简得：，（1） 当，，故，此时方程（1）无解； 当时，方程（1）化为：， 即，令，， 分别作出两函数在上的图象： 由图象知：，的图象在上只有一个交点，即方程（1）只有一个解； 综上：方程（1）在上只有一个解，故A正确； 对于B：令，得， 选项B等价于与的图象有三个交点， 分别作出，直线与的图象， 由图可知：当介于直线，之间或与直线重合时， 直线与的图象有三个交点，此时，故B错误； 对于C：由，得， 解得：或，选项C等价于或解的个数和为5， 即和与的图象的交点个数和为5， 分别作出它们的图象， 由图可知：当时，，当时，， 与的图象共有3个交点， 所以与的图象有2个交点，所以，故C正确； 对于D：令，得：，（2） 选项D等价于方程（2）解的个数， 令，得， 作出的图象如下： 当时，与的图象有1个交点，此时交点横坐标为， 与的图象有1个交点，故此时有1个零点； 当时，与的图象有2个交点，此时交点横坐标分别为，， 与的图象只有1个交点，与的图象有3个交点，故此时有4个零点； 当时，与的图象有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：，，， 此时与的图象有1个交点，与的图象有3个交点， 与的图象有3个交点，共7个交点， 故此时有7个零点； 当时，与有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：，，， 此时与的图象有1个交点，与的图象有2个交点， 与的图象有3个交点，共6个交点，故此时有6个零点； ， 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，， 此时与有1个交点，与有3个交点， 共4个交点，故此时有4个零点； 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，， 此时与只有1个交点，与有2个交点，共3个交点， 故此时有3个零点； 综上：函数，的零点个数分别为：，，，，，故D正确. 40．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． (3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解． 【详解】（1）（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 故关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或， 综上，实数的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $