5.3.5 随机事件的独立性知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.3.5 随机事件的独立性　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第五章 互不影响，就能相乘——随机事件的独立性 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 理解两个事件相互独立的定义，会判断两个事件是否为相互独立事件； ② 掌握独立事件的性质：若 A 与 B 独立，则 A 与 B 的对立事件的各种组合也相互独立； ③ 能运用 计算同时发生的概率， 解决串联、并联等简单的实际问题。 重点 相互独立事件同时发生的概率计算。 难点 判断两个事件是否相互独立；「至少有一个发生」的概率计算。 二、情境与问题：两名志愿者选日子 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者。甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天。记事件 A：甲选的是第一天；事件 B：乙选的是第一天。两人事先没有商量，各选各的。 先回答两个问题：(1) 直觉上，A 是否发生会影响 B 发生的概率吗？(2) 求出 P(A)、P(B)、P(AB) 的值，观察这三个值之间的关系。 用 (i, j) 表示「甲选第 i 天、乙选第 j 天」，其中 i 可以是 1、2、3，j 可以是 1、2。样本空间记为 Ω，共有 3 × 2 = 6 个样本点，每个样本点都是一个基本事件，且满足等可能性。两人各选各的，合起来是一次随机试验。三个事件包含的样本点如下： A 包含 (1,1)、(1,2) 两个样本点； B 包含 (1,1)、(2,1)、(3,1) 三个样本点； AB 只包含 (1,1) 一个样本点。 事件 含义 样本点数 概率 A 甲选的是第一天 2 P(A) = B 乙选的是第一天 3 P(B) = AB 两人都选第一天 1 P(AB) = 把三个概率放在一起看： ，也就是 。 直觉也对：甲选哪天不影响乙选哪天，「甲选第一天」发生了，「乙选第一天」的概率丝毫不变。这种「互不影响」的现象，就是本节要研究的对象。 三、相互独立事件的定义 一般地，当 时，就称事件 A 与 B 相互独立（简称独立）。 直观理解：事件 A 是否发生不会影响事件 B 发生的概率，事件 B 是否发生也不会影响事件 A 发生的概率。 生活中「互不影响」的背景很常见：两人各自随机选择、先后抛掷两枚硬币、两台机器同时运转、两天的天气。 理解定义要注意两点。其一，「相互独立」描述的是两个事件概率之间的关系，不是说两个事件不能同时发生——恰恰相反，相互独立的事件通常是有公共样本点的（如图 1 左）。其二，定义同时给出了一套判断办法：分别算出 P(A)、P(B)、P(AB) 三个值，看乘积是否相等。 四、定义的两个方向：判断与计算 方向 做法 例子 判断独立性 分别算出 P(A)、P(B)、P(AB)，检验 P(AB) = P(A)P(B) 是否成立 志愿者问题： 成立，故 A 与 B 独立 计算积事件概率 由「互不影响」的实际背景判断独立，再用 P(AB) = P(A)P(B) 计算 投篮问题：都命中的概率为 0.7 × 0.8 = 0.56 提醒：只有相互独立的事件才能把概率相乘。不判断独立性就写 P(AB) = P(A)P(B)，是本课时最常见的错误。 题目中「互不影响」「相互独立」「同时独立进行」等表述，就是在提示可以使用独立性。 五、独立事件的性质：对立事件也独立 可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 的对立事件与 B、A 与 B 的对立事件、A 的对立事件与 B 的对立事件也相互独立。用记号写，就是 与 B、A 与 、 与 都相互独立。 以 与 B 为例，推导如下： 因为 B = AB ∪ B，且 AB 与 B 互斥，所以 P(B) = P(B) − P(AB)。 又 A 与 B 独立，P(AB) = P(A)P(B)，于是 P(B) = P(B) − P(A)P(B) = (1 − P(A))P(B) = P()P(B)。 所以 与 B 也相互独立，其余两种组合同理。 这条性质很有用：求「A 不发生而 B 发生」「两个都不发生」的概率时，不必另找样本点，把对应概率直接相乘即可。 六、独立与互斥：一对容易混的概念 互斥说的是「两个事件没有公共样本点，不能同时发生」；独立说的是「一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率」。一个讲样本点，一个讲概率，是两套不同的语言。 维度 相互独立 互斥 讲什么 概率之间的关系 样本点之间的关系 同时发生的概率 等于 P(A)P(B)，通常大于 0 等于 0 图形表现 两个圆通常相交（图 1 左） 两个圆相离（图 1 右） 能否同时成立 概率都大于 0 时， 与互斥不能同时成立 概率都大于 0 时， 与相互独立不能同时成立 图 1　相互独立与互斥的对比：独立事件可以有公共样本点，互斥事件没有公共样本点 为什么概率都大于 0 时两者不能同时成立？若 A 与 B 互斥，则 P(AB) = 0；当 P(A)、P(B) 的概率都大于 0 时，P(A)P(B) 大于 0，于是 ，不满足独立的定义。所以概率都大于 0 的两个事件，互斥就一定不独立，独立也一定不互斥。 判断两个事件的关系，手边有两把尺子：一把量样本点——有没有公共样本点，回答「互斥不互斥」；一把量概率——一个事件的发生改不改变另一个的概率，回答「独立不独立」。 两把尺子量不同的东西：互斥的事件概率相乘通常不成立，独立的事件通常又有公共样本点。 相互独立也不限于两次试验。掷一枚均匀的骰子，记 A：点数为偶数，B：点数小于 3。则 P(A) = ，P(B) = ，AB = {2}，P(AB) = ，而 ，两者相等，所以 A 与 B 相互独立。可见判据只有一个：P(AB) = P(A)P(B) 成立不成立。 七、例1：两个骰子，各自为政 甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数。记事件 A：甲得到的点数为 2；事件 B：乙得到的点数为奇数。(1) 求 P(A)、P(B)、P(AB)，判断 A 与 B 是否相互独立；(2) 求 A 与 B 都不发生的概率。 两个骰子的样本空间共有 6 × 6 = 36 个样本点（如图 2）。A 只占「甲为 2」的第 2 行，共 6 个样本点；B 只占「乙为奇数」的第 1、3、5 列，共 18 个样本点；AB 是行与列的交叉处，共 3 个样本点。样本点有限且等可能，可以像古典概型那样直接数样本点；独立性则提供了另一条路。 图 2　例 1 的样本空间：A 占第 2 行，B 占第 1、3、5 列，AB 占 3 个样本点 ，，。 因为 ，即 ，所以 A 与 B 相互独立。两个骰子各掷各的，本就互不影响，定义与直觉一致。 (2) 由性质，A 的对立事件与 B 的对立事件也相互独立，所以 一维样本空间的妙用：两个骰子的样本空间有 36 个样本点，但两个事件分属两个骰子、互不影响，因此不必列出二维样本空间。只看甲掷出 2 点的概率 与乙掷出奇数的概率 ，相乘即得。 这就是独立性带来的便利：化二维为一维，把「清点样本点」变成「直接计算」。 顺着再问一句：A 与 B 至少有一个发生的概率是多少？两个事件有公共样本点，不能直接把概率相加；用对立事件转换最省事： 。 也可以分成「只有 A 发生」「只有 B 发生」「两个都发生」三种互斥的情形相加： ，两条路结果一致。 八、频率角度看独立性 5.3.4 告诉我们：试验次数很大时，频率稳定在概率附近。把这句话用到相互独立的事件上，会看到什么？ 设甲、乙两人各投篮一次，甲的命中率为 0.7，乙的命中率为 0.8，两人互不影响。把「两人各投一次」作为一轮，重复很多轮，每轮结束统计两人都命中的频数并算出频率，图 3 记录了这条频率与「甲命中的频率 × 乙命中的频率」随轮数的变化。 图 3　两人都命中的频率与两个频率的积：轮数很大时都稳定在 0.56 附近 第 20 轮时，两人都命中的频率为 0.550，两个频率的积为 0.560，还分得比较开；轮数增大后两条线越靠越近，到 5000 轮时分别为 0.563 与 0.560，都稳定在 0.7 × 0.8 = 0.56 附近。 一般地，当 A 与 B 相互独立时，在大量重复试验中，「同时发生」的频率稳定在「两个频率的积」附近。 这正是 P(AB) = P(A)P(B) 的频率解释：频率的这种稳定性，与 5.3.4 学过的大数定律相衔接；定义不是凭空规定的，它写在大量重复试验的稳定趋势里。 九、例2：投篮问题 已知甲运动员的投篮命中率为 0.7，乙运动员的投篮命中率为 0.8。(1) 若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？(2) 若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？ 记 A：甲命中；B：乙命中。两人投篮互不影响，A 与 B 相互独立。 (1) 。 (2) 记甲第一次命中为 ，第二次命中为 。两次投篮互不影响， 与 相互独立。「恰好投中一次」包括「第一次中、第二次不中」与「第一次不中、第二次中」两种互斥的情形，因此 ， 。 带下标的事件：口述时说「A 一」「A 二」，书写时下标用小一号的字。多次重复同一试验（投篮两次、抛硬币三次）时，各次结果互不影响，是独立性最常用的背景。 分类相加时要注意两种情形互斥，才能用加法。 十、有限个事件的相互独立 两个事件相互独立的概念，可以推广到有限个事件。直观地说，如果其中任意一个事件的发生与否，都不影响其余各个事件发生的概率，就称这些事件相互独立。 投篮两次， 与 独立；推广到三次、多次也是如此。对于相互独立的事件 、、，同时发生的概率 判断一串事件是否独立，题目通常会明说「各次互不影响」「相互独立」；没有这句话时，要按定义逐个验证，不能想当然。 十一、例3：三道都不会的选择题 某同学参加一次考试，有三道选择题不会，每道题他都随机选一个答案，且每道题猜对的概率均为 。(1) 求该同学三道题都猜对的概率；(2) 求该同学至少猜对一道题的概率。 记 ：第 i 道题猜对（i = 1，2，3）。各题猜对与否互不影响，、、 相互独立。 (1) 。 (2) 「至少猜对一道」的反面是「三道都猜错」。由性质，三个对立事件也相互独立，所以 ， 。 正难则反：要求「至少一个发生」的概率，先算「一个都不发生」的概率，再用 1 去减，往往最简。 本题也可分类相加：猜对 1 道、2 道、3 道的概率分别为 、、，相加也得 ，但计算量明显大一些。 十二、应用：电路系统的可靠性 相互独立最典型的应用是系统可靠性。图 4 是一个系统：元件 K 正常工作时系统才能工作，元件 、 并联，至少一个正常工作即可。已知 K、、 正常工作的概率分别为 0.9、0.8、0.8，且它们是否正常互不影响，求系统正常工作的概率。 图 4　K 与两个并联元件组成的系统：K 正常且两个并联元件至少一个正常，系统才正常 、 都不正常的概率为 0.2 × 0.2 = 0.04，至少一个正常为 1 − 0.04 = 0.96；再与 K 独立相乘： 。 串联与并联是两种基本连接方式：串联时所有元件都正常系统才正常，概率为各概率之积；并联时至少一个正常即可，概率为 1 减去各不正常概率之积。 连接方式 系统正常的条件 概率（元件相互独立） 串联 两个元件都正常 并联 至少一个元件正常 例如 = 0.9、 = 0.8 时，串联为 0.72，并联为 0.98。同样的元件，并联比串联可靠得多——这就是「冗余备份」的思想。 十三、概率语言解读 把日常说法翻译成概率语言，是使用独立性的第一步。A 与 B 同时发生也称为 A 与 B 的交事件（积事件），记作 AB。设 A 与 B 相互独立，常见说法与算法如下表。 说法 符号表示 概率 A 与 B 相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 直接相乘 A、B 都发生 AB P(A)P(B) A、B 至少有一个发生 A ∪ B 1 − P()P() A、B 都不发生 P()P() A、B 恰好一个发生 B ∪ A P()P(B) + P(A)P() A 不发生 1 − P(A) 另外，必然事件与不可能事件和任何事件都相互独立：它们发生的概率分别是 1 与 0，乘到任何一个概率上都不改变结果。「至少有一个发生」用对立事件转换，「恰好一个发生」要分成两种互斥情形相加，两者都不要漏、也不要重。 十四、常见误区：四个「不一定」 误区 错在哪里 正确说法 互斥的事件一定独立 互斥时 P(AB) = 0，概率都大于 0 时两者不相等 概率都大于 0 时，互斥与独立不能同时成立 任意两个事件都能把概率相乘 P(AB) = P(A)P(B) 只对相互独立的事件成立 先判断「互不影响」，再相乘 「至少有一个发生」就是「有一个发生」 「至少一个」包含「两个都发生」的情形 用对立事件算：1 − P()P() 相互独立的事件不能同时发生 独立不排斥有公共样本点，只要求概率相乘 独立事件通常相交（图 1 左） 四个「不一定」的共同根源：把「讲样本点的语言」和「讲概率的语言」混成了一句话。互斥、对立说的是样本点；独立说的是概率。动笔前先问自己：这句话在说样本点，还是在说概率？ 十五、巩固练习 1. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件 A：「点数为偶数」，B：「点数大于 3」。判断 A 与 B 是否相互独立。 2. 先后抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件 A：「第一枚正面朝上」，B：「两枚结果相同」。判断 A 与 B 是否相互独立。 3. 袋中装有 3 个红球、2 个白球，除颜色外完全相同。有放回地摸取两次，记 A：「第一次摸到红球」，B：「第二次摸到红球」。求 P(AB)。 4. 若把上题改为不放回地摸取两次，A 与 B 是否还相互独立？说明理由。 5. 已知 P(A) = 0.6，P(B) = 0.5，且 A 与 B 相互独立。求 P(AB)、P(A∪B) 以及 A、B 都不发生的概率。 6. 甲、乙两人独立射击同一目标，命中率分别为 0.8 与 0.9。求两人都命中、恰有一人命中、至少有一人命中、两人都没命中的概率。 7. 三个元件串联组成一个系统，各元件正常工作的概率分别为 0.9、0.8、0.7，且互不影响。求系统正常工作的概率。 8. 若把上题改为三个元件并联（至少一个正常系统即正常），求系统正常工作的概率。 9. 某系统由元件 K 与两个并联元件组成：K 正常且两个并联元件至少一个正常，系统才正常。已知 K 正常工作的概率为 0.95，两个并联元件正常工作的概率分别为 0.9 与 0.8，且互不影响。求系统正常工作的概率。 10. 一名运动员的投篮命中率为 0.6，三次投篮互不影响。求恰好命中两次的概率。 11. 已知 P(A) = ，P(B) = ，且 A 与 B 相互独立。求 P(B)。 12. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，他们能译出的概率分别为 、、。求这份密码被破译的概率。 13. 判断正误：若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 相互独立。 14. 判断正误：若 A 与 B 相互独立，则 P(A∪B) = P(A) + P(B)。 15. 两台机床独立工作，甲停机的概率为 0.1，乙停机的概率为 0.2。求至少有一台停机、两台都停机的概率。 十六、参考答案 1. P(A) = ，P(B) = ，AB = {4, 6}，P(AB) = 。因为 ，所以 A 与 B 不相互独立。 2. P(A) = ，P(B) = ，AB = {(正面, 正面)}，P(AB) = 。因为 ，所以 A 与 B 相互独立。 3. 有放回时两次摸取互不影响，A 与 B 相互独立，P(AB) = P(A)P(B) = 。 4. 不相互独立。此时 P(AB) = ，而 P(A)P(B) = ，。第一次的结果改变了袋中球的组成，两次摸取不再互不影响。 5. P(AB) = 0.6 × 0.5 = 0.3；P(A∪B) = 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8；都不发生的概率为 0.4 × 0.5 = 0.2。 6. 都命中：0.8 × 0.9 = 0.72；恰有一人命中：0.8 × 0.1 + 0.2 × 0.9 = 0.26；至少有一人命中：1 − 0.2 × 0.1 = 0.98；都没命中：0.2 × 0.1 = 0.02。 7. 串联时三个元件都要正常，P = 0.9 × 0.8 × 0.7 = 0.504。 8. 并联时用对立事件：都不正常的概率为 0.1 × 0.2 × 0.3 = 0.006，故 P = 1 − 0.006 = 0.994。 9. 两个并联元件都不正常的概率为 0.1 × 0.2 = 0.02，至少一个正常为 0.98，故 P = 0.95 × 0.98 = 0.931。 10. 恰好命中两次有 3 种互斥情形（中中不中、中不中中、不中中中），每种的概率为 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.144，故 P = 3 × 0.144 = 0.432。 11. P(B) = P(B) − P(AB) = 。 12. 三人都没译出的概率为 ，故被破译的概率为 。 13. 错。互斥时 P(AB) = 0；只要 A、B 的概率都大于 0，就有 P(AB) 与 P(A)P(B) 不相等，不满足独立的定义。 14. 错。P(A∪B) = P(A) + P(B) 只对互斥事件成立；A 与 B 相互独立时，P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B)。 15. 至少有一台停机：1 − 0.9 × 0.8 = 0.28；两台都停机：0.1 × 0.2 = 0.02。 十七、方法归纳 环节 怎么做 关键提醒 设事件 用字母表示题目中的各个事件，多个事件加下标，如 、 把「至少」「恰好」「都不」的含义写清楚 判关系 先判断是否相互独立 （「互不影响」通常即独立）， 再看是否互斥、对立 独立才能相乘；互斥才能相加；对立才能用 1 去减 表关系 把所求事件用已知事件表示出来（并、交、对立） 「至少一个发生」优先用对立事件转换 算概率 按事件关系选公式计算，结果写竖式 乘法对应「同时发生」；加法对应「分类互斥」 十八、本节知识结构汇总 模块 内容 要点 定义 P(AB) = P(A)P(B) 时，A 与 B 相互独立 既是判断依据， 也是计算公式 性质 A 的对立事件与 B、A 与 B 的对立事件的各种组合也相互独立 求「不发生」的概率时直接相乘 易混点 独立讲概率关系，互斥讲样本点关系 概率都大于 0 时，两者不能同时成立 应用 同时发生相乘；至少一个发生用 1 − P()P(； 串联为 ，并联为 1 − (1 − )(1 − ) 电路可靠性是典型背景 频率解释 试验次数很大时，同时发生的频率稳定在两个频率的积附近 与 5.3.4 的大数定律相衔接 十九、课后探究任务（三选一） 任务一　用试验验证独立性 抛两枚质地均匀的硬币 400 次。设 n 为抛掷次数，m 为「两个都正面朝上」的次数，两枚硬币「正面朝上」的次数分别记为 、。每 100 次结算一行：计算都正面朝上的频率 ，再计算两个正面频率的积 ，看看两者是否都接近 ，把结论写在表后。 任务二　系统可靠性小研究 设三个相同元件的可靠度均为 p，且各元件是否正常互不影响。分别计算串联系统与并联系统的可靠度，并回答：p = 0.9 时，两种连接方式的可靠度各是多少？再查一查「冗余设计」在工程中的应用实例，写一段 200 字左右的小报告。 任务三　出题与辨析 仿照本课时例题命 3 道独立性应用题，分别覆盖：用定义判断独立性、求「至少一个发生」的概率、电路系统可靠性，并写出详细解答。再收集或自编 1 道「把互斥事件当成独立事件」的错题，说明错在哪里、正确的做法是什么。 任务 优秀 合格 待改进 任务一 记录完整，算出 400 次的频率与频率之积并对比，正确指出两者接近 做了试验并记录，但未汇总对比 数据记录不全，或把频率当成概率 任务二 两种连接方式的可靠度都算对，p = 0.9 时分别为 0.729 与 0.999，报告言之有物 可靠度算对，报告较空泛 连接方式判断错误，或未用独立性 任务三 3 道题覆盖三种类型且解答正确，错题分析到位 题目基本正确，类型不全 把互斥与独立混用，或未写解答 附：错题记录表 把本课时的错题按类型归档，过几天再复盘一遍，比当天改完印象深。常见错因有四类：把互斥事件当成独立事件、该用对立事件转换时直接相加、「恰好一个发生」漏算一种情形、数样本点时重复计数。 日期 题目来源 错因类型 正确思路 复盘 学科网（北京）股份有限公司 $