精品解析：江苏泰兴市实验初中教育集团泰师分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学综合练习 2026.10.16 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ）． A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，则当时，的最大值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 方程的根是_______． 8. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 9. 已知方程的一个根为，则的值为______． 10. 如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的深度，则截面圆中AB的长为________cm． 11. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 12. 如图，半径是2的与含30度角的直角三角板ABC的AC边相切于点A，与AB边相交于D，则的长为____（结果保留π） 13. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 15. 如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 16. 已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 三、解答题（共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 19. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为______； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 20. 已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）若，根据图象直接写出当时的取值范围； （3）连接、，求的面积． 23. 如图，在中，． （1）在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 24. 探究不同的情境，回答下面的问题． （1）下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． （3）若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 25. 新定义探究：函数的“迁移中心” 对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为． （1）①函数的迁移中心是 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）． 观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）； （2）若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式； （3）若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值． 26. 如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： （1）【特殊情形】当时，直接写出r的值； （2）【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； （3）【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学综合练习 2026.10.16 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数中的定值特性，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：将点代入，得， 选项：，不符合题意； 选项：，符合题意； 选项：横纵坐标乘积均为，不符合题意． 3. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 4. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 5. 已知反比例函数，则当时，的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，结合的取值范围求的最大值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 6. 如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，由切线的性质可得，表示出，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，利用圆周角定理得出，最后再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴若要求的度数，只需要知道的度数． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项后因式分解，即可求出方程的根． 【详解】解：， ． ． ∴或． 解得，． 8. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 9. 已知方程的一个根为，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】此题主要考查由一元二次方程的根求代数式的值．首先将代入方程，得出，然后转换所求代数式即可得解． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故答案为：2024． 10. 如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的深度，则截面圆中AB的长为________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，，利用勾股定理求长即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 11. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于x的一元二次方程求解，最后把不符合的答案舍去即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去） 故， 则平均每次降价． 故答案为：． 12. 如图，半径是2的与含30度角的直角三角板ABC的AC边相切于点A，与AB边相交于D，则的长为____（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OD，根据切线的性质得到OA⊥AC，推出OA∥BC，根据平行线的性质得到∠OAD=∠B=30°，根据弧长公式即可得到答案． 【详解】解：连接OA，OD， ∵AC与⊙O相切， ∴OA⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OA∥BC， ∴∠OAD=∠B=30°， ∵OA=OD， ∴∠AOD=120°， ∴的长=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 13. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的象限分布和增减性，先判断的符号，再比较第一象限内与的大小. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小； ∵， ∴点在第三象限，可得； ∵， ∴点，都在第一象限，可得； 综上可得. 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 15. 如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设动点，利用半径相等得到，分别列出距离平方等式，化简求出点A横坐标、点B纵坐标，得到、，消去字母x得到定值． 【详解】解：设， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，， ，， ，，， ，， ，， ． 16. 已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，先利用切线性质得到直角三角形，求出的长度，再利用勾股定理逆定理得到，推出，分点B的两种不同位置计算的长度即可． 【详解】解：连接，， ∵与相切于点， ∴， ∵半径为，， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点与点在同侧时，如图， 过作于， 可得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； ②当点与点在异侧时，过作交延长线于，如图 同理可得，， ∴， 在中，； 因此的长为或． 三、解答题（共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为______； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】（1） （2）在圆外 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心， ． 【小问2详解】 ，，， ，， ， 点在的外部． 20. 已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2），；或． 【解析】 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵为半径 ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可得，求出，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴． ∴， ∴． ∵， ， ． 22. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）若，根据图象直接写出当时的取值范围； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式，求得的值，再将求得的点坐标代入反比例函数解析式，即可求得的值； （2）联立一次函数和反比例函数，解得两个交点的横坐标，结合图象，可直接写出时的取值范围； （3）设直线与轴交于点，分别求出点，点的坐标，再由计算的面积． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象上， 将代入一次函数解析式得，， 点的坐标为， 又点同时在反比例函数的图象上， 将，代入反比例函数解析式得，， 解得． 【小问2详解】 解：联立一次函数和反比例函数的解析式，得到方程组， ， 整理得，， ， 解得，． 两个交点的横坐标分别是和，对应点的横坐标为． 观察图象，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即时， 对应的取值范围是点和点横坐标之间的区域，即． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点． 在一次函数中，令，则， 点的坐标为，即． 当时，点的纵坐标为， 点的坐标为， 又点的坐标为， ． 23. 如图，在中，． （1）在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 24. 探究不同的情境，回答下面的问题． （1）下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． （3）若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 【答案】（1） ① （2） 条件：③，结论：② （3） 【解析】 【分析】（1）分别解三个方程（或用判别式＋求根），逐一判断两个根是否都为整数，注意③只有一个根是整数，不符合题意； （2）先算判别式 ，由“两个相等的实数解”得 求出 ，回代验证两根都是整数，从而说明“条件③⇒结论②”是真命题； （3）设公共整数解为 ，代入两个方程后两式相减，由 得 ，进而得到 与 的关系式，把 化成只含 的式子，用 求最小值． 【小问1详解】 解：① ，即 ， 解得 ，，两个解都是整数，符合题意； ② ，， 解得 ，两个解都不是整数，不符合题意； ③ ，即 ， 解得 ，，只有一个解是整数，不符合题意． 所以有两个整数解的是①． 【小问2详解】 解：选择的条件是③，结论是②．证明如下： 对于方程 ， ． 因为方程有两个相等的实数解， 所以 ，即 ， 解得 ． 此时方程为 ，即 ， 化为 ，解得 ． 因为 是整数，所以方程有两个整数解，结论②成立． 故“条件③⇒结论②”是真命题． 【小问3详解】 解：设这两个方程公共的整数解为 ，则 　①，　②． ①−②，得 ，即 ． 因为 ，即 ， 所以 ，解得 ． 把 代入①，得 ，即 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ， 当 （此时 ，满足 ）时取等号， 故 的最小值为 ． 【点睛】① 第（1）问③中 的两根是 和 ，“有一个整数解”≠“有两个整数解”，别误选③； ② 第（2）问“两个相等的实数解”是指 ，此时两根相等仍是“两个整数解”，这是③⇒②成立的关键；若选①作条件， 时两根为 与 ，不全是整数，推不出②； ③ 第（3）问两式相减后必须因式分解成 ，再由 得 ，不能漏掉 这个条件，否则会误认为 可取任意值． 25. 新定义探究：函数的“迁移中心” 对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为． （1）①函数的迁移中心是 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）． 观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）； （2）若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式； （3）若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值． 【答案】（1） ；，对称中心为 （2） （或） （3） 【解析】 【分析】（1）① 对照定义比较系数得 、、，直接写出迁移中心；② 将函数式变形为 ，明确双曲线由 平移得到，列表描点画图，由双曲线的中心对称性读出对称中心； （2）先求 的迁移中心 ，由“中心从 平移到 ”确定平移方式，写出平移后的解析式并化成标准形验证； （3）设 、，把双曲线与直线都化为 、 的关系式，联立后利用两交点对应的 值之积整体代换，避免求 、 的具体值． 【小问1详解】 解：① 在 中，，，分母 ，故 ， 所以迁移中心为 ． ② ， 其图象由 的图象向左平移 1 个单位、向上平移 1 个单位得到，是两支双曲线． 列表如下： 描点连线可得图象（图象分两支，无限接近直线 和 ）． 由双曲线的中心对称性可知，对称中心为 ． 【小问2详解】 解： 可写成 ，即 ，，，迁移中心为 ． 新图象的迁移中心为 ，由 平移到 ，故图象向左平移 2 个单位、向上平移 2 个单位， 得 ． 验证：，，，，符合定义． 所以所求函数解析式为 ． 【小问3详解】 解：由（2），函数图象满足 ． 设 ，，则双曲线为 ；直线 即 ． 联立得 ，即 （，方程有两个不相等的实数根）． 设交点 对应 ，交点 对应 ，则 ． 点 的横坐标为 ，则 ；点 的纵坐标为 ，则 ． 所以 ． 【点睛】① 迁移中心是 ，分母须化成 的形式：，，易误写为 ； ② 平移方向与中心对应：中心 平移到 是左移 2、上移 2，分母是 而不是 ； ③ 第（3）问中 、 含参数 ，不能（也不必）分别求出具体值，须设 、 整体代换，利用 消去 ． 26. 如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： （1）【特殊情形】当时，直接写出r的值； （2）【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； （3）【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 【答案】（1） （2） （3）①直线；②；当与直线相切时 【解析】 【分析】（1）当时，点D、C重合，，由直径所对圆周角逆定理得是直径，求出长后除以2得到半径； （2）由垂径定理得到，结合矩形性质表示、，在和中利用勾股定理结合化简求出； （3）①建立平面直角坐标系，写出圆心O坐标用m表达，消去参数m得到一次函数关系式，判断O的运动路径为直线的一部分；②根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到，代入线段表达式化简得，再根据直线和圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径，列方程求解得到． 【小问1详解】 解：， 点C与点D重合， ， 是的直径， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接、， 点B、D都在上，且， 点O在的垂直平分线上， ， 又， ， ，直线AC，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，以点C为原点、为x轴、为y轴建立坐标系，则，，， 由（2）知点O到的距离为，到直线的距离为，即， 设， ， ， ， 点O在直线上运动，其路径是直线的一部分； ②直线AC，且A、F都在上， G是弦的中点，， 由（2）知，，，， ， ， 当与直线相切时， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $