第15讲 整式（12大题型共68题+解题技巧）同步讲义系列 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第15讲 整式 学习目标 1、掌握单项式及单项式的系数、次数的概念. 2、掌握多项式及多项式的项、常数项及次数的概念. 3、理解整式的概念. 核心素养： 抽象能力 运算能力 知识结构 知识点一 单项式及其相关概念 1、单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. 2、单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如. 当单项式的系数是1或时，1通常省略不写，如就是,系数是1. 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 如果一个单项式的次数是,那么称这个单项式是次单项式，如是二次单项式. 4.对于一个非零的数,规定它的次数为0. 注意：(1)单项式中不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘法（包括乘方）运算. (2)分母中含有字母的式子不是单项式. 提醒：(1)没有写指数的字母，它的指数为1.不要遗漏: (2)不要将系数的指数计算到单项式的次数内 【基础练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，． 【答案】解：以上代数式是单项式的有：，，，，，． 的系数为，次数为3； 的系数为，次数为1； ，系数为，次数为7； ，系数为，次数为6； 2，系数为2，次数为0； ，系数，次数为1． 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数． 【详解】略 【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目． 【基础练习1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 单项式 x 系数 次数 表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________． 【答案】 【分析】单项式的系数是单项式中的数字因数，要包含符号；单项式的次数是所有字母的指数之和．逐个对每个单项式找出数字因数作为系数，把各个字母的指数相加得到次数，依次填表． 【详解】解：对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为． 多项式及其相关概念 知识点二 1、多项式：几个单项式的和叫作多项式. 2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项. 3、常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项. 4、多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 提醒：(1)在确定多项式的各项时，不要忘记它前面的符号，尤其注意项的符号为负的情况. (2)单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二者不要混淆. 拓展：次项式 若一个多项式有项，次数最高的项的次数为n，则这个多项式叫作次项式，如是二次三项式. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题： (1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ； (2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式． 【答案】(1)，，；，， (2)，四，三 【分析】（1）根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； （2）根据多项式相关概念：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，多项式中含有一个单项式就有几项，据此解答即可． 【详解】（1）解：题目中是单项式的有：，，； 是多项式的有：，，； 故答案为：，，；，，； （2）解：多项式中次数最高的是，它是4次3项式， 故答案为：，四，三． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的有关定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）把下列代数式分别填在相应的括号内 ，，，，，，，，，． (1)单项式：． (2)多项式：． (3)二次二项式：． 【答案】(1)，， (2)，，，，， (3)，， 【分析】（1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案； （3）根据多项式中的每个单项式是多项式的项可得答案． 【详解】（1）单项式：{，， }； （2）多项式：{ ，，，，，，}； （3）二次二项式：{ ，， }； 【点睛】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 整式 知识点三 整式：单项式与多项式统称整式. 提醒：(1)单项式、多项式都是整式，所以整式可能是单项式，也可能是多项式。 (2)分母中含有字母的式子不是整式！ 【基础练习3-1】（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：单项式：，，   故答案为：，； （2）解：多项式：，，， 故答案为：，，； （3）解：整式：，，，，， 故答案为：，，，，． 题型1 题型1 单项式的判断 【典例】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 【变式练习1-2】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 判断一个式子是否是单项式，关键看两点： ①式子中是否只有乘法运算（包括乘方运算); ②式子的分母中是否只有数字.二者有一项不符合，则不是单项式. 题型2 题型2 单项式的系数、次数 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 x 系数 次数 【答案】 单项式 系数 次数 【分析】单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和．据此逐个计算每个单项式的系数和次数即可完成填表． 【详解】解：对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为． 【变式练习2-1】（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． (1)单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关. (2)单项式的次数只与字母有关，且是所有字母的指数的和. (3)圆周率π是常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数的组成部分， 题型3 题型3 与单项式有关的开放性问题 【典例】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 【变式练习3-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）请写一个系数为，只含字母，的三次单项式_____．（只写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查单项式的次数和系数，根据单项式的次数和系数，结合题中条件求解即可． 【详解】解：根据题意，满足条件的三次单项式为或， 故答案为：（或） 题型4 题型4 根据单项式的特征求参数 【典例】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）是六次单项式，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式的次数，牢记次数的定义是解题的关键．本题根据单项式次数的定义，即所有字母的指数之和等于6进行求解即可 ． 【详解】解：单项式的次数是的指数与的指数之和，即， 由题意得， 解得． 故答案为：2． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·重庆·期中）关于的单项式，系数为，次数为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为数字因数，次数为所有字母的指数和，进行求解即可． 【详解】解：由题意， ∴； 故答案为：． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·陕西渭南·阶段检测）单项式的次数与的次数相同，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据单项式的次数是该单项式所有字母的指数之和进行求解即可． 【详解】解；∵单项式的次数与的次数相同， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式的次数，熟知单项式的次数的定义是解题的关键． 1. 1、确定字母范围：看清题目说的是“关于哪些字母的单项式”，确定哪些是字母、哪些是参数。 2. 2、写出系数表达式：把所有数字因数和参数放在一起，写成系数的表达式。 3. 3、写出次数表达式：把所有字母的指数相加（指数为1的不能漏）。 4. 4、建立方程：根据题目给出的系数值或次数值，分别令系数表达式等于给定值、次数表达式等于给定值。 5. 5、求解并检验：解出参数后，检验是否满足“系数不为0”等隐含条件。 题型5 题型5 多项式的判断 【典例】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式练习5-1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】 填图如下： 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 1. 查关系符号：含有不等符号的不是代数式，更不是多项式。 2. 查分母：分母中含字母不是多项式。 3. 查加减运算：没有加减运算，只有乘除可能是单项式，不是多项式。 4. 逐项核查：拆成各项后，若每一项都是单项式，且整体是它们的和是多项式。 5. 定次数和项数：数项数确定“几项”，找最高次项确定“几次”。 题型6 题型6 多项式的项、项数和次数 【典例】（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 多项式 次数 项数 项 表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________． 【答案】 2 2 3 2 3 2 ， ，， ， 【分析】多项式的次数：多项式里次数最高项的次数；项数：多项式中单项式的个数；项：组成多项式的每一个单项式，要带上前面符号．逐个分析每一个多项式，找出最高次项得到多项式次数，数出单项式个数得到项数，再写出全部的项． 【详解】解：：最高次项是，次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，； ：最高次项是，次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，，； ：的次数是，的次数是，最高次数为，共有项，故次数为，项数为，项为，． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 【答案】A 【分析】根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】多项式次数取各项次数最大值，、次数均为3，故次数为3；常数项是不含字母的项． 【变式练习6-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 多项式的次数是次数最高的项的次数，而不是所有项的次数之和. 题型7 题型7 多项式按某个字数升（降）幂排列 【典例】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式练习7-1】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【变式练习7-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查多项式的次数和项数的定义以及降幂排列，题目要求写出一个二次三项式，并且只含有字母和,每一项的次数都是2并且按字母的降幂排列，那么这三个项的字母部分只能是，，． 【详解】根据题意可以写出多个答案：，等 题型8 题型8 与多项式有关的开放性问题 【典例】（25-26七年级上·广西·期中）写出一个只含字母的四次三项式_____． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 根据多项式的定义，需要写出一个只含字母和，且项数为三项、最高次项的次数为4的多项式即可得到答案． 【详解】解：多项式由三项组成，其中的次数为4，的次数为，的次数为4，因此最高次数为4，且只含字母和，满足四次三项式的条件， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有________项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出一个即可）． 【答案】(1)四 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，解题的关键是理解多项式的定义． （1）根据多项式的定义分析即可得； （2）根据多项式的系数、次数的定义即可得． 【详解】（1）解：因为这个多项式含有，每项的次数都是，且 所以当它同时含有，，，时，它的项数最多， 即这个多项式最多有四项； （2）满足要求的多项式为：（答案不唯一）． 【变式练习8-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键．根据题意，所写多项式符合4个条件即可． 【详解】解：根据题意得出符合题意的多项式为． 1. 读题定字母：看清题目要求按哪个字母排列，是升幂还是降幂； 2. 拆项带符号：把多项式拆成若干项，每项连同符号一起取； 3. 标出指数：逐项标出指定字母的指数（缺项记0，无指数记1）； 4. 按序重排：按指数大小重新排列各项，符号跟随； 5. 回查验证：检查项数、符号、指数顺序是否都正确。 题型9 题型9 由多项式的系数、指数求字母的值 【典例】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）多项式是关于的四次二项式，则的值是（   ） A．4 B．或4 C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查多项式的定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 多项式为四次二项式，故最高次项次数为4，且项数为2，因此需满足以使次数为4，同时，一次项系数为零以消除该项，仅保留四次项和常数项，按要求列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴，且一次项系数， 由，得或， 由，得， ， 故选：C． 【变式练习9-1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 题型10 题型10 整式的判断 【典例】 (2026·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【变式练习10-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 【变式练习10-2】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬ 【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可． 【详解】解：单项式有：②，③，⑥，⑫，⑬； 多项式有：①，⑧，⑨，⑩； 整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩；⑫；⑬； 故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬． 【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 题型11 题型11 整式的实际应用 【典例】（26-27七年级上·全国·单元复习）某工厂加工一种零件，需要在边长为的正方形中挖出一个半径为的圆（如图所示）． (1)用代数式表示出该零件的面积； (2)当，时，求该零件的面积（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的面积及正方形的面积公式可进行求解； （2）把，，代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：该零件的面积． （2）解∶当，时， 所以该零件的面积为． 【变式练习11-1】（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)解：①A网店更合算，理由： A网店：元； B网店：元． ∵， ∴A网店更合算； ②在A网店买60支钢笔（送60个笔袋），在B网店买个笔袋最合算，理由： 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总费用：元． ∵， ∴在A网店买60支钢笔，在B网店买30个笔袋最合算． 【分析】（1）根据A，B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）①把代入两个代数式计算，即可得出结论；②先去A网店买60支钢笔，再去B网店买30个笔袋最合算． 【详解】（1）解：A网店：买60支钢笔送60个笔袋，需额外购买个笔袋， 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总付款：元， B网店：钢笔和笔袋均按付款． 总费用： 元； （2）①略； ②略． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是宽为米、长为b米的长方形空地，准备在四个顶点处建半径为a米的扇形花圃（阴影部分）种花，中间修一条长为b米、宽为a米的小路，其余部分种草． (1)求小路的面积、种花的总面积、种草的总面积．(结果保留π) (2)当，时，计算该长方形场地上种草的总面积．(π取3) 【答案】(1)小路的面积为、种花的总面积为、种草的总面积为 (2)该长方形场地上种草的总面积为 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，掌握其相关知识是解题的关键． （1）根据图形可知，小路的面积是长为b米，宽为a米的长方形的面积，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积，列出代数式即可； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形可知，小路的面积是长为b米，宽为a米的长方形的面积， ∴小路的面积为， ∵种花的面积为半径为a米的圆的面积， ∴种花的总面积为， ∵种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积， ∴种草的总面积为． 故答案为：小路的面积为、种花的总面积为、种草的总面积为； （2）当，时，（）． 答：场地上种草的面积为． 题型12 题型12 与整式有关的规律探究题 【典例】（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 【变式练习12-1】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察的指数和的系数的规律可得，的指数是从1开始递增的奇数，的系数是的循环形式，写出对应的代数式即可． 【详解】解：由题意可得， 第一个代数式，的指数为，的系数为； 第二个代数式，的指数为，的系数为； 第三个代数式，的指数为，的系数为； ∴第个代数式为． 【变式练习12-2】（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【答案】(1)15 (2)7 (3)①；② 【分析】（1）直接对1到5连续整数求和． （2）先求出x、y、z的值，再代入代数式计算． （3）观察题中给出的式子，归纳得到棋子数的通项表达式，利用裂项相消，中间项全部抵消，简化分数求和． 【详解】（1）解：第5个图案棋子总数： （2）解：由题意得： ，，， ， （3）解：①根据题意得 ， ， ， ， 由此归纳可得：． 当时， ． ②， ， ． 规律探究题的常用解法 (1)从数与式的特征观察;(2)从几何图形的结构观察;(3)通过对简单、特殊情况的观察，推广到一般情况。 综合检测 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）单项式的次数是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查单项式次数的定义，根据定义计算所有字母的指数和即可得到答案 【详解】解：∵单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， 在单项式 中， 的指数为 ， 的指数为 ， ∴单项式的次数为 3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 4．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式按某一字母降幂排列的定义，即把多项式各项按该字母的指数从大到小的顺序排列，不含该字母的项放在最后． 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 6．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于2的整数，且，满足．下列结论： ①不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ②满足条件的二次二项式有且只有8个； ③满足条件的整式M中只有8个单项式； ④满足条件的整式一共有22个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件确定n的可能取值，按n分类枚举所有情况，逐一判断四个结论即可． 【详解】解：∵，所有系数绝对值小于2， ∴ ，又， ∴ ，即，分类讨论： 1． 当时，，，共2个整式，或均为单项式，单项式共2个； 2．当时，，，由条件 ，得 ，且为整数，则可取，共个整式， 即或或或或或， 其中单项式共2个. ∴时满足条件的整式有且只有6个，结论①错误； 3． 当时，，，由条件 ，得 . 二次二项式仅一个额外非零系数：若 ，共个；若，共个，合计8个， 即或或或或或或或， 单项式为或 结论②正确； 当的所有整式共个，其中单项式共2个； 4．当时， 由条件可知，剩余系数均为0，共2个整式，均为单项式，单项式共2个． 时， ，无符合条件的整式． 综上：单项式总个数为，结论③正确； 所有整式总个数为 ，结论④错误． 正确的结论共2个． 二、填空题 9．（25-26七年级下·北京·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 10．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为_____． 【答案】6 【分析】本题考查单项式的系数和次数的定义． 系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：单项式的系数是，即； 次数是的指数与的指数之和，即； 因此，． 故答案为：6． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①的系数是；②的次数是3次；③是三次三项式；④是多项式．其中说法正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②④/④② 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：①的系数是，故原说法不符合题意；． ②的次数是3次，故说法符合题意；． ③是四次三项式，故原说法不符合题意；． ④是多项式，故说法符合题意；． 故答案为②④． 【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，多项式的判断，多项式的次数与项的含义，熟记以上概念是解本题的关键． 13．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，求___________． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案． 【详解】解：∵多项式的次数是5， ∴， ∴， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有______（填写序号即可] 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了代数式的化简求值，多项式的相关概念，解题关键是熟悉代数式化简的基本运算；逐项判断：①由得且，故为二次三项式；②且时方程解为正；③代入得等式成立；④解得；⑤由值相等得，结合得． 【详解】解：对于①，若 ，则且，代数式中二次项系数，且有三项，故是关于的二次三项式，正确； 对于②，若且，则方程化为，解得，为非负数，正确； 对于③，当时，代数式值为3，即，整理得，即，故，正确； 对于④，当时，，即；当时，，即；联立方程解得，，故错误； 对于⑤，当或（）时代数值相等，即，故，化简得，因，故；又，即，正确； 故答案为：①②③⑤． 三、解答题 15．（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】略 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的指数从小到大的顺序排列即可； （2）按x的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． 17．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 19．（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在一块长为米，宽为米的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径为米的圆的． (1)求剩余铁皮的面积（即阴影部分的面积）； (2)当时，剩余铁皮的面积是多少？ 【答案】(1)剩余铁皮的面积为平方米 (2)剩余铁皮的面积为平方米 【分析】（1）根据截去的总面积为半径为米的圆的面积进行列式； （2）把直接代入计算即可． 【详解】（1）解：因为截去的总面积为半径为米的圆的面积， 所以剩余铁皮的面积为平方米； （2）当时， 剩余铁皮的面积为平方米． 20．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 【答案】(1)①元；②22元 (2)米或3500米 (3)120米 【分析】（1）①根据“乘车的路程小于3千米，则乘车费用为8元；大于等于3千米时，乘车的费用为基础的8元加上超过3千米部分的费用，超过3千米部分的费用为（总路程）元”列式；②将代入式子即可； （2）如果两人的家在坊子泰华城的同侧，则两人家的距离为两人运动的距离之差；如果两人的家在坊子泰华城的两侧，则两人家的距离为两人运动的距离之和； （3）两人从同一地点到同一个位置，李叔叔先到，则张叔叔距离目的地的距离为两人骑行的距离之差． 【详解】（1）解：①∵， ∴乘客应付的车费为（元）； ②将代入，得（元）． （2）解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， 两人家的距离为：（米）， 答：他们两家相距米或3500米． （3）解：， ， （米）， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米． 21．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 22．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 中考真题 1．(2024·广东·中考真题）某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式、整式、多项式和单项式的相关概念，代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含．据此即可求解. 【详解】解：∵代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含． 故选：D ． 2．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 3．（2026·山东德州·中考真题）整式的次数为_______． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：该单项式中字母的指数为，字母的指数为， 因此次数为． 4．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 整式 学习目标 1、掌握单项式及单项式的系数、次数的概念. 2、掌握多项式及多项式的项、常数项及次数的概念. 3、理解整式的概念. 核心素养： 抽象能力 运算能力 知识结构 知识点一 单项式及其相关概念 1、单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. 2、单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如. 当单项式的系数是1或时，1通常省略不写，如就是,系数是1. 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 如果一个单项式的次数是,那么称这个单项式是次单项式，如是二次单项式. 4.对于一个非零的数,规定它的次数为0. 注意：(1)单项式中不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘法（包括乘方）运算. (2)分母中含有字母的式子不是单项式. 提醒：(1)没有写指数的字母，它的指数为1.不要遗漏: (2)不要将系数的指数计算到单项式的次数内 【基础练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，． 【基础练习1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 单项式 x 系数 次数 表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________． 多项式及其相关概念 知识点二 1、多项式：几个单项式的和叫作多项式. 2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项. 3、常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项. 4、多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 提醒：(1)在确定多项式的各项时，不要忘记它前面的符号，尤其注意项的符号为负的情况. (2)单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二者不要混淆. 拓展：次项式 若一个多项式有项，次数最高的项的次数为n，则这个多项式叫作次项式，如是二次三项式. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题： (1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ； (2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）把下列代数式分别填在相应的括号内 ，，，，，，，，，． (1)单项式：． (2)多项式：． (3)二次二项式：． 整式 知识点三 整式：单项式与多项式统称整式. 提醒：(1)单项式、多项式都是整式，所以整式可能是单项式，也可能是多项式。 (2)分母中含有字母的式子不是整式！ 【基础练习3-1】（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 题型1 题型1 单项式的判断 【典例】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式练习1-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【变式练习1-2】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 判断一个式子是否是单项式，关键看两点： ①式子中是否只有乘法运算（包括乘方运算); ②式子的分母中是否只有数字.二者有一项不符合，则不是单项式. 题型2 题型2 单项式的系数、次数 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 x 系数 次数 【变式练习2-1】（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 (1)单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关. (2)单项式的次数只与字母有关，且是所有字母的指数的和. (3)圆周率π是常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数的组成部分， 题型3 题型3 与单项式有关的开放性问题 【典例】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【变式练习3-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）请写一个系数为，只含字母，的三次单项式_____．（只写一个即可） 题型4 题型4 根据单项式的特征求参数 【典例】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）是六次单项式，则m的值为_______． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·重庆·期中）关于的单项式，系数为，次数为，则的值为___________． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·陕西渭南·阶段检测）单项式的次数与的次数相同，则x的值为______． 1. 1、确定字母范围：看清题目说的是“关于哪些字母的单项式”，确定哪些是字母、哪些是参数。 2. 2、写出系数表达式：把所有数字因数和参数放在一起，写成系数的表达式。 3. 3、写出次数表达式：把所有字母的指数相加（指数为1的不能漏）。 4. 4、建立方程：根据题目给出的系数值或次数值，分别令系数表达式等于给定值、次数表达式等于给定值。 5. 5、求解并检验：解出参数后，检验是否满足“系数不为0”等隐含条件。 题型5 题型5 多项式的判断 【典例】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习5-1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 1. 查关系符号：含有不等符号的不是代数式，更不是多项式。 2. 查分母：分母中含字母不是多项式。 3. 查加减运算：没有加减运算，只有乘除可能是单项式，不是多项式。 4. 逐项核查：拆成各项后，若每一项都是单项式，且整体是它们的和是多项式。 5. 定次数和项数：数项数确定“几项”，找最高次项确定“几次”。 题型6 题型6 多项式的项、项数和次数 【典例】（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 多项式 次数 项数 项 表内（按行）依次填入_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 【变式练习6-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 多项式的次数是次数最高的项的次数，而不是所有项的次数之和. 题型7 题型7 多项式按某个字数升（降）幂排列 【典例】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式练习7-1】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【变式练习7-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 题型8 题型8 与多项式有关的开放性问题 【典例】（25-26七年级上·广西·期中）写出一个只含字母的四次三项式_____． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有________项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出一个即可）． 【变式练习8-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 1. 读题定字母：看清题目要求按哪个字母排列，是升幂还是降幂； 2. 拆项带符号：把多项式拆成若干项，每项连同符号一起取； 3. 标出指数：逐项标出指定字母的指数（缺项记0，无指数记1）； 4. 按序重排：按指数大小重新排列各项，符号跟随； 5. 回查验证：检查项数、符号、指数顺序是否都正确。 题型9 题型9 由多项式的系数、指数求字母的值 【典例】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）多项式是关于的四次二项式，则的值是（   ） A．4 B．或4 C． D．4或 【变式练习9-1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 题型10 题型10 整式的判断 【典例】 (2026·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式练习10-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 题型11 题型11 整式的实际应用 【典例】（26-27七年级上·全国·单元复习）某工厂加工一种零件，需要在边长为的正方形中挖出一个半径为的圆（如图所示）． (1)用代数式表示出该零件的面积； (2)当，时，求该零件的面积（取3.14） 【变式练习11-1】（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是宽为米、长为b米的长方形空地，准备在四个顶点处建半径为a米的扇形花圃（阴影部分）种花，中间修一条长为b米、宽为a米的小路，其余部分种草． (1)求小路的面积、种花的总面积、种草的总面积．(结果保留π) (2)当，时，计算该长方形场地上种草的总面积．(π取3) 题型12 题型12 与整式有关的规律探究题 【典例】（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式练习12-1】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式练习12-1】（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 规律探究题的常用解法 (1)从数与式的特征观察;(2)从几何图形的结构观察;(3)通过对简单、特殊情况的观察，推广到一般情况。 综合检测 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）单项式的次数是（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 4．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 6．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 8．（2026·重庆·模拟预测）已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于2的整数，且，满足．下列结论： ①不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ②满足条件的二次二项式有且只有8个； ③满足条件的整式M中只有8个单项式； ④满足条件的整式一共有22个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（25-26七年级下·北京·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 10．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为_____． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①的系数是；②的次数是3次；③是三次三项式；④是多项式．其中说法正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 13．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，求___________． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有______（填写序号即可] 三、解答题 15．（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 17．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 19．（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在一块长为米，宽为米的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径为米的圆的． (1)求剩余铁皮的面积（即阴影部分的面积）； (2)当时，剩余铁皮的面积是多少？ 20．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 21．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 22．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 中考真题 1．(2024·广东·中考真题）某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·中考真题）整式的次数为_______． 4．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 学科网（北京）股份有限公司 $