第4章 第10讲 培优课——三角函数与解三角形中的最值问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形中的最值问题，围绕利用三角函数性质、基本不等式、导数三大核心考点构建知识体系，通过考点梳理明确命题规律，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破最值求解难点。 讲义突出数学思维与数学语言的融合，如在三角函数性质求最值中，引导学生用正弦定理化边为角，结合辅助角公式转化为单角函数，培养逻辑推理能力。设置分层例题与感悟进阶，确保学生掌握从定性分析到定量计算的完整路径，为教师高效把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第10讲　培优课——三角函数与解三角形中的最值问题 考点一　利用三角函数的性质求最值 　已知函数f(x)＝sin (2x＋).在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f(A)＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围． 【解】　由题意得f(A)＝sin (2A＋)＝－1，则2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，可得A＝－＋kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin (－B)＝＋sin B＋cos B＝＋2sin (B＋)， 又0＜B＜，所以＜B＋＜， 则＜2sin (B＋)≤2， 故△ABC周长的取值范围是(2，2＋ ]. 【感悟进阶】　先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解． 　 如图，在△ABC中，AC＝BC，C＝，O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1，则平面四边形OACB面积的最大值是________． 解析：由题意可知△ABC为等腰直角三角形，设AC＝BC＝m，则AB＝m. 设∠AOB＝θ，则在△AOB中，由OA＝2，OB＝1及余弦定理可知12＋22－2m2＝4cos θ，所以m2＝.所以S△OAB＝×2×1×sin θ＝sin θ，S△ABC＝＝－cos θ. 记平面四边形OACB的面积为S，则S＝－cos θ＋sin θ＝＋sin (θ－). 因为0＜θ＜π，所以－＜θ－＜. 所以当θ－＝，即θ＝时，平面四边形OACB的面积最大，最大值为＋. 答案：＋ 考点二　利用基本不等式求最值 　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A； (2)若a＝2，求： ①△ABC面积的最大值； ②△ABC周长的取值范围． 【解】　(1)由＝， 结合正弦定理，得＝＝， 所以tan A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得4＝b2＋c2－bc. ①4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝bc sin A≤×4×＝， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. ②因为4＝b2＋c2－bc， 所以4＝(b＋c)2－3bc， 所以(b＋c)2－4＝3bc≤3·()2. 即(b＋c)2≤16，所以0<b＋c≤4， 当且仅当b＝c＝2时等号成立， 又b＋c＞a＝2，所以2＜b＋c≤4， 所以4＜a＋b＋c≤6， 所以△ABC周长的取值范围是(4，6]. 【感悟进阶】　求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解． 　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A－a＋c＝0. (1)求B的值； (2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值． 解：(1)由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A－sin A＋sin C＝0， 又sin C＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以2sin A cos B－sin A＝0， 又A∈(0，π)，所以sin A≠0， 所以2cos B－1＝0，即cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)由M为AC的中点， 得＝＋，而a＋c＝4， 所以2＝(＋)2 ＝2＋2＋· ＝c2＋a2＋ac cos ∠ABC ＝[(a＋c)2－ac]＝(16－ac) ＝4－ac≥4－()2＝3， 当且仅当即a＝c＝2时等号成立， 所以BM的最小值为. 考点三　利用导数求最值 　(2026·雅礼月考)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B(tan C－1). (1)求角A； (2)若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝π，且BC平分∠ABD，设∠ABC＝x. ①求△ACD面积的表达式φ(x)； ②确定△ACD面积的取值范围． 【解】　(1)由tan C＋ ＝tan B(tan C－1)， 得tan B＋tan C＝－(1－tan B tan C)， 即＝－， 所以tan (B＋C)＝－， 即tan (π－A)＝－， 所以tan A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)①由(1)知∠BAC＝， 又∠BDC＝π，∠CBD＝∠ABC＝x， 在△BCD中，∠BDC＝π，故x∈(0，)，则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x. 由正弦定理得＝，＝，则AC＝CD＝2sin x， 故△ACD的面积S△ACD＝(2sin x)2sin (π－2x)＝4sin3x cosx. 所以φ(x)＝4sin3x cosx，x∈(0，). ②φ′(x)＝12sin2x cos2x－4sin4x＝4sin2x·(cosx＋sin x)(cos x－sin x)， 又x∈(0，)，所以φ′(x)＞0，所以函数φ(x)＝4sin3x cosx在区间(0，)上单调递增， 又φ(0)＝0，φ()＝， 故△ACD面积的取值范围为(0，). 【感悟进阶】　用导数求解三角函数最值的两种方法 (1)单调性法：通过换元，借用导数，判断函数的单调性，得出函数的最值； (2)比较法：计算出函数在所求区间内所有使f′(x)＝0的点处的函数值和区间端点处的函数值，然后比较大小，得出三角函数的最值． 　函数f(x)＝2sin (x＋)＋cos 2x的最大值为　(　　) A．1＋ B． C．2 D．3 解析：选B.f(x)＝2sin (x＋)＋cos 2x＝2sin (x＋)＋sin [2(x＋)]， 设θ＝x＋，g(θ)＝2sin θ＋sin 2θ， 所以g′(θ)＝2cos θ＋2cos 2θ＝2cos θ＋2(2cos2θ－1)＝4cos2θ＋2cosθ－2＝2(2cos θ－1)·(cos θ＋1)，因为cos θ＋1≥0恒成立，所以令2cos θ－1>0，解得θ∈(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，此时函数g(θ)单调递增，令2cos θ－1<0，解得 θ∈(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z，此时函数g(θ)单调递减，所以当θ＝2kπ＋，k∈Z时，g(θ)取得最大值，所以g(θ)max＝g()＝2×＋＝，即f(x)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $