专题06 函数的概念及其表示高频考点精练【10大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题06 函数的概念及其表示高频考点精练 10大考点汇总 考点一　求定义域的问题 考点二　利用定义域求参数的问题 考点三　求函数值域的问题 考点四　判别式法求最值 考点五　函数的表示方法 考点六　求函数解析式的问题 考点七　求分段函数值及其求参数 考点八　画出具体函数图象 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 题型突破 考点一　求定义域的问题 1．（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次根号被开方数大于或等于0，分式分母不为0，即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，则，所以的取值范围为. 2．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域； （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）（2）题是同一类型题，利用根式与分式有意义，联立不等 式组解不等式组即可求解. （3）由的定义域求出函数的定义域，再由 在的定义域内即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义， 必须解得或且， 所以函数定义域为. （2） 要使 函数有意义， 必须解得或. 所以函数定义域为. （3）由题意可知，， 所以的定义域为， 所以令，解得， 所以的定义域是 3．（26-27高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 4．（25-26高三上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 考点二　利用定义域求参数的问题 5．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题化为在上恒成立，分类讨论研究恒成立，即可得. 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知函数的定义域是R，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解. 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 考点三　求函数值域的问题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 10．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 考点四　判别式法求最值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 15．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 考点五　函数的表示方法 17．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由表可知，则． 18．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 19．（25-26高一上·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 【答案】3 【分析】通过表格找到对应的的值，进而可以找到的值. 【详解】由题意得，则， 故答案为：3. 20．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 考点六　求函数解析式的问题 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 22．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 23．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【详解】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 24．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 考点七　求分段函数值及其求参数 25．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知函数，则______． 【答案】 【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可. 【详解】已知函数，则． 26．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 27．（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断自变量所在的区间，代入计算即可； （2）分和两种情况讨论，分别代入计算即可得到答案． 【详解】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 28．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 考点八　画出具体函数图象 29．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 30．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)； (2)2或0 (3)图象： 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【详解】（1）易知 （2）当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 31．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； 【答案】(1) (2)   【分析】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，即可求得函数解析式； （2）根据分段函数解析式直接画出图象即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）由（1）知的图象如图所示：    32．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象. 【详解】（1）由，其函数图象如下， （2）由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下， 考点九　分段函数的性质及应用 33．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 34．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 35．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 36．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【分析】首先运用换元法令，根据解出的范围，再数形结合解出的范围即可. 【详解】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，. 故答案为：. 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 37．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 38．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 39．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 40．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的概念及其表示高频考点精练 10大考点汇总 考点一　求定义域的问题 考点二　利用定义域求参数的问题 考点三　求函数值域的问题 考点四　判别式法求最值 考点五　函数的表示方法 考点六　求函数解析式的问题 考点七　求分段函数值及其求参数 考点八　画出具体函数图象 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 题型突破 考点一　求定义域的问题 1．（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 2．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域； （3）已知函数定义域是，求的定义域. 3．（26-27高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 4．（25-26高三上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 考点二　利用定义域求参数的问题 5．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知函数的定义域是R，则的取值范围是______. 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三　求函数值域的问题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 考点四　判别式法求最值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的最大值、最小值. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 15．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 考点五　函数的表示方法 17．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 18．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 19．（25-26高一上·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 20．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 考点六　求函数解析式的问题 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 22．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 23．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 24．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 考点七　求分段函数值及其求参数 25．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知函数，则______． 26．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设函数，则（   ） A． B． C． D． 27．（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 28．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 考点八　画出具体函数图象 29．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 30．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 31．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； 32．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 考点九　分段函数的性质及应用 33．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 37．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 39．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 40．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $