第1章 反比例函数（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 新教材苏科版九年级反比例函数单元拔尖卷，23题覆盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（7题72分），知识覆盖全面，选题有深度，可量化学生掌握程度，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图像性质、与一次函数综合|结合坐标变换（如第1题对称点）、演绎点概念（第4题），体现抽象能力与推理意识| |填空题|6/18|几何图形与函数结合|含对称（第11题）、等腰直角三角形（第13题），培养几何直观与空间观念| |解答题|7/72|实际应用、综合探究|如第20题消毒含药量模型（模型意识）、第23题平行四边形存在性问题（创新意识），注重运算能力与应用意识|

第1章 反比例函数·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 2．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建三明·月考）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 6．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，），则下列说法中不正确的是（    ） A．当水箱未装水（）时，压强p为 B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为 C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是 D．若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 7．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 8．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 12．（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 13．（2026·陕西西安·一模）如图点，在反比例函数的图象上，若是以为直角的等腰直角三角形，则的值为______． 14．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 15．（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 16．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，则的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·贵州遵义·一模）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)连接，求的面积． 18．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 19．（10分）（25-26九年级下·河南郑州·月考）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 20．（10分）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 21．（12分）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 22．（12分）如图所示，直线y=ax+b （a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， 与反比例函数y=（x<0）交于点C，且B为线段AC的中点．向上平移直线AB与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形BDCE为平行四边形． (1)若a=，b=1， 则点C的坐标为　　　；反比例函数的表达式为　　　； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线DF的函数表达式； (3)当□BDCE的面积等于18时，求的值． 23．（14分）（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，熟练掌握性质是解题的关键． 利用点在双曲线上得，然后求点关于轴的对称点，代入另一双曲线得，计算值即可． 【详解】解：∵点 在上， ∴ ∵点关于轴的对称点在双曲线上， ∴，代入得： ， ∴， ∴． 故选：D． 2．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象和反比例函数图象经过的象限分别求出一次函数的解析式中k的符号和反比例函数的解析式中k的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者一致，符合题意； 3．（24-25九年级上·福建三明·月考）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 6．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，），则下列说法中不正确的是（    ） A．当水箱未装水（）时，压强p为 B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为 C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是 D．若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】D 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：A． 由图得：当时，，故此项说法正确； B． 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，，解得，故此项说法正确； C． 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有， ，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D． 当报警器刚好开始报警时：， ， 当时，， ，， ，故此项说法错误． 故选：D． 7．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． 8．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，利用旋转性质证明，得出对应边相等，结合反比例函数坐标特征建立关于的方程求解. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点、在反比例函数图象上，且纵坐标分别为、， ，， ，， ，， 设点坐标为， ， ， 由图可知点在点左侧，点在点右侧， ，， 两式相加得， 解得. 10．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．连接，令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，可知，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，即可判断①，，进而求得，即可判断②；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④． 【详解】解：连接，令与轴，轴分别交于，， 联立，整理得， 解得：，， 则，， ∴， 则， ∴， ∵直线与双曲线的另一个交点为C， 则点与点关于原点对称， ∴，故①正确； 则， ∵， ∴， ∴为直角三角形，故②正确； 对于直线，当时，，当时，，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由三角形外角可知，， ∴一定不是等腰直角三角形，故③不正确； ∵，， ∴ ， 由， ∴， 则， 当时，关于的方程都有解， ∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 12．（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知，反比例函数图象在第二、四象限，系数小于0，即可得解． 【详解】解：在反比例函数中，当时，， ∴， ∴ ． 13．（2026·陕西西安·一模）如图点，在反比例函数的图象上，若是以为直角的等腰直角三角形，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质． 过点作轴于点，过点作于点，根据等腰直角三角形和直角三角形的性质证明，根据点在反比例函数的图象上，设，根据全等三角形对应边相等列方程并解方程得到和的值，进而得到的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， 如图，过点作轴于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，即， ∴，， ∴可列方程，解得：， ∵， ∴取，即. 14．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， ， 设点在双曲线上，点的横坐标为，当时，， ， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，如图所示： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，， ， ，， ， 依题意， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，则的面积为______． 【答案】/ 【分析】过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q，设点，先证明，得出，，再根据反比例函数图象上的点特征得出，从而得出为等腰直角三角形，得出，根据三角形的面积公式得出，根据在反比例函数图形上，得出，求出的值，进而求出点的坐标，求出直线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q． 设点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则， ∴， 同理可得：， ∴，， 则， ∴， ∵点C，D恰好都落在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，则，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，则，， ∴， ∵， ∴， ∵在反比例函数图形上， ∴， 联立得：， 解得：． ∴，，，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 令， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的运算等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形对应边相等． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·贵州遵义·一模）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数，求得k的值，即可得反比例函数的解析式；将点B的坐标代入一次函数，即可求得m的值； （2）先求得一次函数与x轴、y轴的交点，然后根据三角形面积的和差解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得 ∴反比例函数解析式为； 将点代入，得 解得． （2）解：如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点，， 对于，令，则；令，， ∴，， ∴，， ∵，， ． 18．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用反比例函数的性质解答即可求解； （）求出点的坐标，即得到线段的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ∴，， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 19．（10分）（25-26九年级下·河南郑州·月考）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】（1）设第二象限的图象上任一点为，设其关于直线对称的点为，得出，，则可得，即可得出的关系式，再描点画图即可； （2）先求出点C的坐标，同（1）的方法求出的关系式，再代入点C的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴，即， ∴的关系式为； 列表得 x 1 2 4 y 4 3 1 描点作图得其图象如图： （2）解：∵，两点，点是线段的中点， ∴，即， 设第二象限的图象上任一点为， 则，即， 设其关于直线对称的点为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的关系式为， 将代入，得， 解得． 20．（10分）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 21．（12分）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 22．（12分）如图所示，直线y=ax+b （a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， 与反比例函数y=（x<0）交于点C，且B为线段AC的中点．向上平移直线AB与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形BDCE为平行四边形． (1)若a=，b=1， 则点C的坐标为　　　；反比例函数的表达式为　　　； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线DF的函数表达式； (3)当□BDCE的面积等于18时，求的值． 【答案】(1)(-2，2)，y= (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定A（2，0），B（0，1），利用中点坐标公式确定点C（-2，2），代入反比例函数y=（x<0）确定k值即可． (2)利用平移的思想，借助反比例函数的解析式，确定点D的坐标，根据平行的直线的k值相等，设解析式求解即可． (3) 过点C作CM⊥x轴，垂足为M，根据平行四边形DCEB的面积等于△CEB面积的2倍，根据点B是AC的中点，得到△CEA的面积等于△CEB面积的2倍，从而把平行四边形的面积转化为△CEA，建立等式计算即可． 【详解】（1）因为a=，b=1， 所以直线的解析式为， 当y=0时，， 解得x=2， 故A（2，0）； 当x=0时，y=1， 故B（0，1）， 因为点B是AC的中点， 所以点C（-2，2）， 因为反比例函数y=（x<0）经过点C， 所以， 解得k=-4， 故反比例函数的表达式为y=． 故答案为：(-2，2)，y=． （2）因为点C（-2，2），点B（0，1），点E纵坐标为0，且四边形DCEB是平行四边形， 故将线段DC向下平移2个单位，点D平移到点B，点C平移到点E， 所以点D的纵坐标为3，当y=3时，x=， 故点D（，3）． 因为向上平移直线AB得到的直线DF， 故设直线DF的解析式是， 所以， 解得， 故DF的解析式为． （3）过点C作CM⊥x轴，垂足为M， 因为平行四边形DCEB的面积等于△CEB面积的2倍，点B是AC的中点， 所以△CEA的面积等于△CEB面积的2倍， 所以平行四边形DCEB的面积等于△CEA的面积， 因为直线y=ax+b （a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， 确定A（，0），B（0，b），点C（，2b）， 所以点C向下平移2b个单位，向右平移m个单位长度得到点E，故点B向上平移2b个单位长度，向左平移m个单位长度得到点D，所以定D的纵坐标为3b， 所以点D横坐标为，解得， 故m=， 故，所以AE= ， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式，反比例函数的性质，平移的规律，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法，平移的规律是解题的关键． 23．（14分）（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $