精品解析：江苏省泰州市 泰兴市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

泰兴市实验初中教育集团九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 所在平面内有一点P，若，半径为5，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径r的大小关系即可判断． 【详解】解：∵ ，半径为5，且， ∴ 点P在内． 故选：A 2. 体育课上，体育委员记录了6位同学在25秒内连续垫排球的情况，6位同学连续垫球的个数分别为30、27、32、30、28、34，则这组数据的众数和极差分别是（ ） A. 33，7 B. 32，4 C. 30，4 D. 30，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和极差，利用定义求解即可． 【详解】解：∵6位同学连续垫球的个数分别为30、27、32、30、28、34， ∴这组数据的众数是30， 极差是． 故选D． 【点睛】本题考查 了众数和极差的定义，解题关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据是众数，最大的数据与最小的数据的差为极差． 3. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是(     ) A. m≥﹣1 B. m＞﹣1 C. m≤﹣1且m≠0 D. m≥﹣1且m≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实数根, 得出△>0, 建立关于m的不等式, 求出m的取值范围即可. 【详解】解:由题意知,△=4+4m≥0, m≥-1, 故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式. 4. 如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时，即， 且， ； 当时，即 而， 所以不能判定和相似． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键． 5. 中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，画出图形是解决本题的关键． 在直角三角形中，已知两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴斜边 ， ∴， 故选B． 6. 如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（ ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，利用“潇湘”函数的定义结合二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的系数，，满足， ∴该“潇湘”函数必过定点，故①正确； 由“潇湘”函数定义得，，解得或，故②错误； ∵该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点， ∴，而，即， ∴，即， ∴，故③正确； 当时， 由一元二次方程根与系数的关系得到，， 由得， ∴， 由得， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 一元二次方程的根是_____. 【答案】x1=1, x2=2. 【解析】 【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得. 【详解】x(x-2)-(x-2)=0， ， x-1=0或x-2=0， 所以x1=1， x2=2， 故答案为x1=1， x2=2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键. 8. 如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成， 一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案． 【详解】解：∵黑色三角形的面积占总面积的， ∴刚好落在黑色三角形区域的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 9. 已知一个圆锥形纸帽的母线长为6，底面圆的半径为2，则纸帽的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积．根据圆锥侧面积公式（为底面圆半径，为母线长）进行计算即可． 【详解】解：由题意，，，代入公式得： ， 故纸帽的侧面积为． 故答案为： 10. 如图，已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意可求出，由平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知抛物线经过点，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在和之间．你确定的b的值是_________． 【答案】如（答案不唯一） 【解析】 【分析】把代入抛物线的解析式求出c的值，在和之间取一个点，分别把和代入解析式即可得出不等式组，求出答案即可． 【详解】解：把代入抛物线的解析式得：， ∴， ∵使该抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴把代入得： 把代入得：， ∴， 即在范围内的任何一个数都符合， 故答案为（答案不唯一，在范围内的任何一个数．） 12. 如图，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影，设桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡与桌面的距离，地面上形成的阴影的面积为______（保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． 先根据，可得出，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，， ∴， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 13. 如图，是内接正六边形的一边，点C在上，且是内接正二十四边形的一边，若是内接正n边形的一边，则_____． 【答案】8##八 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形． 连接，根据圆内接正多边形的性质求出的度数，可得到的度数，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴， ∵是内接正二十四边形的一边， ∴， ∴， ∵是内接正n边形的一边， ∴． 故答案为：8 14. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，是半圆O的切线，的延长线分别交于点E、D，已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质等．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵是半圆O的切线， ∴，即， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 16. 如图，是的弦，是的切线，过点B作，垂足为H，若的最大值为1，则的半径为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点O作于点D，连接，设的半径为R，，由垂径定理可得，由切线的性质可得，则可证明，进而推出，则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，连接，设的半径为R，， ∴，； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，式子有最大值，即此时有最大值，最大值为， ∵的最大值为1， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. （1）计算：； （2）解方程：（用配方法）． 【答案】（1）11；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的有关计算、特殊角三角函数值、负指数和用配方法解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值，准确应用法则进行计算，掌握配方法解方程的一般步骤是解题关键． （1）先利用特殊角函数值，算术平方根，负整数指数幂化简，再合并，即可求解； （2）先将方程的两边同时加上9，再开平方，即可求解． 【详解】解：（1）， （2）， 变形得：， ∴， 即， ∴， 解得：． 18. 某中学开展演讲比赛活动，八（1）、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）据图填写表格； 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 八（1） 85 85 70 八（2） 85 80 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数、方差，分析哪个班级的复赛成绩较好？ （3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些，说明理由． 【答案】（1） 填表如下： 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 八（1） 85 85 85 70 八（2） 85 80 100 160 （2）八（1）班的复赛成绩较好 （3） 八（2）班的实力更强一些，理由如下： ∵八（1）班、八（2）班前两名选手的平均分分别为分，分， ∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，八（2）班的实力更强一些． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数与方差等统计的基本概念以及运用有关统计量作出决策，属于基本题型，熟练掌握统计的基本知识是解题关键． （1）先根据统计图写出八（1）班与班（2）班5名学生的成绩，然后根据中位数、众数和方差的定义依次计算即可； （2）根据（1）题中的结果即可得出结论； （3）分别计算两个班前2名选手的平均数即可得出结论． 【小问1详解】 解：八（1）班的成绩按从小到大的顺序排列为75分、80分、85分、85分、100分， ∴八（1）班的中位数是85分； 八（2）班的成绩为：70分、100分、100分、75分、80分，出现次数最多的是100分， ∴八（2）班的成绩的众数是100分， 八（2）班的方差为； 【小问2详解】 解：两个班级的平均分相同，但是八（1）班的中位数比八（2）班的中位数大，且八（1）班的方差比八（2）班的小，故八（1）班的复赛成绩较好； 【小问3详解】 解：略． 19. 小明在学完物理电学知识后，进行灯泡点亮实验，他设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮． （1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能被点亮的概率是 ； （2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能被点亮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小灯泡能被点亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能被点亮时，只能是闭合这种情形， ∴小灯泡能被点亮的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能被点亮的结果数有（，）4种， ∴小灯泡能被点亮的概率为． 20. 有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 21. 如图，在矩形中，E是的中点，F是上的一点，． （1）求证：与相似； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，求角的正弦值，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再证明，则可证明，进而推出，进一步可得，据此可证明结论； （2）由矩形的性质和线段中点的定义得到，由相似三角形的性质求出，进而求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义可得答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 超市经营一种新文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． （1）写出超市销售这种文具，每天净利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）超市营销部结合实际情况，提出了每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元的营销方案，求该方案销售单价为多少元时，每天的净利润最大？最大是多少元？ 【答案】（1）（） （2）销售单价为40元时，每天的净利润最大，最大是1550元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键。 （1）根据题意可得每件文具的利润为元，销售量为件，根据每天的净利润等于每件文具的利润乘以销售量，再减去每天的固定开销列式求解即可； （2）根据每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元列出不等式组求出x的取值范围，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， （）； 【小问2详解】 解：∵每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元， ∴， 解得， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：销售单价为40元时，每天的净利润最大，最大是1550元． 23. 如图，已知中，半径，点B在外，点C在上，连接交于点D． （1）在①②③中，选择一个作为条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明． ①，②与相切，③． 你选择的是 为条件， 为结论． 证明： （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） 解：选择①为条件，② 与相切为结论． 证明：连接， ∵， ， ∵， ∴， ∵半径， ∴， ∴， ∴半径， ∴与相切； 证明：选择①为条件，③为结论； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 选择②与相切为条件，①为条件为结论． 证明：连接， ∵与相切， ∴半径， ∴， ∵半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择③为条件，①为结论； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵； 选择②与相切为条件，③为结论； 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即； 选择③为条件，②与相切为结论； 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴与相切， （2） 【解析】 【分析】（1）选择①为条件，②与相切为结论或选择①为条件，③为结论或选择②与相切为条件，①为结论或选择③为条件，①为结论或选择②与相切为条件，③为结论或选择③为条件，②与相切为结论，结合切线的判定和性质，等腰三角形的性质，即可得到结论； （2）过点B、O分别作的垂线，垂足分别为E、F，设，则，证明，推出， ，利用勾股定理求得，再利用三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点B、O分别作的垂线，垂足分别为E、F，则，如图： ∵， ∴可设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即① ∵，， ∴， ∴， ∴② 由①②得：， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据相似三角形的性质结合勾股定理列出方程． 24. 综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C． （1）若点C的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标； （2）设，经过B，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最小值？ 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式以及二次函数的性质是本题解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②先求出所在直线的表达式，设P点坐标，从而求得D和E的坐标，最后根据的值求解P的坐标即可； （2）写出要求二次函数的对称轴，根据A，B的坐标，求出a和b的关系，从而得到a和c的关系，最后根据直线经过B，C，求出m和c的关系，代入要求的二次函数对称轴中，即可求解． 【小问1详解】 解：①将A，B，C三点坐标，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； ②设所在直线的表达式为：， ， 解得：， ∴所在直线的表达式为， 设，则，且， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点P的横坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线过两点， ∴该抛物线的对称轴为直线， ，即， ， 当时，函数取最小值， ∵直线过两点， ， ， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，函数取最小值． 26. 如图，是的直径，直线l是的切线，B为切点，P是圆上位于直径的右侧一点（不与点A重合），作射线交直线l于点C． （1）【初步感知】 如图1，当，长为时，求的长； （2）【拓展应用】 ①在图2中用圆规和无刻度的直尺在射线上求作一点D，使（两种工具分别只限使用一次，保留作图痕迹）； ②在①的条件下连接交圆于点Q，，求的值； （3）【素养提升】 如图3，当时，连接，直接写出的值． 【答案】（1） （2） ①如图，点D即为所求； 理由：连接， 由作法得：， ∴， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，根据弧长公式可得，从而得到，再结合切线的性质，直角三角形的性质解答即可； （2）①以点P为圆心，长为半径画弧交另一点于，作射线交直线l于点D，即可；②过点C作于点F，连接，设，则，根据角平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合锐角三角函数可得，，即可求解； （3）连接，则，证明，可得，再由，可得，再由，可得，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∵长为， ∴，解得：， 即， ∴， ∵直线l是的切线，B为切点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略 ① ②如图，过点C作于点F，连接， ∵是的直径， ∴， 设，则， ∵直线l是的切线，B为切点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰兴市实验初中教育集团九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 所在平面内有一点P，若，半径为5，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 2. 体育课上，体育委员记录了6位同学在25秒内连续垫排球的情况，6位同学连续垫球的个数分别为30、27、32、30、28、34，则这组数据的众数和极差分别是（ ） A. 33，7 B. 32，4 C. 30，4 D. 30，7 3. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是(     ) A. m≥﹣1 B. m＞﹣1 C. m≤﹣1且m≠0 D. m≥﹣1且m≠0 4. 如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（ ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 一元二次方程的根是_____. 8. 如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成， 一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为_____________． 9. 已知一个圆锥形纸帽的母线长为6，底面圆的半径为2，则纸帽的侧面积为_____． 10. 如图，已知，若，，则_____． 11. 如图，已知抛物线经过点，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在和之间．你确定的b的值是_________． 12. 如图，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影，设桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡与桌面的距离，地面上形成的阴影的面积为______（保留π）． 13. 如图，是内接正六边形的一边，点C在上，且是内接正二十四边形的一边，若是内接正n边形的一边，则_____． 14. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为_____． 15. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，是半圆O的切线，的延长线分别交于点E、D，已知，则_____． 16. 如图，是的弦，是的切线，过点B作，垂足为H，若的最大值为1，则的半径为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. （1）计算：； （2）解方程：（用配方法）． 18. 某中学开展演讲比赛活动，八（1）、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）据图填写表格； 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 八（1） 85 85 70 八（2） 85 80 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数、方差，分析哪个班级的复赛成绩较好？ （3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些，说明理由． 19. 小明在学完物理电学知识后，进行灯泡点亮实验，他设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮． （1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能被点亮的概率是 ； （2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能被点亮的概率． 20. 有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 21. 如图，在矩形中，E是的中点，F是上的一点，． （1）求证：与相似； （2）若，求． 22. 超市经营一种新文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． （1）写出超市销售这种文具，每天净利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）超市营销部结合实际情况，提出了每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元的营销方案，求该方案销售单价为多少元时，每天的净利润最大？最大是多少元？ 23. 如图，已知中，半径，点B在外，点C在上，连接交于点D． （1）在①②③中，选择一个作为条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明． ①，②与相切，③． 你选择的是 为条件， 为结论． 证明： （2）在（1）的条件下，若，求的值． 24. 综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C． （1）若点C的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标； （2）设，经过B，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最小值？ 26. 如图，是的直径，直线l是的切线，B为切点，P是圆上位于直径的右侧一点（不与点A重合），作射线交直线l于点C． （1）【初步感知】 如图1，当，长为时，求的长； （2）【拓展应用】 ①在图2中用圆规和无刻度的直尺在射线上求作一点D，使（两种工具分别只限使用一次，保留作图痕迹）； ②在①的条件下连接交圆于点Q，，求的值； （3）【素养提升】 如图3，当时，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $