专题4.5 函数的应用（二）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.5 函数的应用（二） 考点预览 考点一 函数的零点与方程的解 考点二 零点存在定理与零点所在区间 考点三 用二分法求方程的近似解 考点四 函数模型的选择与建立 考点五 指对数模型的实际应用 一、知识填空 1．函数的零点 （1）对于函数 ，使 的实数 叫做函数的 。 （2）函数的零点不是一个点，而是一个 。 （3）方程 有实根，等价于函数 的图象与 有交点，也等价于函数 有 。 2．函数零点存在定理 （1）若函数 在闭区间 上的图象是 的曲线，并且 ，则它在 内至少有一个零点。 （2）定理只能保证零点 存在，不能说明零点的 。 （3）若 在区间上单调，且端点函数值异号，则零点是 的。 3．二分法 （1）二分法求近似解的前提是：先找到一个区间 使 。 （2）每次取区间的 ，计算它的函数值，再按符号把含零点的那个区间留下。 （3）区间 经过 次二分后，剩余区间长度为 。 （4）当区间长度 给定的精确度时，区间内的任意值都可作为零点的近似值。 4．建立函数模型解决实际问题 （1）一般流程是：收集数据 → → 选择函数模型 → 求解检验 → 回代实际。 （2）常见的三类模型中，增长最快的是 函数模型，增长最慢的是 函数模型。 （3）选择模型时既要看数据的变化趋势，也要进行 检验。 5．两类重要模型 （1）指数模型：设初始量为 ，每期增长率为 ，则 期后的量为 。 （2）对数模型：若 型的模型取自变量每扩大 倍，函数值增加 个单位。 （3）当总的目标值已知、求"经过多少期"时，通常要通过对数把 位置的未知量解出来。 二、考点专练 考点一 函数的零点与方程的解 方法与技巧： 1. 识别信号：题目问函数的零点、方程实根的个数、或参数取何值时方程有解。 1. 操作流程：求零点就解 ；求零点个数可转化为两个函数图象的交点个数；含参数时作出草图，看水平线 与曲线有几个交点。 1. 技巧·口诀：零点 ⇔ 方程的根 ⇔ 图象与 轴交点的横坐标，三者说的是同一件事； 的根就是 的零点。 1. 易错点：零点是一个数而不是点，写"零点为 "是错的，应写"零点为 "； 分段函数要逐段求，别忘了检验是否落在对应区间内。 【例题精讲】 1．函数 的零点是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 2．函数 的零点是（　　） A． B． C． 以外的数 D． 【变式训练】 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点个数是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 满足：当 时 ；当 时 。则 的零点个数是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3．函数 的零点是（　　） A． B． C． 和 D． 4．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 6．若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．函数 的零点个数是（　　） A． B． C． D．无数个 8．方程 的实根个数是（　　） A． B． C． D． 考点二 零点存在定理与零点所在区间 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出一个不太好解的方程，问它的根落在哪个整数区间内，或判断某个区间内是否存在零点。 1. 操作流程：记 左式减右式，依次算各整数端点的函数值，找异号的两个相邻端点，根就在它们之间。 1. 技巧·口诀："端点代入看符号，一正一负必有根"。 选项给的区间端点通常就是 、、、，算三四个值就能锁定。 1. 易错点：定理要求函数在区间上连续且端点异号； 端点异号只能保证"至少一个"，没有单调性就不能说"恰好一个"。 【例题精讲】 1．函数 的一个零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在区间 内有零点， 为正整数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在 上连续，且 ，，则下列说法正确的是（　　） A．在 内至少有一个零点 B．在 内恰有一个零点 C．没有零点 D．无法确定 4．函数 在区间 内是否一定存在零点？（　　） A．一定存在 B．一定不存在 C．无法判断 D．恰有两个 5．方程 的实根所在区间是（　　） A． B． C． D． 6．若 在 上单调递减且连续，，，则 的零点个数是（　　） A． B． C．至少 D．无法确定 7．函数 的正零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 的图象连续不断，且 ，则下列结论正确的是（　　） A．不能断定 内无零点 B． 内一定没有零点 C． 内一定有零点 D． 与 都大于 考点三 用二分法求方程的近似解 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出初始区间与精度要求，问下一次落在哪个区间、或要二分多少次。 1. 操作流程：每次取中点 ，算 的符号，它与哪个端点异号就留下哪一半。 1. 技巧·口诀：区间长度每二分一次减半， 次后为 ； 要求精度 ，就解 取最小整数 。 1. 易错点：判断"含零点的区间"要看 与哪个端点异号，而不是看谁离零近； 精度条件用的是"小于"，不能取等号。 【例题精讲】 1．用二分法求方程 的正根，已知 ，，取区间中点后零点落在（　　） A． B． C． D． 2．用二分法求零点时，初始区间长度为 ，要使区间长度小于 ，至少需要二分的次数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．设 ，已知 ，，取中点 后零点落在（　　） A． B． C． D． 2．用二分法求 在 内的近似解，要使近似值的误差不超过 ，则至少需二分（　　） A． 次 B． 次 C． 次 D． 次 3．用二分法求方程近似解的过程中，若 ，，，则下一步应取的区间是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．二分法求根的第一步是找一个区间 ，使（　　） A． B． C． D． 2．区间 连续二分 次后，剩余区间的长度是（　　） A． B． C． D． 3．用二分法求 的近似值，初始区间取 ，取中点 后下一步的区间是（　　） A． B． C． D． 4．关于二分法，下列说法正确的是（　　） A．二分法只能求变号零点 B．二分法能求出所有零点 C．二分法求出的解是精确值 D．二分法不需要函数连续 5．若初始区间长度为 ，经过 次二分后区间长度是（　　） A． B． C． D． 6．用二分法求 的零点，已知 ，，取中点 后零点落在（　　） A． B． C． D． 7．某同学用二分法求零点，得到区间 且 、，则该区间中点处的函数值需要进行的操作是（　　） A．计算 并判断符号 B．计算 的精确值 C．直接取 作为零点 D．换用别的初始区间 8．要使多个零点的函数被完整求出，下列做法最恰当的是（　　） A．先划分区间逐个用二分法 B．只用一个大区间二分 C．直接令函数值等于 求解 D．放弃用二分法 考点四 函数模型的选择与建立 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出一组实测数据，要判断该用哪种函数模型，或比较两个模型哪个拟合得更好。 1. 操作流程：先看数据的增长方式——增量大致相等用一次模型，增量成等差但二阶差分相等用二次模型，增量按比例放大用指数模型。 1. 技巧·口诀："对数增长最慢、幂函数居中、指数增长最快"； 在 足够大时， 的值远大于 ，而 又远大于 。 1. 易错点：不要只看前几项数据就下结论，指数模型早期增长很慢，容易与一次模型混淆； 求出模型后必须代回原数据检验。 【例题精讲】 1．某组数据中，自变量每增加 ，函数值依次增加 、、、，则最适宜选用的模型是（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 2．某细胞分裂的个数依次为 、、、、，则描述这一过程最恰当的模型是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在 充分大时，下列函数中增长最快的是（　　） A． B． C． D． 2．某实际问题中用两个模型拟合，模型甲的各次误差分别为 、、、，模型乙的为 、、、，则应选择（　　） A．模型甲 B．模型乙 C．两者皆可 D．无法判断 3．某产品月利润数据随着月份增加先上升后下降，则较合适的模型是（　　） A．二次函数模型 B．一次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 【巩固练习】 1．若一组数据的相邻两项之比依次为 、、，则宜选用的模型是（　　） A．指数函数模型 B．一次函数模型 C．二次函数模型 D．常函数模型 2．下列函数中，随着自变量增大增长最慢的是（　　） A． B． C． D． 3．建立函数模型解决实际问题时，下列步骤排列正确的是（　　） A．收集数据→画散点图→选模型→求解→检验 B．选模型→收集数据→画散点图→求解→检验 C．画散点图→收集数据→选模型→求解→检验 D．求解→选模型→收集数据→检验 4．若用 拟合数据，得到 ，，则当 时的预测值是（　　） A． B． C． D． 5．某公司前三年利润依次为 、、 万元，若按此趋势外推，第四年利润约为（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 6．某同学用一次模型拟合本应是指数型的数据，则在自变量较大时会出现（　　） A．预测值严重偏小 B．预测值严重偏大 C．预测值恰好相等 D．完全无法预测 7．要比较两个模型的拟合效果，下列做法最合理的是（　　） A．计算各点误差并比较其大小 B．只看其中一个点是否吻合 C．选择表达式最复杂的那个 D．选择参数最多的那个 8．已知三个模型的增长速度满足 模型甲 模型乙 模型丙，且丙是指数模型，则乙最可能是（　　） A．幂函数模型 B．对数模型 C．指数模型 D．常函数模型 考点五 指对数模型的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题干出现"增长率""翻一番""半衰期"或类似 、震级、声强级的定义式。 1. 操作流程：增长型写 ，衰减型写 ；求"经过多少期"时两边取对数，把指数上的未知数放下来。 1. 技巧·口诀：求 就用对数：； ，地震震级是对数模型。 1. 易错点：增长率 要写成小数（如 写成 ）； "第 年末"与"经过 年"对应的自变量的增量不一定相同。 【例题精讲】 1．某城市现有人口 万，若每年自然增长率为 ，则人口达到 万约需的年数满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．某种物质每经过 年剩余质量是原来的 ，现有该物质 克，经过 年后剩余质量是（　　） A． 克 B． 克 C． 克 D． 克 【变式训练】 1．若 ，则 可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．溶液的酸度定义为 ，其中 为氢离子浓度。若甲溶液 ，乙溶液 ，则甲的浓度是乙的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 3．某人向银行贷款 万元，年利率 ，按年计复利，则 年后需还款（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【巩固练习】 1．某企业今年利润为 万元，若每年增长 ，要使利润达到 ，则所需的年数 满足（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 用对数表示为（　　） A． B． C． D． 3．地震的里氏震级 与释放能量 满足 。若某次地震震级为 ，则释放能量 满足（　　） A． B． C． D． 4．某林区现有木材 立方米，若每年增长 ，则大约经过多少年达到 立方米？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 5．某机器原值 元，每年折旧率 ，则 年后残值是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知某地的环境容量为 ，某种群数量满足 （其中 ）。当 越来越大时， 的变化趋势是（　　） A．趋近于 B．趋近于 C．无限增大 D．上下波动 8．某种商品的市场需求量 与价格 满足 （其中 、 为常数）。当价格从 变到 时，需求量的对数变化量是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． 和 D． 2．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 4．用二分法求零点时，初始区间 经过 次二分后区间长度是（　　） A． B． C． D． 5．要使长度为 的区间经二分后长度小于 ，至少需二分的次数是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数中，在 充分大时增长最快的是（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．某企业产值每年增长 ，现有产值 ，则 年后产值是（　　） A． B． C． D． 9．若 连续且 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 内至少有一个零点 B． 内恰有一个零点 C．一定没有零点 D．无法判断 10．一组数据相邻两项的差依次为 、、、，则其宜选用的模型是（　　） A．二次函数模型 B．一次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 11．方程为 的正根，取区间 ，中点处的函数值为正，则下一步应取的区间是（　　） A． B． C． D． 12．某林区木材蓄积量每年增长 ，现为 立方米，则大约经过多少年翻一番？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 函数的应用（二） 考点预览 考点一 函数的零点与方程的解 考点二 零点存在定理与零点所在区间 考点三 用二分法求方程的近似解 考点四 函数模型的选择与建立 考点五 指对数模型的实际应用 一、知识填空 1．函数的零点 （1）对于函数 ，使 的实数 叫做函数的 。 （2）函数的零点不是一个点，而是一个 。 （3）方程 有实根，等价于函数 的图象与 有交点，也等价于函数 有 。 2．函数零点存在定理 （1）若函数 在闭区间 上的图象是 的曲线，并且 ，则它在 内至少有一个零点。 （2）定理只能保证零点 存在，不能说明零点的 。 （3）若 在区间上单调，且端点函数值异号，则零点是 的。 3．二分法 （1）二分法求近似解的前提是：先找到一个区间 使 。 （2）每次取区间的 ，计算它的函数值，再按符号把含零点的那个区间留下。 （3）区间 经过 次二分后，剩余区间长度为 。 （4）当区间长度 给定的精确度时，区间内的任意值都可作为零点的近似值。 4．建立函数模型解决实际问题 （1）一般流程是：收集数据 → → 选择函数模型 → 求解检验 → 回代实际。 （2）常见的三类模型中，增长最快的是 函数模型，增长最慢的是 函数模型。 （3）选择模型时既要看数据的变化趋势，也要进行 检验。 5．两类重要模型 （1）指数模型：设初始量为 ，每期增长率为 ，则 期后的量为 。 （2）对数模型：若 型的模型取自变量每扩大 倍，函数值增加 个单位。 （3）当总的目标值已知、求"经过多少期"时，通常要通过对数把 位置的未知量解出来。 自检自纠： 1．（1）零点 （2）实数 （3） 轴；零点 2．（1）连续； （2）至少；个数 （3）唯一 3．（1） （2）中点 （3） （4）小于 4．（1）画散点图 （2）指数；对数 （3）检验 5．（1） （2） （3）指数 二、考点专练 考点一 函数的零点与方程的解 方法与技巧： 1. 识别信号：题目问函数的零点、方程实根的个数、或参数取何值时方程有解。 1. 操作流程：求零点就解 ；求零点个数可转化为两个函数图象的交点个数；含参数时作出草图，看水平线 与曲线有几个交点。 1. 技巧·口诀：零点 ⇔ 方程的根 ⇔ 图象与 轴交点的横坐标，三者说的是同一件事； 的根就是 的零点。 1. 易错点：零点是一个数而不是点，写"零点为 "是错的，应写"零点为 "； 分段函数要逐段求，别忘了检验是否落在对应区间内。 【例题精讲】 1．函数 的零点是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】A 【详解】由 得 ，解得 或 。 零点要写成数，不能写成点坐标，这正是选项 B 设置的陷阱。故选 A。 2．函数 的零点是（　　） A． B． C． 以外的数 D． 【答案】A 【详解】由 得 。 注意 ，所以 C 的表述本身就是错的。 指数方程优先化成同底比较指数。故选 A。 【变式训练】 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。 解对数方程后别忘了真数为正，这里 ，成立。故选 A。 2．函数 的零点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，只有一个零点。 立方只有一个实根，不像二次方程可能有两个。故选 A。 3．已知函数 满足：当 时 ；当 时 。则 的零点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时由 得 ，符合条件； 时由 得 ，也符合条件。 共 个零点。 分段函数必须逐段求并检查区间。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。零点写成数而非点。故选 A。 2．函数 的零点是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】A 【详解】由 得 或 。故选 A。 3．函数 的零点是（　　） A． B． C． 和 D． 【答案】A 【详解】令 ，得 ， 即 ，舍去负根得 ，故 。 换元后别忘了用 检验。故选 A。 4．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。 这里真数 ，满足条件。故选 A。 5．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 即 ， 比较指数得 ，即 。 底数小于 时零点常是负数。故选 A。 6．若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个零点要求判别式 ，解得 。 二次方程两根对应函数两个零点。故选 A。 7．函数 的零点个数是（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】A 【详解】 与 都递增，故 在 上递增，至多一个零点； 又 ，恰有一个零点。 先证单调再用特值是最紧凑的写法。故选 A。 8．方程 的实根个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】转化为 与 的交点个数。 指数曲线与直线最多两个交点，代入可知 与 各有一个，共 个。 数形结合是判断根个数的通法。故选 A。 考点二 零点存在定理与零点所在区间 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出一个不太好解的方程，问它的根落在哪个整数区间内，或判断某个区间内是否存在零点。 1. 操作流程：记 左式减右式，依次算各整数端点的函数值，找异号的两个相邻端点，根就在它们之间。 1. 技巧·口诀："端点代入看符号，一正一负必有根"。 选项给的区间端点通常就是 、、、，算三四个值就能锁定。 1. 易错点：定理要求函数在区间上连续且端点异号； 端点异号只能保证"至少一个"，没有单调性就不能说"恰好一个"。 【例题精讲】 1．函数 的一个零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。 两端点函数值异号，由零点存在定理知在 内至少有一个零点。 依次代入整数点是最快的手感。故选 A。 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 两端点异号，故零点在 内。 另外 递增，所以零点是唯一的。故选 A。 【变式训练】 1．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故零点在 内。 两个函数相加时仍直接用定理即可。故选 A。 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 故零点在 内。 三次项增长很快，端点值差距大，算起来容易判断。故选 A。 3．若函数 在区间 内有零点， 为正整数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，零点在 内，故 。 求端点时优先代正整数。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 故零点在 内。故选 A。 2．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 就是零点； 若按端点异号判断，，结合定义域取 的表述形式，四个选项中零点的落点应判为 附近。 精确零点为 （此时应直接指出端点即零点）。故选 A。 3．若函数 在 上连续，且 ，，则下列说法正确的是（　　） A．在 内至少有一个零点 B．在 内恰有一个零点 C．没有零点 D．无法确定 【答案】A 【详解】端点异号且函数连续，由零点存在定理知至少有一个零点。 没有单调性就不能说"恰好一个"，这正是定理的边界。故选 A。 4．函数 在区间 内是否一定存在零点？（　　） A．一定存在 B．一定不存在 C．无法判断 D．恰有两个 【答案】A 【详解】，， 端点异号故一定存在零点。 指数与幂组合的题先代整数端点。故选 A。 5．方程 的实根所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，， 故实根在 内。 这正是"三次方程无求根公式时的标准处理"。故选 A。 6．若 在 上单调递减且连续，，，则 的零点个数是（　　） A． B． C．至少 D．无法确定 【答案】A 【详解】由端点异号知至少有一个；由严格单调知至多一个， 两者结合就是"恰好一个"。 单调性是把"至少一个"升级为"唯一"的关键。故选 A。 7．函数 的正零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故正零点在 内。 事实上它等于 。故选 A。 8．已知函数 的图象连续不断，且 ，则下列结论正确的是（　　） A．不能断定 内无零点 B． 内一定没有零点 C． 内一定有零点 D． 与 都大于 【答案】A 【详解】乘积大于 只说明两端同号，函数在区间内仍可能两次穿过 轴。 定理是充分不必要条件的典型例子。故选 A。 考点三 用二分法求方程的近似解 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出初始区间与精度要求，问下一次落在哪个区间、或要二分多少次。 1. 操作流程：每次取中点 ，算 的符号，它与哪个端点异号就留下哪一半。 1. 技巧·口诀：区间长度每二分一次减半， 次后为 ； 要求精度 ，就解 取最小整数 。 1. 易错点：判断"含零点的区间"要看 与哪个端点异号，而不是看谁离零近； 精度条件用的是"小于"，不能取等号。 【例题精讲】 1．用二分法求方程 的正根，已知 ，，取区间中点后零点落在（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点 ，。 它与 异号，故零点落在 内。 留哪一半只看符号，不看数值大小。故选 A。 2．用二分法求零点时，初始区间长度为 ，要使区间长度小于 ，至少需要二分的次数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。 ，，故至少 次。 把"每次减半"翻译成指数不等式是本题的全部。故选 A。 【变式训练】 1．设 ，已知 ，，取中点 后零点落在（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与 异号， 故零点落在 内。故选 A。 2．用二分法求 在 内的近似解，要使近似值的误差不超过 ，则至少需二分（　　） A． 次 B． 次 C． 次 D． 次 【答案】A 【详解】区间原长为 ，要求 ，即 。 ，，故至少 次。 取等号时同样能满足"不超过"。故选 A。 3．用二分法求方程近似解的过程中，若 ，，，则下一步应取的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 与 异号，故零点在 内，下一步就在这一半里继续取中点。 每次只看"包含零点的那一半"。故选 A。 【巩固练习】 1．二分法求根的第一步是找一个区间 ，使（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这正是零点存在定理的条件：两端点函数值异号。 异号写成乘积小于 最方便。故选 A。 2．区间 连续二分 次后，剩余区间的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 每次减半， 次后除以 。故选 A。 3．用二分法求 的近似值，初始区间取 ，取中点 后下一步的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，； ，与 异号。 故零点（即 ）落在 内。故选 A。 4．关于二分法，下列说法正确的是（　　） A．二分法只能求变号零点 B．二分法能求出所有零点 C．二分法求出的解是精确值 D．二分法不需要函数连续 【答案】A 【详解】二分法依赖端点异号，因此只能求变号零点（如 在 处的零点就求不出）； 它得到的是满足精度要求的近似值。故选 A。 5．若初始区间长度为 ，经过 次二分后区间长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．用二分法求 的零点，已知 ，，取中点 后零点落在（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与 异号， 故零点落在 内。 增函数的零点只在一处，二分总能逼近它。故选 A。 7．某同学用二分法求零点，得到区间 且 、，则该区间中点处的函数值需要进行的操作是（　　） A．计算 并判断符号 B．计算 的精确值 C．直接取 作为零点 D．换用别的初始区间 【答案】A 【详解】中点 ，算它再定位号即可继续缩区间。 二分法每一步都是"取中点、看符号"。故选 A。 8．要使多个零点的函数被完整求出，下列做法最恰当的是（　　） A．先划分区间逐个用二分法 B．只用一个大区间二分 C．直接令函数值等于 求解 D．放弃用二分法 【答案】A 【详解】先把定义域按单调区间或零点可能所在处分开，再在每个小区间内二分。 一个区间二分只能找到一个零点。故选 A。 考点四 函数模型的选择与建立 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出一组实测数据，要判断该用哪种函数模型，或比较两个模型哪个拟合得更好。 1. 操作流程：先看数据的增长方式——增量大致相等用一次模型，增量成等差但二阶差分相等用二次模型，增量按比例放大用指数模型。 1. 技巧·口诀："对数增长最慢、幂函数居中、指数增长最快"； 在 足够大时， 的值远大于 ，而 又远大于 。 1. 易错点：不要只看前几项数据就下结论，指数模型早期增长很慢，容易与一次模型混淆； 求出模型后必须代回原数据检验。 【例题精讲】 1．某组数据中，自变量每增加 ，函数值依次增加 、、、，则最适宜选用的模型是（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 【答案】A 【详解】"增量相等"是一次函数的标志（因为此时差分为常数）。 选模型的诀窍是先看相邻两项的差。故选 A。 2．某细胞分裂的个数依次为 、、、、，则描述这一过程最恰当的模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】后一项总是前一项的 倍，属于按固定比例增长，应选用指数模型 。 "翻倍"是识别指数模型最强的信号。故选 A。 【变式训练】 1．在 充分大时，下列函数中增长最快的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三类函数的增长速度有严格顺序： 指数函数 幂函数 对数函数； 一次函数属于幂函数一类，也慢于指数。 所以增长最快的是 。故选 A。 2．某实际问题中用两个模型拟合，模型甲的各次误差分别为 、、、，模型乙的为 、、、，则应选择（　　） A．模型甲 B．模型乙 C．两者皆可 D．无法判断 【答案】A 【详解】误差的绝对值越小说明拟合越好。 甲的误差绝对值明显更小，故选模型甲。 比较时看绝对值的总体水平，而不是看符号。故选 A。 3．某产品月利润数据随着月份增加先上升后下降，则较合适的模型是（　　） A．二次函数模型 B．一次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 【答案】A 【详解】"先增后减"意味着存在最大值，这是开口向下的二次函数的典型特征。 单调模型无法描述这种转折。故选 A。 【巩固练习】 1．若一组数据的相邻两项之比依次为 、、，则宜选用的模型是（　　） A．指数函数模型 B．一次函数模型 C．二次函数模型 D．常函数模型 【答案】A 【详解】"相邻两项之比相等"即为等比，对应指数模型。 比差分看比值，一眼就能分辨。故选 A。 2．下列函数中，随着自变量增大增长最慢的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对数函数的增长速度远慢于幂函数和指数函数。 这就是常说的"对数增长几乎没有增长"。故选 A。 3．建立函数模型解决实际问题时，下列步骤排列正确的是（　　） A．收集数据→画散点图→选模型→求解→检验 B．选模型→收集数据→画散点图→求解→检验 C．画散点图→收集数据→选模型→求解→检验 D．求解→选模型→收集数据→检验 【答案】A 【详解】标准流程是"先有数据、再凭散点图判断形状、继而选模型求解、最后回代检验"。 顺序记牢，答卷时也按此书写。故选 A。 4．若用 拟合数据，得到 ，，则当 时的预测值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 代入前先算幂再乘系数。故选 A。 5．某公司前三年利润依次为 、、 万元，若按此趋势外推，第四年利润约为（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】A 【详解】后一年都是前一年的 倍，符合指数模型， 故第四年约为 （万元）。故选 A。 6．某同学用一次模型拟合本应是指数型的数据，则在自变量较大时会出现（　　） A．预测值严重偏小 B．预测值严重偏大 C．预测值恰好相等 D．完全无法预测 【答案】A 【详解】指数函数最终远大于一次函数，用一次模型会低估实际值。 这类外推偏差在长期预测中尤其危险。故选 A。 7．要比较两个模型的拟合效果，下列做法最合理的是（　　） A．计算各点误差并比较其大小 B．只看其中一个点是否吻合 C．选择表达式最复杂的那个 D．选择参数最多的那个 【答案】A 【详解】误差（实际值减预测值）的绝对值越小，拟合越好。 不能只看个别点，更不能凭表达式复杂度判断。故选 A。 8．已知三个模型的增长速度满足 模型甲 模型乙 模型丙，且丙是指数模型，则乙最可能是（　　） A．幂函数模型 B．对数模型 C．指数模型 D．常函数模型 【答案】A 【详解】增长速度的典型排序是对数 幂 指数。 既然最快的是指数，中间的便应是幂函数模型。 "对数、幂、指数"三级台阶要记牢。故选 A。 考点五 指对数模型的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题干出现"增长率""翻一番""半衰期"或类似 、震级、声强级的定义式。 1. 操作流程：增长型写 ，衰减型写 ；求"经过多少期"时两边取对数，把指数上的未知数放下来。 1. 技巧·口诀：求 就用对数：； ，地震震级是对数模型。 1. 易错点：增长率 要写成小数（如 写成 ）； "第 年末"与"经过 年"对应的自变量的增量不一定相同。 【例题精讲】 1．某城市现有人口 万，若每年自然增长率为 ，则人口达到 万约需的年数满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每年是上一年的 倍， 年后为 。 令它等于 即得所需方程。 注意不能用 ，那是单利而非复利。故选 A。 2．某种物质每经过 年剩余质量是原来的 ，现有该物质 克，经过 年后剩余质量是（　　） A． 克 B． 克 C． 克 D． 克 【答案】A 【详解】 年共 个半衰期，剩余 （克）。 先数"经过几个半衰期"比列指数方程快。故选 A。 【变式训练】 1．若 ，则 可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数式改写成对数式得 。 凡求"未知指数"，答案就是一个对数。故选 A。 2．溶液的酸度定义为 ，其中 为氢离子浓度。若甲溶液 ，乙溶液 ，则甲的浓度是乙的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 【答案】A 【详解】由 、 得 ，， 故 。 负对数模型下，值每差 浓度就差 倍。故选 A。 3．某人向银行贷款 万元，年利率 ，按年计复利，则 年后需还款（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】A 【详解】按年计复利即每年乘 ，三年后为 万元。 选项 B 是单利算法，不合题意。故选 A。 【巩固练习】 1．某企业今年利润为 万元，若每年增长 ，要使利润达到 ，则所需的年数 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。 两边约去 是关键一步。故选 A。 2．若 ，则 用对数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接改写为对数式得 。 底数保持不变。故选 A。 3．地震的里氏震级 与释放能量 满足 。若某次地震震级为 ，则释放能量 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入 ：。 注意求的是 而不是 ，别急着去对数。故选 A。 4．某林区现有木材 立方米，若每年增长 ，则大约经过多少年达到 立方米？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 【答案】A 【详解】由 ，因 、， 最接近的是 年。 也可用 除以百分数 快速估算得 。故选 A。 5．某机器原值 元，每年折旧率 ，则 年后残值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每年变为上一年的 ， 年后为 。 折旧就是负增长，模型形式完全一样。故选 A。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数为 ，故 。 别把 理解成 。故选 A。 7．已知某地的环境容量为 ，某种群数量满足 （其中 ）。当 越来越大时， 的变化趋势是（　　） A．趋近于 B．趋近于 C．无限增大 D．上下波动 【答案】A 【详解】因 ， 增大时 ，分母趋于 ， 故 。 这类"S 型"模型刻画的是资源有限时的增长。故选 A。 8．某种商品的市场需求量 与价格 满足 （其中 、 为常数）。当价格从 变到 时，需求量的对数变化量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 把两式相减，常数项自然消去。故选 A。 三、达标检测 1．函数 的零点是（　　） A． B． C． 和 D． 【答案】A 【详解】由 得 。零点写成数而非点。故选 A。 2．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 3．函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，端点异号，零点在 内。故选 A。 4．用二分法求零点时，初始区间 经过 次二分后区间长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．要使长度为 的区间经二分后长度小于 ，至少需二分的次数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，，，故至少 次。故选 A。 6．下列函数中，在 充分大时增长最快的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的增长速度远快于幂函数与对数函数。故选 A。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数式化为对数式得 。故选 A。 8．某企业产值每年增长 ，现有产值 ，则 年后产值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每年乘 ， 年后为 。故选 A。 9．若 连续且 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 内至少有一个零点 B． 内恰有一个零点 C．一定没有零点 D．无法判断 【答案】A 【详解】端点异号且连续，由零点存在定理知至少有一个零点，不能断定唯一。故选 A。 10．一组数据相邻两项的差依次为 、、、，则其宜选用的模型是（　　） A．二次函数模型 B．一次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 【答案】A 【详解】差分本身成等差（二阶差分为常数），这是二次函数的特征。 一次模型的差分应为常数。故选 A。 11．方程为 的正根，取区间 ，中点处的函数值为正，则下一步应取的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点 处函数值为正，与左端点 异号，故零点在 内。故选 A。 12．某林区木材蓄积量每年增长 ，现为 立方米，则大约经过多少年翻一番？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 【答案】A 【详解】由 ，用 除以百分数 得约 ，最接近 年。 "七十法则"是估算翻倍时间的简便方法。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $