第31讲 解三角形中的范围与最值问题讲义（15题型）-2027届高三数学一轮复习

第31讲 解三角形中的范围与最值问题 目录 Part1 题型探究 【题型一：解的个数判断与边角范围】 【题型二：代数式与面积的最值】 【题型三：三角函数式与乘积最值】 【题型四：边长（或边角关系）的最值】 【题型五：解三角形中的范围判断（多选）】 【题型六：几何图形中的向量与中线最值】 【题型七：平面向量与解三角形综合】 【题型八：向量模长与外心综合】 【题型九：动点、轨迹中的最值】 【题型十：圆上动点与向量数量积最值】 【题型十一：解三角形中的最值综合】 【题型十二：解三角形中的取值范围】 【题型十三：四点共圆与面积最值】 【题型十四：面积与周长的取值范围】 【题型十五：角平分线与高的最值】 Part2 分层通关 Part 2 题型探究 【题型一：解的个数判断与边角范围】 【例1】若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【变式1】（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【变式2】（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型二：代数式与面积的最值】 【例2】在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【变式3】已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型三：三角函数式与乘积最值】 【例3】已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【变式5】已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6】在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型四：边长（或边角关系）的最值】 【例4】记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【变式7】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8】（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型五：解三角形中的范围判断（多选）】 【例5】在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，最小值为 C．当有两个解时，的取值范围是 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【变式9】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型六：几何图形中的向量与中线最值】 【例6】若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 【变式11】已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【变式12】已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型七：平面向量与解三角形综合】 【例7】如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式13】若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式14】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型八：向量模长与外心综合】 【例8】已知向量，满足，且，则的最大值是________． 【变式15】已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【变式16】（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型九：动点、轨迹中的最值】 【例9】在中，、为边上的三等分点，，与所成的夹角为，则的最大值为_____ 【变式17】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ． 【题型二：外心】 【变式18】在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 【题型十：圆上动点与向量数量积最值】 【例10】已知圆的半径为2，弦长度为2，为圆上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式19】在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 【变式20】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 【题型十一：解三角形中的最值综合】 【例11】在中，． (1)求； (2)若的面积是，求的最小值． 【变式21】已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式22】在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则满足条件的△ABC有两个 C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为 D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是 【题型十二：解三角形中的取值范围】 【例12】在中，已知点满足. (1)若，求的长度； (2)若，求面积的取值范围. 【变式23】在中，内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)求的值域 【变式24】已知在中，，在线段上，且. (1)若是的中点，求面积的最大值； (2)若，求面积的最小值. 【题型十三：四点共圆与面积最值】 【例15】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【变式29】在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)若，且的面积为，求的长度； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围. 【变式30】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【题型十四：面积与周长的取值范围】 【例16】在中，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有两解 B．面积有最大值 C．若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 D．周长最大值为6 【变式31】已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 【变式32】在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（       ） A．若，则 B．若，则该三角形有两解 C．周长有最大值12 D．面积有最小值 【题型十五：角平分线与高的最值】 【例17】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 【变式33】（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式34】（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 2．平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 3．在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 4．（多选）已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（   ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 5．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 6．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【提升通关练】 9．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 10．已知，，，函数，且在区间上的最大值为. (1)求m的值； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围. 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值． 12．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    14．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 15．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【培优通关练】 17．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求a； (2)若，求的周长l的取值范围． 18．设的内角所对边分别为，若． (1)求的值; (2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积． 19．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 20．设的内角所对的边分别为，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，求的周长取值范围． 21．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 22．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 解三角形中的范围与最值问题 目录 Part1 题型探究 【题型一：解的个数判断与边角范围】 【题型二：代数式与面积的最值】 【题型三：三角函数式与乘积最值】 【题型四：边长（或边角关系）的最值】 【题型五：解三角形中的范围判断（多选）】 【题型六：几何图形中的向量与中线最值】 【题型七：平面向量与解三角形综合】 【题型八：向量模长与外心综合】 【题型九：动点、轨迹中的最值】 【题型十：圆上动点与向量数量积最值】 【题型十一：解三角形中的最值综合】 【题型十二：解三角形中的取值范围】 【题型十三：四点共圆与面积最值】 【题型十四：面积与周长的取值范围】 【题型十五：角平分线与高的最值】 Part2 分层通关 Part 2 题型探究 【题型一：解的个数判断与边角范围】 【例1】若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则， 令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 【变式1】（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 【变式2】（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 【题型二：代数式与面积的最值】 【例2】在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即. 【详解】中，，， 所以，所以， 根据正弦定理，， 即， 因为，所以， 由为三角形内角可知，， 根据正弦定理，， 所以 ， 其中，， 当时取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 【变式3】已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：若O为的重心，则为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，取到最大值. 【变式4】在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【详解】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 【题型三：三角函数式与乘积最值】 【例3】已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 可得， 因为为的内角，所以，则， 又因为，可得，所以， 因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 则， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：. 【变式5】已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 【变式6】在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【题型四：边长（或边角关系）的最值】 【例4】记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C 【变式7】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形有两个解可得，代入值求解即可. 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式8】（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 【题型五：解三角形中的范围判断（多选）】 【例5】在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，最小值为 C．当有两个解时，的取值范围是 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，利用数量积的定义计算即得；对于B，结合图形，化简，将问题转化成点到直线距离的最小值问题；对于C，利用正弦定理和三角函数的值域，结合图形即得；对于D，利用正弦定理，求得由题意求出，结合正弦函数的图象即得范围. 【详解】对于A，因，故，即A错误；    对于B， 如图，因当时，与共线，故可设, 则,故， 由图知，当且仅当时取最小值， 此时，即B正确； 对于C，由正弦定理，，， 当有两个解时，须使且，的取值范围是，故C正确； 对于D，因，, 当为锐角三角形时，,解得，,则，, 由正弦定理，故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【变式9】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 【变式10】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【题型六：几何图形中的向量与中线最值】 【例6】若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最大值为. 【变式11】已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【详解】设原点为，令，，则，可得. 根据向量夹角的定义，与的夹角为，即中，即的长度. 对应用正弦定理得，代入，，得， 因为正弦值满足，当时取最大值1，因此的最大值为. 【变式12】已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 【题型七：平面向量与解三角形综合】 【例7】如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 设，则，解得， 又因为， 且、不共线，所以，这两个等式相加得， 因为，，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 【变式13】若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则，所以是的重心，且、、三点共线，为直线外一点，由向量共线定理可知：， 将代入得：， 化简得：， 又因为，所以，，消去得：，为使取得最大值，显然，， 由基本不等式得：，所以，则， 当且仅当，即：，的时候等号成立，所以的最大值为. 【变式14】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系； 关键二： 把转化成. 【题型八：向量模长与外心综合】 【例8】已知向量，满足，且，则的最大值是________． 【答案】4 【详解】因为，所以，即，① 又，即，② 所以，③ 又由①②可得，解得，代入③可得， 所以的最大值是4. 【变式15】已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示：   ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 【变式16】（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 【题型九：动点、轨迹中的最值】 【例9】在中，、为边上的三等分点，，与所成的夹角为，则的最大值为_____ 【答案】 【详解】因为、为边上的三等分点，所以. 因为， ， 所以. 因为，与所成的夹角为，所以. 令，则，. 当时，取得最大值为. 【变式17】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【题型二：外心】 【变式18】在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先在中由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，即可得到的函数关系式，然后求导，即可得到其极小值，从而得到结果. 【详解】设，，则， 则在中由余弦定理可得， 即，所以， 由角平分线定理可得，所以. 又， 故， 化简得①， 而在△中由余弦定理， 代入①得.又因为，所以，所以， 故. 所以， 所以， 令或（舍去）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以时，取得最小值，即取得最小值. 所以取得最小值时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是先设，，则，依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求得得和，关键点2是构建函数，利用导数工具研究其最值，从而得解. 【题型十：圆上动点与向量数量积最值】 【例10】已知圆的半径为2，弦长度为2，为圆上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，； 故， 因为半径为2，故， 因为，故为等边三角形，； 代入整理可得； ，，故， 故． 【变式19】在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 【答案】 【详解】空1：如图，    取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2：   取的中点，连接，交半圆于点N，则，， 又 ，等号成立时，三点共线， 故的最大值是. 【变式20】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为2，所以，，则 ， 设，则，所以， 由正六边形的性质可知，，所以点的横坐标为，点的横坐标为 ， 因为是正六边形的内部以及边界上任意一点，观察图形可知，点的横坐标的最小值为点的横坐标，最大值为点的横坐标， 所以，即， 所以 的取值范围为． 创新提升 【题型十一：解三角形中的最值综合】 【例11】在中，． (1)求； (2)若的面积是，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用余弦定理进行边角互化可解； （2）由面积公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解. 【详解】（1），用余弦定理得到，，化简得到，则，,则. （2）由于,． 由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【变式21】已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，从而得解. 【详解】因为，则，，即， 由余弦定理可得，又， 所以①，②， ①②可得， 又，即， 则 ， 即，即， 解得， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为. 故选：B. 【变式22】在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则满足条件的△ABC有两个 C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为 D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A根据面积公式和余弦定理得即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦公式可得，根据正弦定理得，结合角的范围即可判断；C根据题意，平方后得，结合基本不等式得，根据面积公式即可判断；D令，则，根据正弦定理得，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断. 【详解】对于A，，则， 根据余弦定理得，即， 由，故A正确； 对于B，根据正弦定理可得，, 即， 由，， 根据正弦定理得，， 由，故只有一解，故B错误； 对于C，， ，即， ，，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即△ABC面积的最大值为，故C正确； 对于D，令，则， 在中，根据正弦定理得， ， 在上单调递减， 所以当时，有最大值， 当时，有最小值， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 【题型十二：解三角形中的取值范围】 【例12】在中，已知点满足. (1)若，求的长度； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在，中，由正弦定理得，从而确定，再由两边同时平方，即可得. （2）根据题意得，在中，由余弦定理得，则代入即可. 【详解】（1）因为，, 即, 所以， 在，中，由正弦定理得 , 又因为， 所以，即， 又因为,所以，故， 所以， 即 所以，故. （2）因为，且， 所以. 在中，由余弦定理得 ， 故， 即，当且仅当取等号， 所以, 所以的面积取值范围为. 【变式23】在中，内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)求的值域 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示、余弦定理可得答案； （2）由余弦定理、基本不等式可得答案； （3）由的范围求出的范围，再根据的取值范围可得答案． 【详解】（1），， 由正弦定理得，，， ，且，； （2），根据余弦定理得， 即，，， 当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为； （3），，， ，的取值范围是． 【变式24】已知在中，，在线段上，且. (1)若是的中点，求面积的最大值； (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1)2(2)1 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，由是的中点，得，两边平方化简后结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最大值； （2）利用两角差的正弦公式表示出，由结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是的中点，所以， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积为，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为2； （2）由（1）知，， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为1. 【题型十三：四点共圆与面积最值】 【例15】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理将化为，再利用余弦定理可求,则得到； （2）由，利用基本不等式可得，又，则利用三角形的面积公式，即可求出面积的最大值. 【详解】（1）由余弦定理得， 化简得， 所以在中由余弦定理可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，由，，，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 故面积的最大值为. 【变式29】在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)若，且的面积为，求的长度； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据展开化简，再由辅助角公式计算可求出的值，再由三角形面积公式和边的等量关系，可求出边，从而求出相应边长，余弦定理即可求出长； （2）法一：根据题意，由余弦定理可求出等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的不等式组，求解可解出边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解边的范围，代入三角形面积公式可求出结果. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以，即； 由的面积为，得， ，， 又因为，，，，，， 在中，由余弦定理，得， 所以． （2）法一：由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为为锐角三角形， ，即，解得：， . 法二：， 因为为锐角三角形， ，，， ，. 【变式30】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；； （2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 【题型十四：面积与周长的取值范围】 【例16】在中，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有两解 B．面积有最大值 C．若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 D．周长最大值为6 【答案】ABC 【分析】对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围. 【详解】对于A，由正弦定理得，所以， 故有两解，故A正确； 对于B，由题及正弦定理得，， 所以 ， 又，所以，所以， 所以， 所以， 所以面积最大值为.故B正确； 对于C，因为， 所以对于BC边上的高AD，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角C为钝角， 因为， 所以由选项B有， 则由得，所以， 所以，所以， 所以若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为. 对于D，由选项B得周长为 ， 又，所以，所以， 所以最大值为， 即周长最大值为.故D错误； 故选：ABC. 【变式31】已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 【答案】ABC 【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围. 【详解】A选项，由题意得，即， 因为，所以，A正确； B选项，由正弦定理得， 故， 因为锐角中，，所以， 解得，故， ，B正确； C选项，由B可知，，故， 面积取值范围是，C正确； D选项，由正弦定理得，故， 因为，所以， 故， 所以周长取值范围是，D错误. 故选：ABC 【变式32】在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（       ） A．若，则 B．若，则该三角形有两解 C．周长有最大值12 D．面积有最小值 【答案】ABC 【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可. 【详解】对于A，，，由正弦定理得， 所以，故A正确； 对于B，由正弦定理得得，所以， 因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确； 对于C，由，得 ， 所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C正确； 对于D，由得, 故 由于，无最小值， 所以面积无最小值，有最大值为，故D错误. 故选：ABC. 【题型十五：角平分线与高的最值】 【例17】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 【答案】1 【分析】由可得，借助基本不等式可求，由题意列式即可求. 【详解】由题意，， 即， 因为，为的角平分线， 所以，即， 因为， 解得，当且仅当时，等号成立，此时， 因为面积的最小值为， 所以，，解得. 故答案为：1 【变式33】（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 【变式34】（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得到，由面积公式得到，联立二式，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 2．平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 在中由余弦定理 ； （2）在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； （3）因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 3．在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长； （2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值. 【详解】（1）若，则， 又，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故的周长为； （2）由（1）知，， 设，则， 由三边关系可得，解得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 故， 所以的周长为， 令，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为. 4．（多选）已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（   ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【详解】对于A：因为，，即，所以， 设，夹角为，则， 当且仅当即时取等号，所以，故A错误； 对于B：因为，，，所以， 解得，故B正确； 对于C：因为，所以， ，故C正确； 对于D：，所以，故D错误. 5．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 【答案】 【详解】由题意可知：，, 则，， 因为向量与向量的夹角为锐角, 所以,解得， 当时，，解得. 综上，. 6．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 7．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】法一；利用正弦定理求出，再分别代入验证，求出，再结合的范围可得. 【详解】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 【提升通关练】 9．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得. 【详解】（1）由正弦定理，得， ∵，， ∴，即， 又∵，则， ，则； （2）由（1）及正弦定理可知，， ， ， ∴， 又，，∴， ∴， ∴，即， ∴的周长l的取值范围为． 10．已知，，，函数，且在区间上的最大值为. (1)求m的值； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围. 【答案】(1)1(2) 【分析】 （1）利用向量的坐标运算以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数的值； （2）根据正弦定理结合三角恒等变换及三角函数的图象与性质进行求解． 【详解】（1） ， ， ， 当时，即时，函数取得最大值， 则． （2） ， ，由于为锐角，所以，则， 由，得， ， ， ， ，则， 的周长的取值范围是． 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出的值，则可知； （2）先根据正弦定理将表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以. （2）因为，所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以 ， 又因为，所以，所以， 当且仅当，即时有最大值为， 综上所述，的最大值为. 12．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，，，. 因为 ， 所以 . 代入数值可得：， 即 ， 化简得 . 令 ，则 ，代入上式得： ， 整理得 ， 即 ， 化简整理为关于 的一元二次方程：. 因为 ，所以该方程必有实数解， 故判别式 ， 即 ， 解得 ，即 ， 所以 ，故 的最大值为 . 13．如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    【答案】 【详解】由是中点，故， 是中点，则， 是中点，则， 所以 整理得，即 由，得分满足， 由定比分点向量公式 ， ， 由已知，，得，故， 又，代入得 ， 所以， 由，得，当且仅当时取等号. 代入得最大值： . 14．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用面积公式得到，然后利用余弦定理，以及中线得向量表示可得，利用不等式计算判断. 【详解】由题可知：， 又，所以. 又为的中点，所以，两边平方得：，所以， 又，所以， 由（当且仅当时，取等号），所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 15．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 16．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 【培优通关练】 17．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求a； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解； （2）解法一：由余弦定理得，结合基本不等式与完全平方公式可得，再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等变换公式推出，然后根据正弦函数的图象与性质求解． 【详解】（1）因为， 所以， 又，，所以， 根据正弦定理可得，所以． （2）解法一：因为，， 所以由余弦定理可得，即． 因为，所以， 所以，当且仅当时，取到最值 又，所以，即周长l的取值范围为． 解法二：由正弦定理知，， 所以，， 所以 ， 因为，所以，所以,， 所以,， 所以,， 故的周长的取值范围为,． 18．设的内角所对边分别为，若． (1)求的值; (2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积． 【答案】(1)2(2) 【分析】（1）变形得到，由正弦定理得到，得到答案； （2）由题意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出当时，周长最小，进而由三角形面积求出答案. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以， 所以，由正弦定理，得，即． （2）由可得：，故，于是， 由正弦定理及余弦定理可得： ， 解得：(舍)或者，故， 因为，所以当时，周长最小，此时， 所以，所以的面积为． 19．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可； （2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得. 【详解】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得                   所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． 20．设的内角所对的边分别为，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，求的周长取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和正弦定理边化角可化简已知等式求得，由的范围可求得； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，根据正弦型函数值域的求法可求得的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】（1），， ，，，即， ，. （2）由正弦定理得：，，， ； ，，， ，， 即周长的取值范围为. 21．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 22．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理以及三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，，可得即， 所以，由余弦定理可得， 所以面积的最大值为． 故选：C． 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，可得， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以边的最小值为. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $