第2章 反比例函数 单元自测· 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第2章 反比例函数·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．对同一传感器进行标定，记录的两组数据为时、时。在“与成反比例”这一模型下，下列预测正确的是（　　） A．时 B．时 C．时 D．时 【答案】B 【分析】由两组记录分别得到，所以应使用。 【详解】两组记录都满足，故；当时，。 【易错提醒】不能把“自变量增加多少”误用为“函数值减少多少”。 2．（改编自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第2题）检验反比例函数时，四个操作中正确的是（　　） A．把原点作为描点之一 B．取，计算得到 C．用点检查表达式 D．将第二象限的图象画成从左到右下降 【答案】C 【分析】代入检验时必须同时检查自变量是否在定义域内。 【详解】不在定义域内；时，所以点在图象上；时，且第二象限内函数值随自变量增大而增大。 【易错提醒】反比例函数的图象不经过原点。 3．（选自2024·南京建邺期末公开重排版第2题）点、、均在函数的图象上，其中为实数。下列排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，分别反求三个横坐标。 【详解】令，则、、，故。 【易错提醒】比较负比例系数对应的横坐标时，不可忽略分母的正负。 4．（改编自2025·南京中考公开重排版第14题）已知反比例函数，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将比值转为，再利用正数平方的范围。 【详解】由，得，所以，且时取等号。 【易错提醒】所求是，不是的最小值。 5．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）设点、在函数的图象上，且。则的范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比例系数恒正；同支上函数递减，而逆序只能来自跨过纵轴。 【详解】若和同号，由得，不合题意；故，即。此时，充分性成立。 【易错提醒】不能把每个象限内递减推广到全定义域。 6．（改编自2026·徐州中考公开重排版第18题）如图，第一象限内同一条射线分别交、于、，过作轴的垂线、过作轴的垂线，两垂线交于。则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点在同一条射线上，坐标同比例，且两个乘积之比为四。 【详解】设，则，同射线上的满足。于是，。 【易错提醒】从乘积之比得到的是比例的平方。 7．（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第17题）横、纵坐标都是正整数且不超过的点中，落在双曲线上的点共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】把图象条件化为两个受限正整数之积等于十二。 【详解】满足且的有、、、，共个。 【易错提醒】点是有序数对，交换横纵坐标一般得到另一个点。 8．（改编自2025·扬州梅岭期中公开重排版第16题）如图，平行四边形的是原点，在轴正半轴，在第一象限，在上，且。若在上，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等腰条件使的投影是中点，再用平行四边形坐标平移。 【详解】设，其中且。由，到等距，故。平行四边形给出，所以。 【易错提醒】的长度是的横坐标的两倍，不是的横坐标。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．反比例函数同时经过和。则________。 【答案】 【分析】两点坐标乘积相等给出的线性方程，再检验非零。 【详解】由，得，符合；所以。 【易错提醒】两个点中的出现在不同坐标位置，不能把它们当作同一个横坐标。 10．点在双曲线上。将其横坐标乘、纵坐标乘得到点。过点的反比例函数表达式为________。 【答案】 【分析】先记录的值，再求变换后两个坐标的乘积。 【详解】由，得。因此点在上；均非零，变换后的横坐标也非零。 【易错提醒】横纵坐标变换的两个倍数必须同时作用于比例系数。 11．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第5题）函数的图象与直线交于，且，则________。 【答案】 【分析】交点坐标互为相反数，且每点的横纵坐标相等。 【详解】设第一象限的交点为，其中。另一点，所以，得，从而。 【易错提醒】是两个对称点间的距离，不能把当成。 12．（改编自2026·南京中考回忆版公开重排版第10题）一定质量气体的压强（）与体积（）成反比例。时。体积减小后，压强比原来增大________。 【答案】 【分析】先算变化后的体积，再用乘积不变量求压强增量。 【详解】体积变为，而不变，故新压强为，比原来增大。 【易错提醒】体积减少不表示压强增加。 13．（改编自2024·无锡金桥零模公开重排版第18题）如图，正方形的在轴上，，在的右侧，双曲线（）过且交于。则________。 【答案】 【分析】先由偏离原点的正方形确定和的横坐标。 【详解】，所以、。由在图象上得，因此，故。 【易错提醒】正方形左下角不是原点，不能把右侧横坐标写成边长。 14．（改编自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第18题）如图，在第一象限的上，轴，在的右侧；轴于，交于，且。则________。 【答案】 【分析】先由水平距离确定的横坐标，再用共线比例确定的高度。 【详解】设，则，。直线在横坐标处的纵坐标为，所以、，比值为。 【易错提醒】是上方余段，不是点到轴的距离。 15．（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第23题）在第一象限，点位于上。过向两坐标轴作垂线，所得矩形的周长与面积数值相等，则点的所有坐标为________。 【答案】或 【分析】将面积和周长关系化为两个正数的和与积。 【详解】，且，所以。是方程的两根，即。故或。 【易错提醒】横纵坐标有顺序，两个对调的位置都要列出。 16．点、在同一反比例函数图象上，为中点。过的反比例函数为，则________。 【答案】 【分析】先求中点坐标，再比较中点与端点的坐标乘积。 【详解】，所以，。 【易错提醒】一条曲线上的两点的中点一般不在该曲线上。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第10题）已知是反比例函数，且在每个象限内，随增大而增大。 （1）求及函数表达式； （2）若图象上的点到轴距离为，求所有符合条件的坐标。 【答案】，；或。 【分析】反比例函数要求指数为负一，增减性再筛选比例系数的符号。 【详解】（1）由，得或。递增要求，故，函数为，定义域。 （2）到轴的距离为，故或，对应或。故两点为、。 【易错提醒】指数条件求出两个参数后，仍须检查系数非零及符号；距离条件有正负两侧。 【评分标准】（3分）由指数及符号筛选并写表达式。 （2分）列出正负横坐标对应的两个点。 18．（5分）（选自2026·盐城中考公开重排版第21题）在第一象限内画出。直线与图象交于，直线与图象交于。 （1）求直线表达式； （2）直接写出在时的解集。 【答案】；或。 【分析】分别用竖直与水平截线确定两点，再按交点分段比较。 【详解】（1）、，设，由、，解得、。 （2）在时，两边同乘，得，即。结合定义域，解集为或。 【易错提醒】写解集时保留，不能写成而混入负支。 【评分标准】（3分）求、坐标及直线表达式。 （2分）写出分段解集并限定正支。 19．（6分）同学在求不等式的解集时，直接两边乘，得到，进而写出。 （1）指出其中错误； （2）求原不等式的正确解集。 【答案】或。 【分析】乘以未知符号的分母必须分类，且零不在定义域内。 【详解】（1）没有按、分类；也被错误收入了解集。 （2）当时，得，故。当时，不等号改变方向，得，结合得。所以解集为或。 【易错提醒】不能在全定义域直接乘保持不等号不变。 【评分标准】（2分）指出分母符号及两处遗漏。 （4分）分类求解并合并正确范围。 20．（6分）（改编自2026·宿迁中考公开重排版第16题）小孔成像实验保持物体高度及小孔到光屏距离不变，像高（）与物距（）成反比例。当物距为时，像高为。 （1）求关于的关系式并写实际定义域； （2）调节装置要求像高不小于且不大于，求允许的物距范围。 【答案】（）；。 【分析】由标定点求乘积，用正支反比例关系反解双边限制。 【详解】（1）设，由，得，实际定义域为。 （2）由得；由得。允许物距为至，含两端。 【易错提醒】像高越大，物距越小，两个端点要对应反向。 【评分标准】（2分）求出乘积常数。 （1分）给出定义域。 （3分）正确处理像高双边限制及单位。 21．（6分）（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第14题）光学活动中用模型描述镜片度数（度）与焦距（）的关系。某镜片度数为度时，焦距为。 （1）求，并求焦距对应的度数； （2）若要求模型中的度数在度至度之间（含两端），求焦距的范围。 【答案】，度；。 【分析】先由一组数值标定常数，再在正定义域内反求不等式。 【详解】（1），故。当时，度。 （2）在时，等价于，即，单位为。 【易错提醒】不要把焦距增大米理解为度数减少固定的相同量。 【评分标准】（3分）标定并算出度。 （3分）反解双边范围且注明单位。 22．（8分）（选自2025·扬州梅岭期中公开重排版第26题）点在正比例函数上，且纵坐标为；第一象限内的点与在同一反比例函数图象上。过作轴交轴于，已知且。 （1）求反比例函数表达式； （2）求的坐标和直线表达式。 【答案】；，。 【分析】的横坐标固定；把的平方写出，纵坐标差项可消去。 【详解】（1）由，得，所以，反比例函数为。 （2）设，，则。由，得，所以。 解得或，不在定义域，故。设直线为，代入两点得、。 【易错提醒】解方程得到后必须用反比例定义域排除。 【评分标准】（3分）求出及反比例表达式。 （3分）等距条件消元，筛得。 （2分）求直线表达式。 23．（8分）（选自2025·苏州高新区一模公开重排版第20题）一次函数图象与某反比例函数在第二象限交于。已知到原点的距离为、到轴的距离为，点的纵坐标为。 （1）求两函数表达式； （2）将该直线向下平移个单位，使新直线经过关于原点的对称点，求及四边形的面积。 【答案】，；，面积。 【分析】先确定的象限符号，再利用中心对称得到新截距及平行四边形面积。 【详解】（1）在第二象限，所以。由得，即。比例系数为。的纵坐标为，故。由两点得一次函数为。 （2）、，直线为，所以。 令直线交轴于。在第二象限内，。四边形的两对角线、交于且互相平分，所以四个以为顶点的小三角形面积相等，各为，总面积为。 【易错提醒】向下平移距离取两个截距的正差；顶点按顺序连接。 【评分标准】（4分）确定象限坐标及两个函数。 （2分）求出平移距离。 （2分）利用对称或剪补得面积。 24．（8分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第19题）已知、是直线与双曲线的两个交点。作轴于，作轴于。 （1）求直线表达式及； （2）点在线段上，若，求坐标； （3）求这两个相等的面积。 【答案】，；；各面积。 【分析】两三角形分别以竖线和横线为底，把高度写成的坐标。 【详解】（1）由得。两点斜率为，直线为。 （2）设，其中。，。故；。 由，得，纵坐标为。 （3）各面积为。 【易错提醒】先限定在线段内，再确定绝对值的符号，不能把点的纵坐标直接当作到的距离。 【评分标准】（2分）求直线及比例系数。 （4分）列两面积并解出线段内。 （2分）给出面积并核验非退化。 25．（10分）（改编自2024·南京科利华三模公开重排版第21题）如图，矩形中，，，，是中点。双曲线过且交于。 （1）求双曲线及直线的表达式； （2）点在轴上，求周长最小时的坐标及最小周长。 【答案】，；，最小周长。 【分析】固定，只需用轴对称展开求的最小值。 【详解】（1），故，双曲线为。由得，所以直线为。 （2）把关于轴对称得。对轴上的，有，故，当且仅当在线段上取等号。 直线为，与轴相交于，交点在线段内。，。故最小周长为。 【易错提醒】周长还须加上不变的，不可只写。 【评分标准】（4分）求、及两函数。 （3分）反射展开并确定取等号点。 （3分）求与最小周长。 26．（10分）（改编自2026·无锡中考公开重排版第27题）如图，，其中。过作竖线交于，作横线交于；再过作竖线交于。延长、交于。 （1）用表示坐标； （2）求坐标，并判断是否总在轴上； （3）移动时，面积是否为定值？说明理由。 【答案】，，；；面积恒为。 【分析】用乘积逐点生成坐标，再求两条截线交点，三角形以竖直为底。 【详解】（1）由各点所在曲线与水平、竖直关系，，，。 （2）直线为；直线为。联立得、，所以总在轴正半轴。 （3），到竖线的距离为。因此，与无关。 【易错提醒】是竖直线段，面积的高须取水平距离，不能取。 【评分标准】（3分）用正确表示三个生成点。 （4分）求两直线及坐标。 （3分）用竖底与水平高证明面积恒。 27．（10分）在双曲线的第一象限分支上，取、，其中。以为一组对顶点、各边平行于坐标轴作四边形。 （1）证明是正方形，并用表示面积； （2）若面积为，求及对角线长； （3）若改为，正方形面积有无最小值？若有，求最小值及取等号时的。 【答案】（1）面积；（2），；（3）有，最小值，。 【分析】先利用坐标互换得到两邻边相等，再用正差及比较差值处理最小值。 【详解】（1）另外两顶点为、。四个角均为直角，两邻边长均为，所以是正方形，面积为。 （2）面积为且边长为正，故，即。由得，负根舍去。边长为，对角线。 （3）当，有，且同时取等号当且仅当。所以面积最小值为。 【易错提醒】先由的范围判定边长为正，再开平方；不要把负根带入几何图形。 【评分标准】（3分）坐标互换证明正方形并列面积。 （4分）解面积方程、筛根及求对角线。 （3分）利用给下界和可达条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 反比例函数·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．对同一传感器进行标定，记录的两组数据为时、时。在“与成反比例”这一模型下，下列预测正确的是（　　） A．时 B．时 C．时 D．时 2．（改编自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第2题）检验反比例函数时，四个操作中正确的是（　　） A．把原点作为描点之一 B．取，计算得到 C．用点检查表达式 D．将第二象限的图象画成从左到右下降 3．（选自2024·南京建邺期末公开重排版第2题）点、、均在函数的图象上，其中为实数。下列排列正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2025·南京中考公开重排版第14题）已知反比例函数，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）设点、在函数的图象上，且。则的范围为（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2026·徐州中考公开重排版第18题）如图，第一象限内同一条射线分别交、于、，过作轴的垂线、过作轴的垂线，两垂线交于。则的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第17题）横、纵坐标都是正整数且不超过的点中，落在双曲线上的点共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（改编自2025·扬州梅岭期中公开重排版第16题）如图，平行四边形的是原点，在轴正半轴，在第一象限，在上，且。若在上，则为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．反比例函数同时经过和。则________。 10．点在双曲线上。将其横坐标乘、纵坐标乘得到点。过点的反比例函数表达式为________。 11．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第5题）函数的图象与直线交于，且，则________。 12．（改编自2026·南京中考回忆版公开重排版第10题）一定质量气体的压强（）与体积（）成反比例。时。体积减小后，压强比原来增大________。 13．（改编自2024·无锡金桥零模公开重排版第18题）如图，正方形的在轴上，，在的右侧，双曲线（）过且交于。则________。 14．（改编自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第18题）如图，在第一象限的上，轴，在的右侧；轴于，交于，且。则________。 15．（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第23题）在第一象限，点位于上。过向两坐标轴作垂线，所得矩形的周长与面积数值相等，则点的所有坐标为________。 16．点、在同一反比例函数图象上，为中点。过的反比例函数为，则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第10题）已知是反比例函数，且在每个象限内，随增大而增大。 （1）求及函数表达式； （2）若图象上的点到轴距离为，求所有符合条件的坐标。 18．（5分）（选自2026·盐城中考公开重排版第21题）在第一象限内画出。直线与图象交于，直线与图象交于。 （1）求直线表达式； （2）直接写出在时的解集。 19．（6分）同学在求不等式的解集时，直接两边乘，得到，进而写出。 （1）指出其中错误； （2）求原不等式的正确解集。 20．（6分）（改编自2026·宿迁中考公开重排版第16题）小孔成像实验保持物体高度及小孔到光屏距离不变，像高（）与物距（）成反比例。当物距为时，像高为。 （1）求关于的关系式并写实际定义域； （2）调节装置要求像高不小于且不大于，求允许的物距范围。 21．（6分）（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第14题）光学活动中用模型描述镜片度数（度）与焦距（）的关系。某镜片度数为度时，焦距为。 （1）求，并求焦距对应的度数； （2）若要求模型中的度数在度至度之间（含两端），求焦距的范围。 22．（8分）（选自2025·扬州梅岭期中公开重排版第26题）点在正比例函数上，且纵坐标为；第一象限内的点与在同一反比例函数图象上。过作轴交轴于，已知且。 （1）求反比例函数表达式； （2）求的坐标和直线表达式。 23．（8分）（选自2025·苏州高新区一模公开重排版第20题）一次函数图象与某反比例函数在第二象限交于。已知到原点的距离为、到轴的距离为，点的纵坐标为。 （1）求两函数表达式； （2）将该直线向下平移个单位，使新直线经过关于原点的对称点，求及四边形的面积。 24．（8分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第19题）已知、是直线与双曲线的两个交点。作轴于，作轴于。 （1）求直线表达式及； （2）点在线段上，若，求坐标； （3）求这两个相等的面积。 25．（10分）（改编自2024·南京科利华三模公开重排版第21题）如图，矩形中，，，，是中点。双曲线过且交于。 （1）求双曲线及直线的表达式； （2）点在轴上，求周长最小时的坐标及最小周长。 26．（10分）（改编自2026·无锡中考公开重排版第27题）如图，，其中。过作竖线交于，作横线交于；再过作竖线交于。延长、交于。 （1）用表示坐标； （2）求坐标，并判断是否总在轴上； （3）移动时，面积是否为定值？说明理由。 27．（10分）在双曲线的第一象限分支上，取、，其中。以为一组对顶点、各边平行于坐标轴作四边形。 （1）证明是正方形，并用表示面积； （2）若面积为，求及对角线长； （3）若改为，正方形面积有无最小值？若有，求最小值及取等号时的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $