2026-2027学年苏科版数学九年级上册10月阶段自测基础常考题型训练卷

2026—2027学年苏科版九上数学10月阶段自测基础常考题型训练卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分21分） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 3．正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（     ） A．2 B．1 C．0.7 D．0.5 二、填空题（本大题共11小题，每小题3分，满分33分） 8．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________． 9．反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 10．若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 11．已知点、都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 12．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 13．一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 14．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 16．如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 17．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 18．已知与成反比例函数关系，且当时，．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当时，y的值． 19．解下列方程 (1)； (2)． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 21．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 22．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； (2)该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：______； (3)当时，y的取值范围：______； (4)当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：______． 23．数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请你帮忙解决以下问题． (1)求关于x的方程的根； (2)若的值为正整数，求整数x的值． 24．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 25．某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 27．完成以下问题 (1)如图①，，是上的两条弦，，，垂足分别为E、F．如果，和的大小有什么关系？为什么？ (2)如图②，是的弦．求作弦，使，且与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 28．平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年苏科版九上数学10月阶段自测基础常考题型训练卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B B C B D 1．B 【分析】需注意二次项系数不为0，且方程为整式方程这两个关键判定点． 【详解】解：A．未明确，不一定是一元二次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．含两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故D不符合题意． 2．C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 3．B 【分析】连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵半径为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 正方形的边长是． 4．B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：． 5．C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 6．B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点F， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 8．2 【分析】将方程的根代入原方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得， 化简得 ， ∴ ． 9． 【分析】反比例函数图象位于第二、四象限，说明其比例系数小于0，据此列不等式求解即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得 ． 10． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴ 根据根与系数的关系得： ， ， 将 ， 代入 得： ． 11． 【分析】将、两点的横坐标分别代入反比例函数解析式，得到和的具体值，再比较二者大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得． ， ． 12． 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 13． 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． 14． 16 【分析】先解一元二次方程得到两个根，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长. 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， 设第三边长为，根据三角形三边关系可得，即， 因此不符合要求，舍去， 故第三边长为， 所以三角形的周长为. 15．或 【分析】首先利用点的坐标求出反比例函数解析式，进而求出点的横坐标，然后观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为， 点 在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为， 当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， 由图象可知， 的取值范围是或． 16．/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 17． 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，求函数值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列式，再把和代入代入进行计算，即可作答． （2）根据（1）得出，再结合，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系 ∴ 把和代入 得 即 ∴ ∴； （2）解：依题意，把代入 得出 19．(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法计算； （2）利用求根公式法计算． 【详解】（1）解：， 两边同除以得：， 开平方得：， ∴； （2）解：， ∴， ， ∴， ∴， ． 20．(1) 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 21． 【分析】利用扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵外侧两竹条，的夹角为，即， ∴扇面（阴影部分）的面积为 ． 22．(1)； (2)； (3)； (4)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据图象进行作答即可； （4）求出两个函数的交点坐标，图象法进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴； 画图略 （2）解：令，则，解得， ∴横坐标与纵坐标相同的点为； （3）解：当时，， ∴当时，； （4）解：令，解得， 由图象可知，当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，或. 23．(1)方程的根为 (2)整数的值为和 【分析】（1）将A、B代入方程，整理为一元二次方程，利用完全平方公式求解； （2）先化简分式，结合分式有意义的条件和正整数的性质，确定x的整数值． 【详解】（1）解：∵，，且， 解得； （2）解：由题意得，， ∴ 解得， ∴， 的值为正整数，x为整数， ∴或 解得或， 经检验，和均使原分式有意义， 综上所述，整数x的值为2和3． 24．证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 25．(1) 该专卖店核桃销售量的月增长率为. (2) 每千克核桃应降价元或元. 【分析】（1）根据月增长率相同，结合7月与9月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据“每千克利润日销售量日总利润”的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解： 设该专卖店核桃销售量的月增长率为， ∵7月份销售量为4000千克，从7月到9月销售量的月增长率相同，9月份销售量为5760千克， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：设每千克核桃应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价后售价需高于进价，即， 解得， ∴，均符合题意， 答：每千克核桃应降价元或元． 26．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 27．(1)解：． 连接，，设半径为r． ，，，, ，, 在中，，在中，, ，，即． (2)过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,连接,以点为圆心，任意长在、、、上画弧，分别交于G、H、J、K四个点，分别以点J、K为圆心，长度为半径画弧，交于点S、T，延长,交于点C，延长,交于点D,连接，即得到，且与的夹角为． 尺规作图：如图所示： 【分析】（1）连接，，设半径为r，在、中使用勾股定理，分别表示出和的长，再根据即可比较出和的大小关系． （2）过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,可证明,连接,用尺规作图，就可以以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为C点；再连接,用尺规作图，以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为D点，连接,即可得到与的夹角为，也可证明． 【详解】（1）略 （2）解：∵，,,为公共边， ∴, ∴, 得到角，用于确定与的夹角， 连接后， ∵点、点都相对于点、点偏移， ∴与的夹角为， ∵, , ∴,即, ∴, ∴， 综上即得到，且与的夹角为， 28．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点． （2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围． （3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $