第2章 反比例函数 单元自测 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第2章 反比例函数·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．若是反比例函数，则符合条件的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．无数个 2．（选自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第1题）关于的方程没有实数根。点、在上，且。则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（改编自2025·南京中考公开重排版第14题）已知，其中。对于任意满足的，都有。则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）在上有、两点。若，则的范围是（　　） A．或 B． C． D． 5．（改编自2025·南京联合体第一次月考公开重排版第12题）如图，菱形中为原点，在轴正半轴，第一象限的在直线上。若菱形面积为，且在上，则为（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第16题）如图，菱形的两条对角线交于原点，，边交轴于。若在的第一象限分支上，则为（　　） A． B． C． D． 7．若正整数使得双曲线在第一象限的直线上恰有两个不同的整点，则这样的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 8．直线与双曲线交于。当为何值时，最短（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．设，点、均在上。若，则符合条件的实数________（填“存在”或“不存在”）。 10．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）点、在上，且，则________。 11．点在的第一象限分支上，且。则所有符合条件的坐标为________。 12．（改编自2025·常州前黄一模公开重排版第28题）双曲线经过、，直线与轴交于。则________。 13．第一象限内两点、在上，且、。则________。 14．（改编自2024·苏州中考公开重排版第7题）已知在第二象限的上，在第一象限的上，且。则________。 15．矩形区域由、确定，边界也属于该区域。双曲线在这个区域内至少有一点的充要条件是________。 16．点、在同一反比例函数的第四象限分支上，且。则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京建邺期末公开重排版第14题）一次函数与反比例函数的图象都经过点。 （1）求； （2）求两函数值之积不大于时的范围。 18．（5分）已知反比例函数在上取到的全部函数值恰为。 （1）求； （2）在同一函数中，若，求的全部范围。 19．（6分）（改编自2025·常州前黄一模公开重排版第28题）直线与的图象交于、。将该直线向上平移个单位后，交双曲线于第二象限的和第四象限的，其中。若的横坐标等于横坐标绝对值的倍，求。 20．（6分）（改编自2026·南京中考回忆版公开重排版第10题）一定质量气体在给定实验条件下，压强（）与体积（）成反比例。记录时。 （1）写出关于的表达式及定义域； （2）体积从增到与从增到，压强分别减少多少？哪一次减少较多？ （3）对任意，比较体积从增到、再从增到的两次压强减少量。 21．（6分）反比例函数满足：对每一个，对应函数值都有。 （1）求的全部可行范围； （2）若再要求图象经过点，该附加要求能否满足？说明理由。 22．（8分）（改编自2025·苏州吴中吴江相城二模公开重排版第4题）点在的第二象限分支上，直线交另一分支于。以为底边作等腰三角形，其中在第一象限，。 （1）证明点始终在同一反比例函数图象上，并求该函数； （2）求的最小值以及此时的坐标。 23．（8分）双曲线在第一象限经过、。点沿之间的双曲线移动，允许与端点重合。 （1）若，求坐标； （2）设两面积之和为，求的最小值，并写出取等号位置； （3）有无最大值？若有，求最大值。 24．（8分）（改编自2025·扬州梅岭期中公开重排版第25题）在平面直角坐标系中，，点，双曲线过且与直线交于另一点。过作水平线交线段于，其中。 （1）求直线及坐标； （2）证明位于的左侧或与重合； （3）连接，求的面积最大值及对应的坐标。 25．（10分）（改编自2025·南京六十六中一模练习公开重排版第2题）点在第一象限，。将线段绕原点顺时针旋转后，再将长度扩大为原来的倍，得到线段。 （1）求坐标及其所在的反比例函数； （2）若，求的最小值、最大值及各自取等号的。 26．（10分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第23题）点位于第一象限的上，。过向坐标轴作垂线得到矩形，要求矩形面积数值等于周长数值的倍。 （1）若，求所有满足要求的； （2）随着变化，满足要求的可能有个、个、个。分别求对应的范围，并说明理由。 27．（10分）在第一象限的双曲线上，寻找两个不重合的点，使它们的中点为给定点。 （1）当时，这样的两点是否存在？说明理由； （2）当时，求所有符合条件的无序点对； （3）若，其中，证明这样的两点存在的充要条件为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 反比例函数·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．若是反比例函数，则符合条件的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【分析】先由指数条件确定候选值，再检验比例系数是否为零。 【详解】反比例函数要求，得；但此时，不符合比例系数非零的条件，所以不存在符合条件的。 【易错提醒】只检查指数为会误收系数为零的退化情形。 2．（选自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第1题）关于的方程没有实数根。点、在上，且。则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由判别式严格小于零确定为负数，再应用同支增减性。 【详解】，所以。负比例系数的函数在第二象限随增大而增大，故。 【易错提醒】没有实数根对应严格小于零，而不是小于等于零。 3．（改编自2025·南京中考公开重排版第14题）已知，其中。对于任意满足的，都有。则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出给定区间内比值的最小位置，并检验端点可取。 【详解】在内最小为。要求对所有成立，等价于，即，最小为。 【易错提醒】“对任意”不能只代入一个方便的内部点。 4．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）在上有、两点。若，则的范围是（　　） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】分子恒正，纵坐标积的符号由两个横坐标积决定。 【详解】，所以，得。两个端点均使某横坐标为零，不能取。 【易错提醒】不能只要求小于，另一横坐标也须为正。 5．（改编自2025·南京联合体第一次月考公开重排版第12题）如图，菱形中为原点，在轴正半轴，第一象限的在直线上。若菱形面积为，且在上，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，菱形边长确定，面积先求平方。 【详解】设，，则。面积为，得。所以，。 【易错提醒】菱形不是坐标轴边的正方形，不等于。 6．（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第16题）如图，菱形的两条对角线交于原点，，边交轴于。若在的第一象限分支上，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用中心对称求，再用对角线垂直确定所在直线。 【详解】由对角线互相平分，。直线经过，故为。斜率为，过原点且与之垂直，故为。 联立得，从而，所以。 【易错提醒】交轴于，不是菱形对角线的端点。 7．若正整数使得双曲线在第一象限的直线上恰有两个不同的整点，则这样的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】列出和为七的正整数无序数组，再计算乘积；每组交换得到两个点。 【详解】和为的正整数无序数组为、、，对应乘积，每个乘积恰有两个不同的有序点。故符合条件的有个。 【易错提醒】不能将三个无序数组重复计为六个比例系数。 8．直线与双曲线交于。当为何值时，最短（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】交点横坐标满足一元二次方程，利用根差平方表示距离。 【详解】交点横坐标是的两根，根差平方为。两点均在斜率为的直线上，故，当且仅当时最短。 【易错提醒】两个交点分属第一、第三象限，距离不能只取一个点到原点。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．设，点、均在上。若，则符合条件的实数________（填“存在”或“不存在”）。 【答案】不存在 【分析】两个非零横坐标的和固定为，倒数之和不可能为零。 【详解】定义域要求。由，分子不为零，故不可能等于零，所以不存在。 【易错提醒】不能令分母为零来“得到零和”。 10．（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）点、在上，且，则________。 【答案】 【分析】因比例系数非零，两个倒数之和为零等价于分母互为相反数。 【详解】，且。约去非零系数后得，所以，符合定义域。 【易错提醒】约分前确认不为零，并保留横坐标非零条件。 11．点在的第一象限分支上，且。则所有符合条件的坐标为________。 【答案】或 【分析】距离平方与坐标乘积一起确定坐标和。 【详解】设，。由、得，所以。是的两根，即。故两点为、。 【易错提醒】第一象限排除负坐标，交换横纵坐标仍有第二个点。 12．（改编自2025·常州前黄一模公开重排版第28题）双曲线经过、，直线与轴交于。则________。 【答案】 【分析】两个三角形共底，面积差只取两点到轴距离之差。 【详解】直线为，所以、。两面积分别为、，面积差为。 【易错提醒】的纵坐标是，但三角形的高为正数。 13．第一象限内两点、在上，且、。则________。 【答案】 【分析】无需先求两根，直接对两个倒数通分。 【详解】。条件对应正数根，所以给定两点确实存在。 【易错提醒】先求根会增加无必要的根式计算，且应确认给定条件可行。 14．（改编自2024·苏州中考公开重排版第7题）已知在第二象限的上，在第一象限的上，且。则________。 【答案】 【分析】设的两个正距离为，垂直射线上的可写成同比例交换坐标。 【详解】设，，。因且在第一象限，可设，其中。由得，故，所以，。 【易错提醒】长度比是乘积比的正平方根，不能直接把作为长度比。 15．矩形区域由、确定，边界也属于该区域。双曲线在这个区域内至少有一点的充要条件是________。 【答案】 【分析】区域内坐标均为正，乘积上下界可取；再证明中间乘积都能实现。 【详解】区域内，故必要条件为。当时，点可行；当时，点可行。故该条件也充分。 【易错提醒】只给乘积界还需说明每个中间值都能在区域内实现。 16．点、在同一反比例函数的第四象限分支上，且。则________。 【答案】 【分析】同曲线乘积相等先给出与的关系，再用三角形面积求。 【详解】由，得。且，符合两点位于第四象限。 令直线交轴于，由斜率及得。两三角形与的面积之差为，故、，。 【易错提醒】和的纵坐标都要符合第四象限，不可只检验。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京建邺期末公开重排版第14题）一次函数与反比例函数的图象都经过点。 （1）求； （2）求两函数值之积不大于时的范围。 【答案】、；。 【分析】先用共同点确定一次函数，再对两个因子的符号分类。 【详解】（1），所以，得。 （2）要求，定义域。当时，两个因子均负，乘积为正；当时乘积为零；当时，一正一负；当时均正。所以解集为。 【易错提醒】函数值之积非正与两个函数值大小比较是不同条件；不取。 【评分标准】（2分）求和。 （3分）按两个符号分界点得正确范围。 18．（5分）已知反比例函数在上取到的全部函数值恰为。 （1）求； （2）在同一函数中，若，求的全部范围。 【答案】；或。 【分析】正纵坐标与负横坐标先确定系数为负，再利用端点对应关系。 【详解】（1）区间内、，故，函数在此支递增。由时，得，所以；另一端时，吻合全部值域。 （2），得，故或。 【易错提醒】“恰为”要求两个端点同时吻合，绝对值不等式不能漏掉一个分支。 【评分标准】（3分）确定符号并由两端点核验。 （2分）给出排除零点的双支范围。 19．（6分）（改编自2025·常州前黄一模公开重排版第28题）直线与的图象交于、。将该直线向上平移个单位后，交双曲线于第二象限的和第四象限的，其中。若的横坐标等于横坐标绝对值的倍，求。 【答案】。 【分析】设第二象限点横坐标为负，利用两根的积先求，再用根和求截距。 【详解】设的横坐标为、的横坐标为，其中。交点横坐标满足。 由根的积，得。根的和为，所以。 因，故，满足平移方向；两根一负一正，且对应分别为正与负，符合所指定象限。 【易错提醒】第二象限点横坐标为负，不能直接把两个根写成和。 【评分标准】（2分）以、设根并列交点方程。 （2分）由积求正。 （2分）由和求并核验方向和象限。 20．（6分）（改编自2026·南京中考回忆版公开重排版第10题）一定质量气体在给定实验条件下，压强（）与体积（）成反比例。记录时。 （1）写出关于的表达式及定义域； （2）体积从增到与从增到，压强分别减少多少？哪一次减少较多？ （3）对任意，比较体积从增到、再从增到的两次压强减少量。 【答案】（）；先减少、再减少，第一次较多；一般两减少量之比为。 【分析】逐次计算反比例函数值之差，勿把等体积增量当成等压强变化。 【详解】（1），故，实际。 （2）、、。两次分别减少、，第一次较多。 （3）第一减少量；第二减少量。前者为后者的倍，差为。 【易错提醒】自变量每增加相同数，反比例函数的减少量通常不相同。 【评分标准】（2分）正确建模及正定义域。 （2分）计算两次具体减少量。 （2分）证明一般比值:。 21．（6分）反比例函数满足：对每一个，对应函数值都有。 （1）求的全部可行范围； （2）若再要求图象经过点，该附加要求能否满足？说明理由。 【答案】；能满足，。 【分析】由值域为负确定负，再由最小最大端点给出两个限制，并检验充分性。 【详解】（1）因而，故。函数在正支递增，最小值为、最大值为。要求等价于且，即且。 任意，区间内所有函数值都夹在上述两端值之间，因此该范围充分。 （2）经过要求，属于可行范围，故能满足。此时区间值域为，包含于题目要求的。 【易错提醒】“都有”仅要求值域包含在所给区间，不要求最大值一定等于。 【评分标准】（2分）判定系数负及端点增减性。 （3分）给出必要充分范围。 （1分）核验附加点可行。 22．（8分）（改编自2025·苏州吴中吴江相城二模公开重排版第4题）点在的第二象限分支上，直线交另一分支于。以为底边作等腰三角形，其中在第一象限，。 （1）证明点始终在同一反比例函数图象上，并求该函数； （2）求的最小值以及此时的坐标。 【答案】在上；最小值，此时。 【分析】中心对称使为底边中点；在三十度直角三角形中确定与比例，再交换坐标。 【详解】（1）设，。由中心对称，，是中点。等腰三角形给出，，故。 把旋转指向第一象限，再缩小为原长，得。两坐标乘积为，所以始终位于的第一象限分支。 （2），当且仅当时取等号。故最小值为，此时。 【易错提醒】点限定第一象限确定旋转方向；没有该条件会出现相反点。 【评分标准】（2分）确定为中点与比例。 （3分）坐标交换并证恒定乘积。 （3分）配方求最小值及。 23．（8分）双曲线在第一象限经过、。点沿之间的双曲线移动，允许与端点重合。 （1）若，求坐标； （2）设两面积之和为，求的最小值，并写出取等号位置； （3）有无最大值？若有，求最大值。 【答案】；最小值，在该点取到；最大值，在或取到。 【分析】把两面积用固定两射线围出的坐标剪补表示，再处理坐标和。 【详解】设，其中。利用与坐标轴围成的直角三角形剪补，得、，两式在给定区间均非负。 （1）等面积给出，得，所以。 （2）。由，除以正数得，故，当且仅当时取等号。 （3）由，得，即。所以，在或时取等号，即或。 【易错提醒】端点允许重合时某个三角形面积为零，但总面积仍可取最大值。 【评分标准】（2分）正确表示两面积及定义区间。 （2分）求等面积点。 （2分）配方求总面积最小值。 （2分）区间积不等式求最大值并核验端点。 24．（8分）（改编自2025·扬州梅岭期中公开重排版第25题）在平面直角坐标系中，，点，双曲线过且与直线交于另一点。过作水平线交线段于，其中。 （1）求直线及坐标； （2）证明位于的左侧或与重合； （3）连接，求的面积最大值及对应的坐标。 【答案】，；面积最大值，。 【分析】同高比较把线曲间距离写成因式乘积，面积再化成平方。 【详解】（1）直线为，过的双曲线为。联立得，横坐标为，所以另一交点。 （2），故，因为且。 （3）以水平为底、高为，。 当时取等号，，在给定区间内部。 【易错提醒】底边是同高两横坐标之差，高为纵坐标；先验证差为非负。 【评分标准】（3分）求直线和第二交点。 （2分）用区间因子验证左右位置。 （3分）配方求面积及可达点。 25．（10分）（改编自2025·南京六十六中一模练习公开重排版第2题）点在第一象限，。将线段绕原点顺时针旋转后，再将长度扩大为原来的倍，得到线段。 （1）求坐标及其所在的反比例函数； （2）若，求的最小值、最大值及各自取等号的。 【答案】，；面积最小值（），最大值（）。 【分析】直角旋转使坐标交换并改变一个符号，面积用两垂直边表示。 【详解】（1）顺时针旋转把变成，扩大倍得。坐标乘积为，故在的第四象限分支。 （2）、，故。 当，有，因此。最小值在取到，最大值在取到。 【易错提醒】两个坐标都被长度扩大倍数影响，因此比例系数扩大倍数的平方。 【评分标准】（3分）旋转缩放坐标正确。 （2分）确定曲线及象限。 （2分）用直角边表示面积。 （3分）给出双端最值和可达条件。 26．（10分）（改编自2024·扬州梅岭5月月考公开重排版第23题）点位于第一象限的上，。过向坐标轴作垂线得到矩形，要求矩形面积数值等于周长数值的倍。 （1）若，求所有满足要求的； （2）随着变化，满足要求的可能有个、个、个。分别求对应的范围，并说明理由。 【答案】（1）、；（2）时个，时个，时个。 【分析】面积与周长关系给坐标和，用判别式计数并验证正根。 【详解】条件为，即。因此为的两个正根。 （1）当，有、，解得为，故或。 （2）判别式。当时无实根，故无点；当时重根，故只有。 当时两根不同，因根和、根积，两根均为正，交换两个根得到两个不同坐标点。所以恰有个点。 【易错提醒】一元二次方程的两根不同时产生两个有序点；重根只产生一个点。 【评分标准】（2分）由面积周长列和积关系。 （2分）求两点。 （3分）利用判别式分三类。 （3分）验证正根及有序点计数。 27．（10分）在第一象限的双曲线上，寻找两个不重合的点，使它们的中点为给定点。 （1）当时，这样的两点是否存在？说明理由； （2）当时，求所有符合条件的无序点对； （3）若，其中，证明这样的两点存在的充要条件为。 【答案】（1）不存在；（2）一组：、，两点可交换；（3）充要条件。 【分析】利用中点的坐标和，将两点在同曲线的要求转为两个横坐标的和与积。 【详解】设两点横坐标为。中点为给出，且，所以。横坐标为的两根。 （1）时，方程为，只有重根，两点重合，故不存在。 （2）时，方程的两根为。对应纵坐标为，均为正。因只交换横坐标根不产生新的无序点对，故仅有题述一组。 （3）两点不重合要求，等价于。因，这等价于，证明必要性。 反之若，判别式为正，两实根不同；根和为、根积为，故两根均正。取、，两点第一象限、不重合，且中点纵坐标为，充分性成立。 【易错提醒】有实根不等于有两不重合的可行点；还须严格判别式与正根条件。 【评分标准】（2分）建立中点对应横坐标和积方程。 （2分）处理(,)重合退化。 （3分）求(,)唯一无序点对并核验。 （3分）证明一般条件的必要与充分两向。 1 学科网（北京）股份有限公司 $