精品解析：湖北武汉经开外国语高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026～2027学年度第一学期10月月考 高一年级数学试题 满分：150分 考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列描述正确的是（ ） A. Q B. N C. D. R 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为Q表示有理数集，但是是无理数，所以Q，A错； 对于B，因为N表示自然数集，是自然数，所以N，B错； 对于C，因为2是素数，所以C对； 对于D，不是R中的元素，故D错. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明选项或举出反例即可. 【详解】对于A，由不等式的性质，当时有，所以，A正确. 对于B，当，满足，但是，故B错误. 对于C，当，满足，但是，故C错误. 对于D，当，满足，但是，故D错误. 3. 已知集合，且，则（ ） A. ﹣1 B. ﹣3或﹣1 C. 3 D. ﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论算出，并检验集合中的元素是否满足互异性. 【详解】因为， 所以或者， 解得或， 当时，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，集合，符合题意， 综上：. 4. 已设，命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】解不等式可得命题， 易知命题， 显然是的真子集，因此p是q的充分不必要条件. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质求解；选项B，利用作差法求解；选项C，利用作差法求解；选项D，利用作差法求解. 【详解】选项A，因为，所以，因为，所以，得， 与不相符，故选项A错误； 选项B，，因为，所以， 则，即，即，与不相符，故选项B错误； 选项C， ， 因为，所以， 则，即， 即，故选项C正确； 选项D，， 因为，所以， 所以，即，与不相符，故选项D错误. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解恒成立问题得到命题的充分必要条件，再将充分不必要条件转化为集合间的关系求解即可. 【详解】“，”为真命题的充分必要条件为， 由二次函数的性质可知，所以. 设命题“，”为真命题的一个充分不必要条件为集合， 则真包含于，故只有D符合题意. 7. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【详解】可知， 可得， 可得， 可知， 所以，即， 即，即. 8. 已知命题：“，，”和命题：“，，”都为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】命题为真，即对于，，成立，由于的最小值为，故只需对任意恒成立，即.命题为真，即，，成立，即有解，故 . 【详解】因为命题为真，即对于，，成立， 所以对于，恒成立，即， 因为，所以，则，则， 因为命题为真，即，，， 所以，，，即， 因为，所以， 因为，所以，则， 则. 因为命题和均为真命题，所以且， 故实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用全称命题的否定要求易得；对于B，求出集合，即可判断；对于C，由时满足条件排除选项；对于D，利用充要条件的判定方法易得. 【详解】对于A，根据全称命题的否定要求，可得命题“，”的否定是“，”，即A错误； 对于B，因且且，可知集合A的真子集个数是，故B正确； 对于C，当时，方程即，只有1个实根为，满足条件，故C错误； 对于D，由，若，则，即“充分性”不成立；又由可得且，即由能推出，故“必要性”成立. 故“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 10. 在下列四个命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 已知，，，，若，，则 D. 已知，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据不等式的性质即可求解；选项B：举出反例即可；选项C：利用作差法即可求解；选项D：利用整体法，结合不等式的性质求解. 【详解】选项A：若，由于，（若，则），不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，故，选项A正确； 选项B：令，，，，满足，，， ，，即，选项B错误； 选项C：要证，即证，即证，即证， 因为，，所以，从而，选项C正确； 选项D：设， 故，解得：，因此. ，，，， 两式相加得：，即，选项D正确. 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值集合是________. 【答案】 【解析】 【详解】由得， 因为，所以，故的取值集合是 13. 已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 【答案】15 【解析】 【分析】确定U的元素，根据题意作出韦恩图，确定集合B的元素，即可求得答案. 【详解】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15 14. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 原式 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合是小于的素数，，.求 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【小问1详解】 是小于的素数，， 则； 【小问2详解】 因为，所以， 则； 【小问3详解】 因为，，所以， 则 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 17. （1）在氯化钠完全溶解的情况下，氯化钠加得越多，溶液越咸.请你用数学不等式知识描述上述结论（已知原盐水质量为a，氯化钠质量为b，添加的氯化钠质量为c），并证明之. （2）结合（1）中的不等式关系证明：当a，b，c是三角形的三边长时，恒成立. 【答案】（1）盐水越咸，浓度越大，当 �� > �� > 0 , �� > 0 时，； 证明：， 因为，所以，， 即，所以. （2）由三角形的三边关系可得，且， 先证左边， 由三角形不等式可得， 同理可得， 三式相加可得； 再证右边， 因为，由（1）中的结论可得， 同理可得， 三式相加即可得到， 综上：. 【解析】 【分析】（1）由作差法即可证明；（2）由三角形的三边关系以及（1）中的结论，分别证明不等式的左右两边，即可得到结果. 【详解】（1）原盐水质量为a，氯化钠质量为b，所以原来盐水浓度为， 添加新的氯化钠质量为c，则新溶质质量，新盐水总质量，新浓度， 结论：盐水越咸，浓度越大，即，. 证明：略 （2）略 18. 已知非空集合，. （1）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）证明命题：“，”不可能为假命题； （3）若中只有两个整数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）反证法：若，则或， 解得或， 综上：，与非空集合（）矛盾，故命题为真. （3） 【解析】 【分析】（1）由集合间的包含关系可得； （2）采用反证法可证明； （3）先由非空集合得到，再确定中一定有0和1，然后由集合间的包含关系列不等式组可得. 【小问1详解】 因为是非空集合，故，解得 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或， 解得或， 综上，即实数a的取值范围为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 集合中的整数为， 因为非空集合（），所以时，， 又中只有两个整数，所以中一定有0和1， 所以，解得. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的a，b，有，.设集合，. （1）当时，求集合A； （2）当b为某一定值时，集合A中元素全部是完全平方数，求此时集合B中的最小元素； （3）令，将集合A中元素按照从小到大排列依次是，，…，同理将集合B中元素按照从小到大排列依次是，，…，取集合，已知，，且，求实数m的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到唯一满足条件的正整数对为，代入即可求解； （2）当时，得到中元素，此时中元素，结合中元素为整数，求得，，进而求得中的最小元素； （3）利用列举法求得，，得到，得到方程含有0和两个实根，且或，代入方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 当时，因为，所以唯一满足条件的正整数对为， 则，所以， 【小问2详解】 由题意得：中元素，中元素， 当时，中元素， 此时中元素， 为正奇数时中元素为整数，取最小正奇数，此时， 所以集合中的最小元素为. 【小问3详解】 由题意得，当时，可得；当时，可得； 集合的元素从小到大排列的前两个元素分别为； 集合的元素从小到大排列：前6个分别为，所以， 所以， 集合的方程化为， 由，且，且，可得， 即方程含有0和两个实根，且或， 当时，代入方程，可得， 整理得，解得； 当时，代入方程，可得， 整理得，解得， 综上可得，实数的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期10月月考 高一年级数学试题 满分：150分 考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列描述正确的是（ ） A. Q B. N C. D. R 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且，则（ ） A. ﹣1 B. ﹣3或﹣1 C. 3 D. ﹣3 4. 已设，命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 已知命题：“，，”和命题：“，，”都为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 在下列四个命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 已知，，，，若，，则 D. 已知，，则 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值集合是________. 13. 已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 14. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合是小于的素数，，.求 （1）； （2）； （3）. 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 17. （1）在氯化钠完全溶解的情况下，氯化钠加得越多，溶液越咸.请你用数学不等式知识描述上述结论（已知原盐水质量为a，氯化钠质量为b，添加的氯化钠质量为c），并证明之. （2）结合（1）中的不等式关系证明：当a，b，c是三角形的三边长时，恒成立. 18. 已知非空集合，. （1）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）证明命题：“，”不可能为假命题； （3）若中只有两个整数，求实数a的取值范围. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的a，b，有，.设集合，. （1）当时，求集合A； （2）当b为某一定值时，集合A中元素全部是完全平方数，求此时集合B中的最小元素； （3）令，将集合A中元素按照从小到大排列依次是，，…，同理将集合B中元素按照从小到大排列依次是，，…，取集合，已知，，且，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $