6.1.4 数乘向量知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

6.1.4 数乘向量　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第六章　平面向量初步 从“相加、相减”到“成倍变化” 一、情境与问题（向量也能“成倍”变化） 物体沿一条直线做匀速运动，速度用向量 v 表示。那么 2 小时内的位移是多少？物理课上写 s = 2v：长度变成 2 倍，方向不变。半小时内的位移则是 0.5v：长度减半，方向仍不变。 如果物体反向运动，速度记作 −v，那么 2 小时内的位移就是 2(−v)：长度仍是原来的 2 倍，方向却掉了个头。 加法解决“合起来是多少”，减法解决“相差多少”，可是“成倍地取”这件事，两种运算都办不到：a + a 只能得到 2a 这一个特例，想要 3a、0.5a、−1.5a，就必须引入一种新的运算——用一个实数去乘一个向量。 三个问题串起本节： 　　① 实数 λ 乘向量 a，得到的是什么？长度、方向怎样变？——数乘的定义； 　　② 这种乘法服从哪些运算律？——三条运算律，形式与实数运算一致； 　　③ 它能解决什么问题？——把“共线”“三点共线”翻译成倍数关系。 二、数乘向量的定义 一般地，给定一个实数 λ 与一个向量 a，规定 λa 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，λa 叫做 λ 与 a 的积。它的长度与方向规定如下： 当 λ > 0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ < 0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ = 0 或 a 为零向量时，λa = 0。 要特别注意：λa 是一个向量，不是数。只有当 λ ≠ 0 且 a ≠ 0 时，λa 才是非零向量；只要有一个因数为零，结果就是零向量。 λ 的取值 λa 的方向 λa 的模 λ > 0 与 a 同向 等于 |a| 的 λ 倍 λ < 0 与 a 反向 等于 |a| 的 −λ 倍 λ = 0 零向量，方向任意 0 式 里有两对竖线，含义并不相同：左边的竖线表示向量的模，右边的竖线表示实数的绝对值。正因为取了绝对值，λ 为负数时模仍然是正数。 例如 |a| = 3，λ = −2，则 |λa| = |−2| × 3 = 6，而 λa = −2a 与 a 反向。 三、几何意义：伸长、缩短与反向 把 λa 与原向量 a 画在同一条直线上比较，可以看出数乘只做两件事：改变长度、改变方向。 ① 当 |λ| > 1 时，λa 是把 a 沿原方向（或反方向）伸长，长度变为原来的 |λ| 倍； ② 当 0 < |λ| < 1 时，λa 是把 a 缩短，长度变为原来的 |λ| 倍； ③ 当 λ = −1 时，λa = −a，长度不变，方向相反。 图1 数乘的几何意义：λ = 2 时伸长为 2 倍，λ = 0.5 时缩短一半，λ = −1.5 时反向且伸长为 1.5 倍 无论 λ 取什么值，λa 与 a 都落在同一条直线上。也就是说，数乘不会把向量“掰弯”，只会让它在这条直线上伸缩或掉头。这条性质正是后面判断两个向量共线的依据。 从“形”的角度看，数乘是一种以起点为中心的伸缩变换：所有向量按同一比例放大或缩小，图形的形状保持不变，只是大小改变。 四、三条特殊结论 在数乘的定义中取特殊的 λ，可以得到三条常用结论： ① 1a = a； ② (−1)a = −a； ③ 0a = 0，且 λ0 = 0。 第 ③ 条里，实数 0 与零向量 0 靠字形区分：不加粗的是实数 0，加粗的是零向量。前半句说的是“实数 0 乘任何向量得零向量”，后半句说的是“任何实数乘零向量仍得零向量”。 第 ② 条把“相反向量”也纳入了数乘：求 −a 就是取 λ = −1。于是向量的减法可以写成 a − b = a + (−1)b，减法和数乘就统一起来了。 五、数乘的运算律 设 λ、μ 为任意实数，a、b 为任意向量，数乘满足下列三条运算律： 第一条是“结合律”：连续两次伸缩，等于把两个倍数先乘起来再一次伸缩。例如 3(2a) = 6a，先放大 2 倍再放大 3 倍，与一次放大 6 倍完全一样。 第二条、第三条是“分配律”：一个实数可以分别乘到每一项上。正因为有这两条，含向量的式子才能像多项式那样去括号、合并同类项。 图2 分配律的几何解释：三条边同时乘 2，三角形 OAB 放大为三角形 OCD，OC = 2(a + b) = 2a + 2b 从图 2 可以看出，三条边同时乘 2 后仍是三角形，只是整体放大为原来的 2 倍。新三角形的第三边既可以读成 2(a + b)，也可以读成 2a + 2b，两种读法结果相同。 六、例1 数乘与加减的混合运算 计算下列各式：① 3(a − 2b) + 2(2a + b)；② 2(3a − 4b) − 3(2a − 3b)；③ 4(a + b) − 3(a − b)。 解：① 原式 = 3a − 6b + 4a + 2b = 7a − 4b。 ② 原式 = 6a − 8b − 6a + 9b = b。 ③ 原式 = 4a + 4b − 3a + 3b = a + 7b。 三个小题都用同一套办法：先用分配律去括号，再把含 a 的项与含 b 的项分别合并。整个过程与整式的化简没有区别，唯一的区别是结果中的 a、b 是向量，不能写成具体数值。 去括号时的两个细节： 　　① 括号前是负号，括号里每一项都要变号，如 −3(a − 3b) = −3a + 9b； 　　② 合并时只看“向量是否相同”，a 与 b 是两类，不能并成一项。 七、共线向量定理 由数乘的几何意义可知，λa 与 a 一定共线。反过来是否成立？也就是说，两个共线的向量，能不能写成倍数关系？ 结论是肯定的，这就是共线向量定理。 当 a ≠ 0 时，向量 b 与 a 共线，当且仅当存在唯一的实数 λ 使 。 这里“当且仅当”包含两层意思：一是只要写得出 b = λa，两个向量就共线；二是只要两个向量共线，就一定能写出这样的式子，而且 λ 只有一个。 图3 共线向量定理：b = 2a 时同向共线，b = −1.5a 时反向共线；λ 的符号决定方向，|λ| 决定长度之比 八、使用定理的三个要点 ① 基准向量不能为零向量。若 a = 0 而 b ≠ 0，则 λa 恒为零向量，写不出 ；若 a = b = 0，则任何 λ 都成立，λ 不唯一。定理必须声明 a ≠ 0。 ② λ 的符号定方向，|λ| 定长度比。λ > 0 时两向量同向，λ < 0 时反向；|λ| 就是两条线段长度之比。 ③ 唯一性可以用来“算” λ。既然 λ 只有一个，就可以任取一个便于计算的系数把它求出来，再回到原式验证。 步骤 做法 定基准 选一个非零向量作基准，通常取题目中“最基础”的那个 表其他 把待判定的向量都用同一组基底表示出来 看比例 对应系数成同一比例则共线，不成比例则不共线 写结论 写出 λ 的值，并说明同向还是反向 判断共线还有一个更快的判据 设 a = + ，b = + ， 当 、 不共线时，a 与 b 共线 当且仅当 = 。 九、例2 判断两个向量是否共线 已知 、 是两个不共线的向量，判断下列各组向量是否共线：① a = 2 − 与 b = −4 + 2；② c = + 与 d = 2 − 3。 解：① 因为 b = −4 + 2 = −2(2 − ) = −2a，所以 a 与 b 共线，且方向相反， = 2。 ② 假设 c 与 d 共线，则存在实数 λ 使 c = λd，即 + = 2λ − 3λ。 比较两边的系数，得 2λ = 1 且 −3λ = 1，即 λ = 且 λ = −，两者矛盾。所以 c 与 d 不共线。 第 ② 问用的是比较系数，它依赖一个前提：、 不共线。在这个前提下，同一个向量用它们表示的方式是唯一的，系数才能逐项对照。八节末尾的判据，正是这一想法的一般形式，也是今后“待定系数法”的基础。 十、三点共线的判定 把共线向量定理用在“三点”上，就得到三点共线的判定方法。 设 A、B、C 是平面内三个不同的点，则 A、B、C 三点共线，当且仅当存在实数 λ 使 。 道理很简单：两个向量都以 A 为起点，只要它们共线，A、B、C 就落在同一条直线上；反之，三点共线时这两个向量必然共线。 图4 三点共线的判定：AB 与 AC 成倍数关系时三点共线；两向量不共线时找不到这样的 λ λ 的取值还能告诉我们点的位置：当 λ > 1 时，C 落在 A、B 之间；当 0 < λ < 1 时，B 落在 A、C 之间；当 λ < 0 时，A 落在 B、C 之间。 实际做题时更常用另一种形式：设 O 是直线 AB 外一点，若 OC = xOA + yOB 且 x + y = 1，则 A、B、C 三点共线；反过来也成立。这一形式可以由 AB = λAC 直接验证，也可以看下一节的例 3。 两个判据，按题目给的形式选用： 　　① 题目出现“AB、AC”这类同起点向量——证 AB = λAC； 　　② 题目出现“从 O 出发的三个向量”——证系数和为 1。 十一、例3 用两个向量表示第三个向量 设 O 是直线 AB 外一点，点 C 在直线 AB 上，且 AC = 2CB。记 OA = a，OB = b，试用 a、b 表示 OC。 解：由 AC = OC − a，CB = b − OC，代入 AC = 2CB 得 OC − a = 2(b − OC)。 整理得 3OC = a + 2b，所以 OC = a + b。 检验：两个系数之和为 + = 1，符合“系数和为 1”的判据，说明点 C 确实在直线 AB 上。 这个结果还有一层几何含义：AC = 2CB，说明 C 靠近 B，把线段 AB 分成了 2 : 1。系数 乘在 b 上，恰好对应“离 B 更近”这一事实——离哪个端点近，哪个端点的系数就大。 十二、向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘，统称为向量的线性运算。它们有两个共同特点：运算的对象是向量，运算的结果仍是向量。 由于三条运算律成立，线性运算的式子可以像多项式一样处理：去括号、移项、合并同类项，步骤完全一致。例如 2(3a − b) − (a − 2b) = 6a − 2b − a + 2b = 5a。 像 xa + yb 这样的式子，是由 a、b 经过线性运算得到的。若 a、b 不共线，那么同一个向量写成这种形式时，系数 x、y 是唯一的——例 2 的第 ② 问正是靠这一点比较系数。 要提醒的是：线性运算里没有“向量乘向量”，也没有“向量除以向量”；λ 必须是实数，a、b 之间只能加、减。 十三、用数乘表示单位向量 长度等于 1 的向量叫做单位向量。给定一个非零向量 a，只要把它乘上 ，长度就变成 1，方向保持不变，于是得到与 a 同向的单位向量： a。 验证：取 λ = ，由 可得 |λa| = × = 1，方向与 a 相同，确实是单位向量。若取 λ = −，得到的就是与 a 反向的单位向量。 单位向量只保留方向、抹掉长度，因此常被用来“指路”。若 是与 a 同向的单位向量，则 a = ：任何一个非零向量，都可以写成“模 × 同向单位向量”。 这也解释了数乘为什么能“只改长度不改方向”：乘一个正数，相当于在原来的方向上重新标定长度；乘一个负数，则先掉头再标定长度。 十四、例4 中点公式与重心 设 M 是线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，试用 OA、OB 表示 OM。 解：因为 M 是 AB 的中点，所以 AM = AB。于是 OM = OA + AM = OA + (OB − OA) = (OA + OB)。 这就是中点公式：两个同起点向量的“平均”，就是它们终点的中点所对应的向量。若取 O 与 A 重合，公式退化为 AM = AB，与中点定义一致。 把这一结论推广到三角形，就得到重心公式。设 G 是三角形 ABC 的重心，则对任意一点 O 有 OG = (OA + OB + OC)。 取 O 与 G 重合，上式变成 GA + GB + GC = 0，这正是重心的向量特征：该点到三个顶点的向量之和为零向量。 图5 数乘的应用：M 为 AB 中点时 OM 是 OA、OB 的平均；G 为重心时三顶点向量和为零向量 中点与重心的公式一起记： 　　① 两个点取平均得中点，三个点取平均得重心，系数和都是 1； 　　② 系数和为 1，正是“点落在直线（或平面）上”的代数标志。 十五、易错警示（五个“想当然”） 易错想法 正确认识 以为 λa 是一个数 λ ≠ 0 且 a ≠ 0 时，λa 是非零向量 以为 |λa| = λ|a| 应为 |λ||a|；λ < 0 时 λ|a| 是负数，模不能为负 以为 λa 与 a 一定同向 λ < 0 时反向；λ = 0 时是零向量，谈不上方向 以为 λa = 0 只能得 λ = 0 也可能是 a = 0；两个因数有一个为零向量即可 以为 b = λa 中 λ 可任取 a ≠ 0 时 λ 唯一：模之比定大小，方向定正负 一句话记住：数乘是“实数 × 向量”，结果一定还是向量；符号管方向，绝对值管长度。 十六、方法归纳 题型 方法要点 化简数乘式 按分配律去括号，把含 a 的项与含 b 的项分别合并 判断两向量共线 找倍数关系 b = λa；或用同一组基底表示后看系数是否成比例 证明三点共线 证 AB = λAC；或证 OC = xOA + yOB 且 x + y = 1 求定比分点 用两个基底表示目标向量，比较系数定比值与位置 十七、巩固练习 1. 化简 3(a − 2b) + 2(2a + b) = （ ） A. 7a − 4b　　B. 7a + 4b　　C. 5a − 4b　　D. 7a − 8b 2. 若 |a| = 4，则 |−3a| = （ ） A. −12　　B. 12　　C. 7　　D. 4 3. 下列各式正确的是（ ） A. |λa| = λ|a|　　B. λa 与 a 的方向相同 C. λ(a + b) = λa + λb　　D. (λ + μ)a = λa + μb 4. 已知 a = 2e，b = −3e（e 为非零向量），则 a 与 b（ ） A. 相等　　B. 不共线　　C. 无法确定　　D. 共线 5. 若 b = −2a（a ≠ 0），则（ ） A. b 与 a 同向　　B. |b| = 2|a|　　C. b = 2a　　D. |b| = −2|a| 6. 在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，则 AB + AC = （ ） A. AD　　B. 2AD　　C. −2AD　　D. 0 7. 已知 A、B、C 三点共线，AB = λAC，且 C 在线段 AB 上，则（ ） A. λ > 1　　B. 0 < λ < 1　　C. λ < 0　　D. λ = 1 8. 已知 e、f 不共线，a = 2e − f，b = −4e + 2f，则 a 与 b（ ） A. 不共线　　B. 相等　　C. 共线　　D. 互为相反向量 9. 设 O 为直线 AB 外一点，若 3OC = OA + 2OB，则 AC : CB = （ ） A. 1 : 2　　B. 2 : 1　　C. 1 : 3　　D. 3 : 1 10. 化简 2(a − b) − 3(a + b) = （ ） A. −a − 5b　　B. −a + b　　C. 5a + b　　D. −a + 5b 11. 已知向量 a、b 共线，且 |a| = 2|b|，则（ ） A. a = 2b　　B. a = −2b　　C. a = 2b 或 a = −2b　　D. b = 2a 12. 设 G 为三角形 ABC 的重心，则 GA + GB + GC = （ ） A. AB　　B. AC　　C. 2AB　　D. 0 13. 若 3(x + a) = 2(x − b)，则 x = （ ） A. 3a + 2b　　B. −3a + 2b　　C. 3a − 2b　　D. −3a − 2b 14. 下列命题正确的是（ ） A. 若 λa = 0，则 λ = 0　　B. 若 λa = 0，则 a = 0 C. 若 λa = 0，则 λ = 0 或 a = 0　　D. λa 与 a 的方向一定相同 15. 设 O 为直线 AB 外一点，若 OC = xOA + 2OB，且 A、B、C 三点共线，则 x = （ ） A. −1　　B. 1　　C. 2　　D. −2 十八、参考答案 1. A（原式 = 3a − 6b + 4a + 2b = 7a − 4b） 2. B（|−3a| = |−3| × |a| = 3 × 4 = 12） 3. C（A 应为 |λ||a|；B 在 λ < 0 时反向；D 右边应为 μa） 4. D（b = −1.5a，两向量共线且反向） 5. B（λ = −2，故 |b| = 2|a|，方向与 a 相反） 6. B（D 为中点，AB + AC = 2AD） 7. A（AC 与 AB 同向且更短，故 λ > 1） 8. C（b = −2a，两向量共线且反向） 9. B（3OC = OA + 2OB 得 AC = 2CB，故 AC : CB = 2 : 1） 10. A（原式 = 2a − 2b − 3a − 3b = −a − 5b） 11. C（λ = ±2，符号不能确定，故两种情形都可能） 12. D（重心到三顶点的向量之和为零向量） 13. D（3x + 3a = 2x − 2b，移项得 x = −3a − 2b） 14. C（A、B 都漏了另一种可能；D 在 λ < 0 时反向） 15. A（系数和为 1：x + 2 = 1，得 x = −1） 十九、知识网络（数乘向量体系） 内容 要点 表达式 数乘定义 实数乘向量，结果仍是向量 |λa| = |λ||a| 方向规律 λ > 0 同向，λ < 0 反向 λa 与 a 共线 三条运算律 与实数运算形式一致 λ(μa) = (λμ)a 共线定理 共线的代数刻画 b = λa（a ≠ 0） 三点共线 同起点处成倍数 AB = λAC 系数和判据 从直线外一点出发 OC = xOA + yOB，x + y = 1 中点与重心 取平均得中点、重心 OM = (OA + OB) 一句话总结：数乘把“成倍”这件事变成了代数运算——符号管方向、绝对值管长度，共线与三点共线因此都能用倍数关系来判断。 二十、课后探究（三选一） 任务一：在方格纸上画向量 a，再画出 2a、0.5a、−1.5a，量出各线段长度，验证 |λa| = |λ||a|。 任务二：取两个不共线的向量 e、f，画出 a = 2e + f 与 b = −4e + 2f，先猜 b 与 a 的关系，再用数乘运算验证。 任务三：查阅重心在吊装、船舶配载中的应用，说明为什么重心可以写成三个顶点向量的平均，写一段 200 字左右的说明。 评价要点 要求 作图规范 起点、倍数、方向标注清楚，箭头长度与倍数相符 数据与结论 长度、方向都有记录；能说清 λ 的符号与 |λ| 的作用 二十一、错题记录表 序号 题目（简记） 我的错解 正确解法 错因 1 2 3 4 5 6 7 复盘三步法：① 错在“长度”还是“方向”——先分清 λ 的绝对值与符号；② 是把 λa 当成了数，还是把 |λa| 写成了 λ|a|？③ 下次遇到共线问题，先问自己“基准向量是不是零向量”。 二十二、一分钟速记 ① 数乘：；λ > 0 同向，λ < 0 反向，有因数为零得零向量。 ② 运算律：，，。 ③ 共线：a ≠ 0 时，b 与 a 共线 当且仅当 b = λa。 ④ 三点共线：AB = λAC；或 OC = xOA + yOB 且 x + y = 1。 ⑤ 中点与重心：两个点取平均得中点，三个点取平均得重心，系数和都是 1。 二十三、本节学习自评 对照下列学习目标，给自己的掌握情况打“√”： 学习目标 掌握 基本掌握 需加强 1. 能说出数乘的定义，会求 |λa| 并判断方向 2. 会用三条运算律化简含数乘的式子 3. 会用 b = λa 判断两个向量是否共线 4. 会用 AB = λAC 或系数和为 1 证三点共线 5. 会写出中点、重心的向量表示 方法回望： ① 化简数乘式：分配律去括号，同类向量合并，结果写成 x a + y b； ② 判断共线：先找基准向量，再把另一个写成它的倍数，符号定方向、绝对值定长度比。 学科网（北京）股份有限公司 $