精品解析：广东省广州市荔湾区西关外国语学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试卷

2025学年第一学期初三级综合素养训练（数学科目）（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题关键．先把方程化成一元二次方程的一般形式，且使常数项为3，再找出二次项系数即可． 【详解】解：， 整理，得， 所以二次项系数是， 故选：A． 3. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 4. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 5. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是． 直接根据顶点式的特点作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 8. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故选：C． 9. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 10. 二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵， ∴，②说法错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，⑤说法正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 12. 当__________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 14. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．观察图象，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线相交于，两点， 当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，此时， 故不等式成立时，的取值范围是． 故答案为： ． 15. 如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意求得A，P的坐标，再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形，以及A′，P的坐标，然后求得AD，PP′的长，再求出面积即可. 【详解】如图，连接AP，AP′，过点A作AD⊥PP′于D点， 由题意可得，四边形APP′A′为平行四边形， 将x=0代入函数得y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， 又∵抛物线y＝x2＋x＋3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2， ∴顶点P的坐标为（﹣2，2）， ∵将抛物线向右平移4个单位，向下平移4个单位， ∴点A′(4，﹣1)，点P′（2，﹣2）， ∴PP′==4，A0=3，∠AOP＝45°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴AD=OD， 在Rt△AOD中，AD2+OD2=9，即2AD2=9， ∴AD=， 则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为4×=12. 故答案为12. 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16. 计算： 【答案】3+2 【解析】 【分析】分别按照零指数幂，二次根式的乘法，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式＝1++2 ＝3+2． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程方法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法解方程； （1）由变形为，直接开方即可； （2）利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： 移项得： 系数化为1得： 开平方得： 解得，. 【小问2详解】 解： 因式分解得： 解得，. 18. 求证：无论 取何值，代数式的值恒大于． 【答案】 ∵， ∴无论 取何值， 的值均大于 ． 【解析】 【分析】直接将转化成即可． 【详解】略． 【点睛】本题考查了完全平方公式，正确将转化成是解题的关键． 19. 随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是______人； （2）并补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是______度； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）40 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）108 （4）255人 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用A组人数除以A组人数占比得出抽样调查的人数； （2）用抽样调查的人数减去A，B，D组的人数得出C组人数，即可补全频数分布直方图； （3）用乘C组人数所占比例即可； （4）求出每天学习和使用不少于90分钟的人数占比，再乘以600即可求解． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数：（人）， 故答案为：40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是， 故答案为：108； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是255人． 20. 某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 【答案】这种商品每件进价的年平均下降率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． 设这种商品每件进价的年平均下降率为x，根据商品2022年每件的进价为125元，经过两次降价后，2024年每件的进价为80元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得， 解得或（舍去） 答：这种商品每件进价的年平均下降率为． 21. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）， （2）当的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确列出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米， ， 墙的最大可用长度为米， ， ； 【小问2详解】 解： ， ，， 当时，随着的增大而减小， 当时有最大值，最大值为， 当的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是平方米． 22. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为元或元 （3）销售单价为元时，利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可，设与之间的函数关系式为，将点，代入，求出，的值，即可解答； （2）由题意，利润，将代入，求解即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ∵该函数的图象过，， ∴，解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，设利润为，则， ∴当时，， 解得，， ∴销售单价为50元或70元． 【小问3详解】 解：由（2）得到， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是元． 23. 若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，求得点M坐标，进而利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则，解得：， 故二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线交y轴于点M， 从二次函数的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得 所以，直线的表达式为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） （3）面积的最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； 【小问3详解】 解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三级综合素养训练（数学科目）（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　） A. B. 2 C. D. 3 3. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 5. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 8. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 9. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 10. 二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是______． 12. 当__________时，函数是二次函数． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 14. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 15. 如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16. 计算： 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 求证：无论 取何值，代数式的值恒大于． 19. 随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是______人； （2）并补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是______度； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 20. 某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 21. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 22. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $