第三章 代数式 单元复习 讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第三章《代数式》五星版单元复习讲义 人教版（2024）七年级数学上册 · 第三章 代数式（约10课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目（寻找生活中的正比例与反比例、用代数式表示规律）· 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 3.1 代数式（3.1.1 代数式的概念与书写规范；3.1.2 列代数式；3.1.3 正比例、反比例关系）；3.2 代数式的值（3.2.1 求代数式的值；3.2.2 求代数式的值的应用）；数学活动 核心素养 抽象能力、符号意识、模型观念、运算能力（用字母表示数，用式子表示数量关系，求代数式的值） 本单元不涉及 整式的加减（第四章）、一元一次方程（第五章）；函数概念在八年级正式学习 课标对接 “数与代数”领域核心内容；本章是从“数”到“式”的关键过渡；综合与实践按项目式学习设计（见第四部分） 单元知识导航 本单元的知识主线：从“用数表示”走向“用字母表示” → 认识代数式与书写规范 → 列代数式表示数量关系（含正比例、反比例关系） → 求代数式的值并解释其实际意义。全单元围绕“符号与关系”展开，是初中“从数到式”的第一步，也是函数学习的起点。 图1　第三章《代数式》知识网络 列代数式是本章的核心技能，关键是先把文字语言“翻译”成代数语言。可用“三步法”：读（读明白题意，分清和、差、倍、分）→ 写（用字母表示未知量，按数量关系写式子）→ 查（检查书写规范）。 图2　列代数式三步法 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 代数式 由数和字母用运算符号连接所成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式；含有等号或不等号的式子不是代数式 x＋y＝1、a＞b不是代数式 书写规范 数与字母相乘省略乘号、数字写在字母前；除法写成分数形式；带单位的式子要加括号；1与字母相乘时1省略不写 m×n、m3、1x、a÷b书写不规范 列代数式 先读后写，分清“和、差、倍、分”及“平方和、和的平方”等表述 a²＋b²是平方和，(a＋b)²是和平方，两者不同 正比例关系 两个量的比值一定（商一定），如y÷x＝k（k为不等于0的常数），记作y＝kx 判断正比例看“商一定”，不是看“一个增大另一个也增大” 反比例关系 两个量的乘积一定（积一定），如xy＝k（k为不等于0的常数） 判断反比例看“积一定” 代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算，所得结果叫代数式的值 字母取值要使代数式有意义 代入注意 字母取负数或分数时，代入要加括号，再按“先乘方、再乘除、后加减”计算 x＝-2代入x²要写成(-2)²，不能写成-2² 实际意义 同一个代数式可以表示不同的实际背景，如2x可表示“单价2元买x件” 解释意义时要说明字母的含义 求代数式的值可按“代入—运算—得值”三步进行。代入时先处理符号：负数、分数要加括号；代入后再按运算顺序计算，最后结合情境解释结果的意义。 图3　求代数式的值：代入—运算—得值 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）下列式子中，属于代数式的是（　） A．x＋y＝1　B．a＞b　C．2x－1　D．5≥3 A2（选择·★）下列代数式书写规范的是（　） A．m×n　B．2m　C．m3　D．m÷n A3（填空·★）用代数式表示：a与b的平方和是＿＿；x的3倍与y的差是＿＿。 A4（填空·★）当x＝2时，代数式3x＋1的值是＿＿；当x＝-2时，2x＋3的值是＿＿。 A5（填空·★）圆的半径为r，周长C＝＿＿，面积S＝＿＿。 A6（选择·★）“m与n的和的3倍”用代数式表示为（　） A．3m＋n　B．3(m＋n)　C．m＋3n　D．mn＋3 A7（填空·★）三角形的底为a，高为h，面积是＿＿；当a＝8，h＝5时，面积是＿＿。 A8（填空·★）当a＝3，b＝-2时，代数式a²－b的值是＿＿。 A9（填空·★）某商品原价为a元，打八折后的价格是＿＿元；买b件这样的商品共需＿＿元。 A10（填空·★）若y与x成正比例，当x＝3时y＝9，则y与x的关系式是y＝＿＿x；若xy＝12，则y与x成＿＿比例。 二、能力提升（方法进阶） B1（选择·★★）下列代数式中，表示“a、b两数的平方差”的是（　） A．(a－b)²　B．a²－b²　C．a－b²　D．(a＋b)² B2（填空·★★）当x＝-1，y＝2时，代数式x²－2xy＋y²的值是＿＿。 B3（填空·★★）已知2x－y＝3，则代数式4x－2y＋5的值是＿＿。 B4（填空·★★）代数式2(m－1)与2m－1表示的意义不同：当m＝4时，2(m－1)＝＿＿，2m－1＝＿＿。 B5（应用·★★）某快递公司收费：1千克以内（含1千克）收10元，超过1千克的部分每千克加收2元。 (1) 用代数式表示寄x千克（x＞1）快递的费用； (2) 当x＝3.5时，费用是多少元？ B6（探究·★★）下表记录了x与y的4组对应值： x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 (1) y与x之间是什么关系？请说明理由； (2) 用代数式表示y与x的关系。 三、综合应用（素养落地） C1（跨学科·财经·★★★）某市出租车计费：起步价10元（3千米以内，含3千米），超过3千米后每千米加收2.5元（不足1千米按1千米计）。 (1) 用代数式表示行驶x千米（x＞3，x为整数）的车费； (2) 当x＝8时，车费是多少元？ (3) 结合实际情况，说一说“不足1千米按1千米计”表示什么意思。 C2（跨学科·科学·★★★）某实验小组研究弹簧的伸长量L（cm）与所挂物体质量m（kg）的关系，测得数据如下表： m（kg） 1 2 3 4 5 L（cm） 2 4 6 8 10 (1) L与m之间是什么关系？用代数式表示L与m的关系； (2) 当m＝5时，L是多少？ (3) 若弹簧伸长量L＝14，所挂物体质量m是多少？ 图4　物体质量与弹簧伸长量的关系（C2） C3（跨学科·交通·★★★）一批救灾物资需从济南运往某地，运输速度v（千米/时）与所需时间t（小时）的关系如下表： v（千米/时） 20 30 40 60 t（小时） 6 4 3 2 (1) 这批物资的运输路程是多少千米？ (2) v与t之间是什么关系？用代数式表示t与v的关系； (3) 当v＝50时，所需时间t是多少小时？ 图5　运输速度与所需时间的关系（C3） 综合与实践 · 项目式学习（一）寻找生活中的“正比例与反比例” 【项目名称】寻找生活中的“正比例与反比例” 任务1　举例：分别举出2个生活中成正比例关系和成反比例关系的例子（如：速度一定，路程与时间成正比例；总价一定，单价与数量成反比例）。 任务2　列表验证：把每个例子中的两个量列表（至少4组数据），验证“商一定”（正比例）或“积一定”（反比例）。 任务3　代数式表达：用字母表示两个量，写出它们的关系式。 任务4　AI辅助：可借助AI工具（如豆包）核验你的举例是否准确；AI答案仅供参考，以课本定义和实际数据为准。 任务5　成果分享：做一张“正反比例关系卡”，在班级交流展示。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主，第四学段可采用项目式学习。本项目融合科学（物理量关系）、财经（单价与数量）、交通（速度与时间），体会“用字母表示关系”的模型思想。 图6　正比例与反比例的直观对比（综合与实践） 评价维度 分值 评价标准 举例准确 20 正比例、反比例各2例，关系判断正确 数据验证 30 每组至少4对数据，“商一定”或“积一定”验证完整 代数式表达 20 关系式书写规范、字母含义说明清楚 展示交流 20 表达清晰、有数据支撑 合作与反思 10 小组分工明确，有过程记录与反思 综合与实践 · 专题探究（二）用代数式表示规律 用小棒按下面的方式摆正方形：摆1个正方形用4根小棒，摆2个用7根，摆3个用10根……用字母表示规律：摆n个正方形需要的小棒根数是3n＋1。验证：n＝1时3×1＋1＝4；n＝2时3×2＋1＝7；n＝3时3×3＋1＝10，规律成立。 图7　用小棒摆正方形的规律（数学活动） 延伸思考：相邻两个正方形的公共边只算一根小棒，所以每增加1个正方形只需增加3根小棒，于是“根数＝3×个数＋1”。用字母表示规律，把“看得见的图形”变成了“可计算的式子”，这正是代数式的力量。你还能用代数式表示其他图形规律吗？ 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 会判断一个式子是不是代数式（不含等号、不等号） 2 会按书写规范写代数式：数字在前、省略乘号、除法写成分数 3 会列代数式表示数量关系，能分清“平方和”与“和的平方” 4 会判断两个量成正比例（商一定）还是成反比例（积一定），并用代数式表示 5 会求代数式的值：负数、分数代入加括号，按运算顺序计算 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（选择·★）下列式子中，属于代数式的是（　） A．2x＝6　B．x＋3　C．a＞b　D．5≠2 M2（填空·★）用代数式表示：m的一半与n的和是＿＿。 M3（填空·★）当x＝3时，代数式2x－5的值是＿＿。 M4（选择·★）下列代数式书写规范的是（　） A．1x　B．2ab　C．ab÷c　D．x2 M5（填空·★）正方形的边长为a，周长是＿＿，面积是＿＿。 M6（填空·★★）当a＝-2，b＝3时，代数式a²＋ab的值是＿＿。 M7（计算·★★）求代数式2x²－3x＋1在x＝-1时的值。 M8（选择·★★）下列各组量中，成反比例关系的是（　） A．速度一定，路程与时间　B．总价一定，单价与数量　C．单价一定，总价与数量　D．底一定，面积与高 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．画知识树：合上书本，独立画出本单元知识树（代数式→书写规范→列代数式→正反比例→求值），再对照课本补漏。 2．列式四查：列完代数式后，四查——查“和差倍分”是否读对、查数字是否在前、查是否漏加括号、查单位是否加括号。 3．求值三步：代入（负数、分数加括号）→ 运算（先乘方、再乘除、后加减）→ 得值（解释意义）。 4．正反比例两看：一看“商一定”（正比例），二看“积一定”（反比例），用一组数据先试算。 5．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型，复习时重点突破。 衔接展望：本章用字母表示数、用式子表示关系，是函数学习的起点——八年级的一次函数、九年级的二次函数（如y＝ax²＋bx＋c）都以含字母的代数式为载体；后续整式的加减、一元一次方程也都建立在“代数式”的基础之上。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 本单元错题大多集中在“书写规范”“代入求值”“正反比例判断”三类，用AI工具做“错题门诊”时，建议按“四步门诊法”操作： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题和你的过程发给AI工具（如豆包），请它判断错在“书写规范”还是“代入求值” 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己写，再对照答案 3 核查 把AI的分析对照课本书写规则逐条检验（如“数字在前、省略乘号”） 发现疑点及时请教老师 4 归档 把错因与变式整理进错题本，标注“书写/代入/正反比例”类别 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 把含等号的式子当代数式 认为x＋y＝1是代数式 代数式不含等号、不等号，x＋y＝1是等式，不是代数式 书写不规范 写成m×n、m3、1x、a÷b 数字与字母相乘省略乘号、数字在前：2m；除法写成分数形式 “平方和”与“和的平方”混淆 把a、b的平方和写成(a＋b)² 平方和是a²＋b²；和的平方是(a＋b)² 代入不加括号 x＝-2时，把x²算成-2²＝-4 代入要加括号：(-2)²＝4 正反比例判断错 认为“一个增大另一个也增大”就是正比例 看“商一定”（正比例）还是“积一定”（反比例） 2(m－1)与2m－1混淆 认为当m＝4时两者都等于7 2(m－1)＝2×3＝6；2m－1＝2×4－1＝7，意义不同 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　C。解析：代数式不含等号或不等号，A、B、D分别含有“＝”“＞”“≥”，不是代数式；2x－1由数和字母用运算符号连接，是代数式。 A2　B。解析：书写规范要求数字与字母相乘时数字在前、省略乘号，2m符合；A中m×n未省略乘号，C中数字3应在字母m前面，D中除法应写成分数形式。 A3　a²＋b²；3x－y。解析：“平方和”是先平方再相加；“x的3倍”是3x，“与y的差”再减去y。 A4　7；-1。解析：当x＝2时，3x＋1＝3×2＋1＝7；当x＝-2时，2x＋3＝2×(-2)＋3＝-4＋3＝-1（代入-2要加括号）。 A5　2πr；πr²。解析：圆的周长C＝2πr，面积S＝πr²。 A6　B。解析：“和”先求m＋n，“的3倍”再乘3，写成3(m＋n)；3m＋n表示“m的3倍与n的和”。 A7　（或ah÷2）；20。解析：三角形面积等于底乘高的一半；当a＝8，h＝5时，8×5÷2＝20。 A8　11。解析：a²－b＝3²－(-2)＝9＋2＝11（减去-2等于加上2）。 A9　0.8a；0.8ab。解析：打八折即原价的80%，一件0.8a元；b件共0.8ab元。 A10　3；反。解析：y与x成正比例可设y＝kx，由x＝3时y＝9，得k＝9÷3＝3，所以y＝3x；xy＝12说明“积一定”，y与x成反比例。 （二）能力提升 B1　B。解析：“平方差”是先分别平方再相减，即a²－b²；A是“差的平方”，C是“a与b的平方的差”，D是“和的平方”。 B2　9。解析：x²－2xy＋y²＝(-1)²－2×(-1)×2＋2²＝1＋4＋4＝9。 B3　11。解析：4x－2y＋5＝2(2x－y)＋5＝2×3＋5＝11（整体代入）。 B4　6；7。解析：当m＝4时，2(m－1)＝2×3＝6；2m－1＝2×4－1＝7。前者表示“m减1后乘2”，后者表示“m的2倍减1”，意义不同。 B5　(1) 10＋2(x－1)；(2) 15元。解析：1千克内10元，超过的(x－1)千克每千克加2元，共10＋2(x－1)元；当x＝3.5时，10＋2×(3.5－1)＝10＋5＝15（元）。 B6　(1) y与x成正比例；(2) y＝3x。解析：每一组数据都有y÷x＝3（商一定），所以y与x成正比例，关系式为y＝3x。 （三）综合应用 C1　(1) 10＋2.5(x－3)；(2) 22.5元；(3) 不足1千米按1千米计，表示收费时把不足部分按整千米向上取整计算（如行驶7.2千米按8千米计费）。解析：超过3千米的部分是(x－3)千米，每千米2.5元；当x＝8时，10＋2.5×(8－3)＝10＋12.5＝22.5（元）。 C2　(1) L与m成正比例，L＝2m；(2) 10；(3) 7。解析：每一组数据都有L÷m＝2（商一定），所以L＝2m；当m＝5时，L＝2×5＝10；当L＝14时，m＝14÷2＝7。 C3　(1) 120千米；(2) v与t成反比例，t＝；(3) 2.4小时。解析：20×6＝30×4＝40×3＝60×2＝120（千米），路程一定；每一组数据都有v×t＝120（积一定），所以v与t成反比例；当v＝50时，t＝120÷50＝2.4（小时）。 （四）月考仿真小测 M1　B。解析：A含等号，C、D含不等号，都不是代数式；x＋3由数和字母用运算符号连接，是代数式。 M2　＋n。解析：“m的一半”是，“与n的和”再加上n。 M3　1。解析：当x＝3时，2x－5＝2×3－5＝1。 M4　B。解析：2ab数字在前、省略乘号，书写规范；A中1应省略，C中除法应写成分数形式，D中数字应在字母前。 M5　4a；a²。解析：正方形周长＝4×边长，面积＝边长×边长。 M6　-2。解析：a²＋ab＝(-2)²＋(-2)×3＝4－6＝-2。 M7　6。解析：2x²－3x＋1＝2×(-1)²－3×(-1)＋1＝2＋3＋1＝6（代入-1要加括号）。 M8　B。解析：单价×数量＝总价，总价一定时“积一定”，成反比例；A、C、D都是“商一定”（速度、单价、底），成正比例。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（收费、实验数据、调运时间等）为教学示例数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $