第4章 第10讲 培优课——三角函数与解三角形中的最值问题 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义围绕解三角形、函数导数、向量应用等高考核心考点，按“概念理解-定理应用-综合拓展”的逻辑层次组织内容，通过考点梳理（如正余弦定理推导）、方法指导（导数求最值、不等式求范围）、真题训练（模拟题与月考真题）等环节，帮助学生构建知识网络并突破难点。 讲义采用问题驱动与模型建构策略，如解三角形中结合面积公式与基本不等式（第5题用面积法列方程求2b+c最小值），培养数学思维与模型观念。设置选择、填空、解答分层练习，配合解析中的即时方法总结，确保学生高效提升解题能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

1．设l，l＋1，l＋2是钝角三角形的三边长，则l的取值范围是(　　) A．0＜l＜1 B．1＜l＜3 C．3＜l＜4 D．4＜l＜6 解析：选B.因为l，l＋1，l＋2是钝角三角形的三边长，所以l＞0，且l＋2＜l＋(l＋1)，所以l＞1.设最长边所对的角为C，由题意知，cos C＜0，即cos C＝＜0，所以＜0，即l2－2l－3＜0，解得－1＜l＜3，所以1＜l＜3. 2．函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 解析：选D.f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f()＝cos ＋(＋1)sin ＋1＝＋2，f()＝cos ＋(＋1)sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f()＝＋2，f(x)min＝f()＝－. 3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　) A．(5，6] B．(3，5) C．(3，6] D．[5，6] 解析：选A.由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝，则A＝， 又＝＝＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C， 所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C) ＝4sin2B＋4sin2(A＋B) ＝4×＋4× ＝sin 2B－cos 2B＋4 ＝2sin (2B－)＋4. 又△ABC是锐角三角形，所以B∈(，)， 则2B－∈(，)，所以sin (2B－)∈(，1]， 所以b2＋c2的取值范围是(5，6]. 4．(多选)(2026·黑龙江月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，∠ABC，C成等差数列，b＝，D是AC边的中点，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC面积的最大值为 B．△ABC周长的最大值为3 C．中线BD长度的最大值为 D．若A为锐角，则c∈(1，2] 解析：选BCD.在△ABC中，由A，∠ABC，C成等差数列，可得2∠ABC＝A＋C，因为A＋∠ABC＋C＝π，所以∠ABC＝，又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，可得a2＋c2－ac＝3. 对于A，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c时，等号成立)，所以ac≤3，所以△ABC的面积S＝ac sin ∠ABC≤×3×＝，所以△ABC面积的最大值为，故A错误； 对于B，由a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3×()2＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，等号成立)，可得(a＋c)2≤3，所以a＋c≤2，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故B正确； 对于C，由a2＋c2－ac＝3，可得a2＋c2＝3＋ac，因为D是AC边的中点，所以＝(＋)，则2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋a2＋ac)＝(3＋2ac)≤×(3＋2×3)＝，所以||≤，即中线BD长度的最大值为，故C正确； 对于D，由正弦定理可得＝＝2，则c＝2sin C＝2sin [π－(A＋∠ABC)]＝2sin (－A)，因为A∈(0，)，所以－A∈(，)，则c＝2sin (－A)∈(1，2]，所以当A为锐角时，可得c∈(1，2]，故D正确． 5．(13分)(2026·威海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝. (1)求A；(6分) (2)已知M是边BC上的点，AM⊥AB，AM＝，求2b＋c的最小值．(7分) 解：(1)因为＝， 所以＝，即b2＋c2－a2＝－bc， 可得cos A＝＝＝－， 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，可得bc·＝c·＋b··，即bc＝2c＋b， 可得＋＝1，所以2b＋c＝(2b＋c)·(＋)＝4＋＋＋1≥9， 当且仅当b＝c＝3时等号成立，所以2b＋c的最小值为9. 6．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin A，sin A＋cos A)，n＝(cos A，cos A－sin A)，f(A)＝m·n，A∈. (1)求函数f(A)的最大值；(6分) (2)若f(A)＝0，a＝，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．(7分) 解：(1)由题知f(A)＝m·n ＝(2sin A，sin A＋cos A)·(cos A，cos A－sin A)＝2sin A cos A＋cos2A－sin2A ＝sin2A＋cos 2A＝2sin (2A＋). 因为≤A≤，所以≤2A＋≤， 所以－1≤sin (2A＋)≤， 所以f(A)∈[－2，]， 所以函数f(A)的最大值为. (2)因为f(A)＝2sin (2A＋)＝0， 所以2A＋＝kπ，k∈Z， 所以A＝－，k∈Z， 因为A∈[，]，所以A＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝＝＝＝2， 所以b＋c＝2(sin B＋sin C)＝， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6，① 由余弦定理得b2＋c2－2bc cos A＝a2， 即b2＋c2－bc＝3，② 由①②解得bc＝1，所以△ABC的面积为bc sin A＝×1×＝. 7．(15分)(2025·辽宁名校联盟模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝a. (1)求角B的大小；(4分) (2)若b＝，求△ABC面积的最大值；(4分) (3)求sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A的取值范围．(7分) 解：(1)由正弦定理得＝sin A， 即sin B sin A＝sin A(1＋cos B)， 因为0＜A＜π，所以sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B，所以sin (B－)＝，又0＜B＜π，所以－＜B－＜，所以B－＝，B＝. (2)由余弦定理的推论得，cos B＝＝，将b＝代入得，a2＋c2＝3＋ac， 又a2＋c2≥2ac，所以ac≤3，当且仅当a＝c＝时，等号成立，所以△ABC的面积为ac sin B＝ac≤， 故△ABC面积的最大值为. (3)sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A ＝sin A sin C＋(sin A＋sin C) ＝sin A sin (－A)＋[sin A＋sin (－A)]　 ＝sin 2A＋sin2A＋sinA＋cos A ＝sin (2A－)＋sin (A＋)＋， 令x＝A＋，则2A－＝2x－， 所以sin (2A－)＋sin (A＋)＋可化为sin2x＋sinx－＝(sin x＋)2－. 因为A∈(0，)，所以x∈(，)， 所以sin x∈(，1]， 由二次函数的图象与性质得， 当sin x∈(，1]时，(sin x＋)2－＞()2＋×－＝，(sin x＋)2－≤12＋×1－＝，故sin A sin C＋sin B sin C＋sin B sin A的取值范围为(，]. 8．(15分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角的大小为θ. (1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并直接写出sin θ的取值范围；(7分) (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．(8分) 解：(1)由题意知，OC＝OP＝40，PH＝50，OH＝BE＝10. 在△OEC中，∠COE＝θ， 则CE＝OC sin θ＝40sin θ， CB＝CE＋BE＝40sin θ＋10，OE＝OC cos θ＝40cos θ，CD＝2OE＝80cos θ， PF＝OP－OF＝OP－CE＝40－40sin θ，所以矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)，当B，N重合时，θ最小，此时sin θ＝；当C，P重合时，θ最大，此时sin θ＝1，因为C，P重合不符合题意， 所以sin θ∈[，1). (2)设甲种蔬菜单位面积年产值为4k，乙种蔬菜单位面积年产值为3k，则甲、乙两种蔬菜的年总产值为4k·800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k·1 600(cos θ－sin θcos θ) ＝8 000k(sin θcos θ＋cos θ). 记f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ， 则f′(θ)＝－2sin2θ－sinθ＋1 ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)， 令f′(θ)＝0，易得θ＝. 易知当θ＝时f(θ)有最大值， 即此时甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 学科网（北京）股份有限公司 $