精品解析：　广东广州市荔湾区广东实验中学荔湾学校2026-2027学年 九年级上学期数学10月学情自测

2026－2027学年（上）10月教学质量评价九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则______． 12. 若、在二次函数的图象上，则______．（填“，，”） 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了场．则参加初赛的选手有______名． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有______． 16. 点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是______． 三、解答题（共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 18. 某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷书籍数量的增长率都相同，求每月印刷书籍数量的增长率． 19. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 20. 已知二次函数． （1）请填写表中空格处的数值； … 0 1 2 3 4 … … … （2）结合表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象，当时，的取值范围______． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 22. 如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱部分抛物线的表达式； （2）问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 23. 已知二次函数：（为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到函数的图象恰好经过原点，求的值． （3）记、的顶点分别为点B和点C，点D在抛物线上，且在对称轴的左侧，满足的面积为9，求点的坐标． 24. 已知抛物线，该抛物线顶点纵坐标为． （1）求该抛物线的对称轴． （2）根据（1）中求出的对称轴及抛物线顶点纵坐标，此抛物线的解析式可以写为顶点式______；已知是该抛物线上的一点，求的值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求的值． 25. 已知二次函数解析式为． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）如图1，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，若在第一象限内的该二次函数图象上总存在不同的两点，假设点的横坐标为，点的横坐标为，且，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，使得，求、满足的关系式（不需要写、的取值范围）； （3）如图2，点是坐标系内一点，过作轴，且，过点作轴，垂足为点，点为线段上异于点的动点，关于直线对称的图形为（点的对应点为点），当点落在四边形内部（含边界）时． ①求点横坐标的取值范围； ②若点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年（上）10月教学质量评价九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将各选项中点的横坐标代入计算纵坐标： 当时，，A不符合， 当时，，B符合， 当时，，C不符合， 当时，，D不符合. 3. 若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 8. 如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到抛物线在直线上方部分所对应的自变量范围，即可解答． 【详解】解：抛物线与直线交点为，， 由图象知，当时，的取值范围是或， 故选D． 9. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 则且， 由， 解得， ，， 又， ，， 那么， ， 即， 解得， 最后的取值范围为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为，即， 解得． 12. 若、在二次函数的图象上，则______．（填“，，”） 【答案】 【解析】 【分析】将两个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应函数值即可比较大小，也可利用二次函数增减性直接比较． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ， ． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解． 【详解】因为是方程的根， 所以，即 ∴ 由根与系数的关系，， 所以原式， 故答案为：． 14. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了场．则参加初赛的选手有______名． 【答案】 【解析】 【分析】设参加初赛的选手有名，每名选手要和除自己之外的名选手各赛一场，每场比赛由两名选手参与，总场数需除以避免重复计算，结合总场数为列一元二次方程求解，舍去不合题意的根即可得到答案． 【详解】解：设参加初赛的选手有名，则每名选手要和名选手比赛， 则， 整理得，， 解得，（舍）， 即参加初赛的选手有名． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断①②；根据函数与x轴有两个交点可判断③；根据时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③． 16. 点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式和对称性推出抛物线经过点，根据平移的性质得到抛物线经过点，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线上， 点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， 由平移的性质得：抛物线经过点， 关于的一元二次方程，即的两个解为． 三、解答题（共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 18. 某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷书籍数量的增长率都相同，求每月印刷书籍数量的增长率． 【答案】每月印刷书籍数量的增长率是． 【解析】 【分析】设增长率是，根据题意列一元二次方程求解． 【详解】解：如果平均每月的增长率相同，设增长率是， 则， 解得：或（舍去）， 答：每月印刷书籍数量的增长率是． 19. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1）； （2）点在这个二次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将代入求出的值，即可得解； （2）将代入函数解析式判断即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式： 解得：， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：把代入得，， 故点在这个二次函数的图象上． 20. 已知二次函数． （1）请填写表中空格处的数值； … 0 1 2 3 4 … … … （2）结合表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象，当时，的取值范围______． 【答案】（1）3，0，，0，3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将表格内自变量取值代入函数解析式计算； （2）根据表格内的数据描点连线画图； （3）根据函数图象作答． 【小问1详解】 解： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 【小问2详解】略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点在范围内，则函数值的最小值为， 当时，；当时，， 则当时，的取值范围为． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 22. 如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱部分抛物线的表达式； （2）问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 【答案】（1） （2）可以同时从桥下穿过， 理由如下：． 在中，令， 则． 可以同时从桥下穿过． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与船的高度比较即可． 【小问1详解】 解：， 根据题意得，抛物线顶点，经过点． 设抛物线表达式为． ． ． 桥拱部分抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数：（为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到函数的图象恰好经过原点，求的值． （3）记、的顶点分别为点B和点C，点D在抛物线上，且在对称轴的左侧，满足的面积为9，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）的值为2； （3）． 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先表示出平移后的函数表达式，再把代入求解即可； （3）先求出直线的表达式为，然后设点，过做轴交直线于点，则，再由建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，将点代入得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移5个单位长度后， 所得函数的解析式为：，即． 将点代入得， 解得或（舍去）， 所以的值为2． 【小问3详解】 解：由可得，顶点 由（2）可得，，则 设直线 则 解得 ∴直线的表达式为， 由，可设点， 过作轴交直线于点， 则， ∵ ∴， 即， 化简为， 解得（不合题意，舍去）， 所以． 24. 已知抛物线，该抛物线顶点纵坐标为． （1）求该抛物线的对称轴． （2）根据（1）中求出的对称轴及抛物线顶点纵坐标，此抛物线的解析式可以写为顶点式______；已知是该抛物线上的一点，求的值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求的值． 【答案】（1）直线； （2）；； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线求解； （2）根据题意写出顶点式，再将代入解析式，化简后得到关于的一元二次方程求解； （3）分两种情况讨论：①当时，抛物线开口向上，有最小值，且距离对称轴越远函数值越大；②当时，抛物线开口向下，有最大值，且距离对称轴越远函数值越小，据此得到关于、的方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， 抛物线的解析式可以写为顶点式， 在函数的图象上， 整理，得， 解得； 【小问3详解】 解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当，且时，自变量取值包含，且两个端点到对称轴的距离分别为与，右端点更远， ①当时，抛物线开口向上，有最小值，且距离对称轴越远函数值越大， 当时有最小值为；当时有最大值， 的取值范围是 ，解得：（负值舍去）； ②当时，抛物线开口向下，有最大值，且距离对称轴越远函数值越小， 当时有最大值为；当时有最小值， 的取值范围是 ，解得：（负值舍去）； 综上可知，或． 25. 已知二次函数解析式为． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）如图1，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，若在第一象限内的该二次函数图象上总存在不同的两点，假设点的横坐标为，点的横坐标为，且，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，使得，求、满足的关系式（不需要写、的取值范围）； （3）如图2，点是坐标系内一点，过作轴，且，过点作轴，垂足为点，点为线段上异于点的动点，关于直线对称的图形为（点的对应点为点），当点落在四边形内部（含边界）时． ①求点横坐标的取值范围； ②若点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解； （2）根据题意得到，，，则，，再根据全等三角形对应边相等列方程求解即可； （3）①当点落在边上时，根据轴对称得出，可得；当点落在边上时，设，利用勾股定理列方程，可得，即可得解； ②先求出当点落在边上时，点的坐标为，再根据点满足抛物线解析式，得到点在抛物线上，即可得解． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：二次函数图象上总存在不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 轴，轴， ，， ，， ， ， ，， ， ， 由得， 整理得，， ， ，， ； 【小问3详解】 解：①， ， ，轴，轴， ， 当点落在边上时，如图，则、、三点共线， 关于直线对称的图形为， ，，， ， ； 当点落在边上时，如图， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得：，即， 当点落在四边形内部（含边界）时，的横坐标取值范围为； ②当点落在边上时，点的横坐标为7， 由①可知，， ， 在中，， ， 当时，， 点在抛物线上， 此时，把代入抛物线，，点在抛物线上． 当点落在四边形内部（含边界）且恰好落在抛物线上时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $