第3章 圆· 单元培优卷 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第3章 圆·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．下列命题中，正确的是（　　） A．垂直于弦的直线一定平分这条弦 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．在同一个圆中，到圆心距离相等的两条弦相等 D．同一个圆中任意两条弦的交点都是圆心 2．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第4题）数轴上对应的数依次为。以数轴上的点为圆心作圆，使在圆外、在圆内、在圆上。点对应的数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第5题）在半径为的圆中，弦的中点为，。则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第16题）是同一个圆上依次排列的四个点。已知，下列结论正确的是（　　） A． B． C．一定是直径 D． 5．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第12题）用同一种纸制作两个无底圆锥帽。甲帽底面半径为厘米、母线长为厘米；乙帽侧面展开图的弧长为厘米、扇形半径为厘米。不计接缝，甲帽比乙帽多用纸（　　） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 6．（改编自2025·南京联合体3月模拟，公开重排版第6题）在圆上，在圆外，连接。已知且。直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 7．（改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第5题）一个正方形的外接圆与内切圆之间的圆环面积为。这个正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）圆半径为，圆内点满足。经过的弦的长度可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第14题）圆半径为，两条平行弦所在直线的距离为。其中一条弦长为，另一条弦长为________。 10．（改编自2025·南京联合体3月模拟，公开重排版第2题）半径为的半圆直径为，圆心为。点从出发，以每秒个单位长度依次沿、半圆弧、运动，最后回到。当时，已运动的时间为________秒。 11．圆的直径。点在圆上且不与重合，若，则________。 12．一个圆锥的底面周长为厘米，侧面展开图为圆心角的扇形。这个圆锥的母线长为________厘米。 13．圆的半径为。弦，点在优弧上，点在劣弧上，且都不与端点重合。 则________度。 14．半径为的圆内接等边三角形，每条边到圆心的距离为________。 15．圆形纸片半径为厘米。剪出一个以纸片圆心为顶点、圆心角为的扇形，卷成无底圆锥（接缝忽略）。这个圆锥的高为________厘米。 16．圆的两条弦相交于点。，且在线段的内部。则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第21题）如图，是圆的水平直径，在左侧。弦与交于点，是的中点，在线段内部，在下方。过作，交圆于另一点。 （1）证明； （2）若，求。 18．（5分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第26题）在中，。以为直径的圆交于，过作交于。 （1）证明是圆的切线； （2）若，求。 19．（6分）（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第26题）如图，中，。 （1）只用无刻度直尺和圆规作以为圆心、与相切的圆，并标出切点，保留作图痕迹； （2）求该圆半径； （3）说明这样的圆为什么只有一个。 20．（6分）（改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第27题）在平面直角坐标系中，圆心，半径为。该圆与轴交于（在左侧），与轴交于（在下方）。 （1）求四点坐标并比较； （2）求过的切线表达式，并说明理由。 21．（6分）（改编自2025·宿迁沭阳三模，公开重排版第25题）是圆的直径，为上半圆上一点。为不含的弧的中点，过作，垂足为。 （1）证明是圆的切线； （2）若，四边形是菱形，求及劣弧的长度。 22．（8分）（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第21题）圆中，是劣弧的中点，交于，。点在优弧上运动，不与重合。 （1）求； （2）求四边形面积的最大值，并指出何时取得。 23．（8分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第25题）上半圆直径，点在半圆弧上，。点为不含的弧的中点，连接。 （1）求； （2）求，并证明平分。 24．（8分）（改编自2025·常州前黄一模，公开重排版第25题）正方形边长为，以为直径向正方形内部作半圆。为中点，交半圆于异于的点，连接。 （1）证明； （2）求； （3）求半圆内部而在外部的区域面积。 25．（10分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第17题）圆半径为，弦。在弦所对的优弧上，且不与重合。过作的垂线，交射线于。 当为等腰三角形时，求所有可能的。 26．（10分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第28题）如图，圆半径为，直径水平，在左侧。弦于，在线段上，，在上方。在射线上且位于的外侧，。直线与圆的另一交点为。 （1）证明； （2）当时，求； （3）若，求。 27．（10分）在平面直角坐标系中，圆以原点为圆心，半径为。一根竖直线段的端点为，其中为实数。 （1）当时，写出直线与圆的两个交点坐标； （2）分别求线段与圆恰有个公共点时的范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分) 1.下列命题中，正确的是() A.垂直于弦的直线一定平分这条弦 B.平分弦的直径一定垂直于这条弦 C.在同一个圆中，到圆心距离相等的两条弦相等D.同一个圆中任意两条弦的交点都是圆心 【答案】C 【分析】垂径定理的条件辨析。不要遗漏“经过圆心”和“不是直径”两个条件。 【详解】垂直于弦的直线不一定经过圆心，故未必平分弦；平分弦的直径在该弦也是直径时未必垂直于它： 同圆中到圆心距离相等的弦长度相等：两条直径的交点才必为圆心，任意两弦的交点未必为圆心。 【易错提醒】不要遗漏“经过圆心”和“不是直径”两个条件。 2.(改编自2024扬州树人期中，公开重排版第4题)数轴上A,B,C对应的数依次为3,1,5。以数轴上的 点O为圆心作圆，使A在圆外、B在圆内、C在圆上。点O对应的数t的取值范围是() A.t<1 B.1<t<3 C.t>3 D.1≤t≤3 【答案】B 【分析】点圆位置关系与垂直平分点。两条严格不等式需要同时满足。 【详解】半径为1-。由F+3到>-5得>1：由-l<-得t<3。所以1<t<3。 【易错提醒】两条严格不等式需要同时满足。 1 3.(改编自2024扬州树人期中，公开重排版第5题)在半径为10的圆中，弦AB的中点为M, OM:OA=3:5。则aOAB的面积为() O M ⊙ A.24 B.30 c.40 D.48 【答案】D 【分析】垂径定理与三角形面积。圆心到弦的距离是高，弦长要取半弦的两倍。 1 【详解)OM=6,且OM1AB。由勾股定理得M=8,所以4B=16,Sae=2×16x6=48 【易错提醒】圆心到弦的距离是高，弦长要取半弦的两倍。 2 4.(改编自2025南京六十六中一模，公开重排版第16题)A,B,C,D是同一个圆上依次排列的四个点。 已知∠ABC=2∠ADC,下列结论正确的是() ⊙ A.∠ADC=60 B.∠ABC=90 C.4C一定是直径 D.AB=BC 【答案】A 【分析】圆内接四边形对角关系。“两角成倍数”并不说明有直径或等边三角形。 【详解】内接四边形的对角互补，故3∠ADC=180,得∠ADC=60°，∠ABC=120°。由这些条件不能确 定邻边相等或某条对角线为直径。· 【易错提醒】“两角成倍数”并不说明有直径或等边三角形。 5.(改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第12题)用同一种纸制作两个无底圆锥帽。甲帽底面半径为 3厘米、母线长为8厘米；乙帽侧面展开图的弧长为8π厘米、扇形半径为5厘米。不计接缝，甲帽比乙帽 多用纸() A.2元平方厘米 B.3元平方厘米 C.4π平方厘米 D.6π平方厘米 【答案】c 【分析】圆锥侧面积与扇形面积的两种表达。展开图的扇形半径是母线，不能把弧长当底面半径。 1 ×5×8π=20π 【详解】甲侧面积为π×3×8=24π。乙展开扇形面积为2 ,故相差4π平方厘米。 【易错提醒】展开图的扇形半径是母线，不能把弧长当底面半径。 3 6.(改编自2025：南京联合体3月模拟，公开重排版第6题)A在圆0上，B在圆外，连接0A,OB。已知 ∠AOB=3∠ABO且∠ABO=22.5°。直线AB与圆的位置关系是() A A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【答案】B 【分析】切线判定与角度条件的逆用。只有确认切点在圆上且该点半径垂直于直线，才能判相切。 【详解】∠A0B=67.5°，所以∠0AB=180-22.5°-67.5°=90°。直线AB垂直于过圆上点A的半径，因此 相切。 【易错提醒】只有确认切点在圆上且该点半径垂直于直线，才能判相切。 7.(改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第5题)一个正方形的外接圆与内切圆之间的圆环面积 为9π。这个正方形的边长是() 0. A.3 B.3V2 D.6 C. 2 4 【答案】D 【分析】正方形内外接圆与面积差。不能把外接圆半径当作正方形边长。 a √2a na2 =9π 【详解】设边长为a,内切圆半径为2，外接圆半径为2。圆环面积为4，得a=6。 【易错提醒】不能把外接圆半径当作正方形边长。 8.(改编自2024扬州树人期中，公开重排版第3题)圆O半径为5，圆内点P满足OP=3。经过P的弦 的长度可能是() B A.6 B.7 C.9 D.11 【答案】C 【分析】经过圆内定点的弦长范围。最短弦与OP垂直，最长弦经过圆心。 【详解】圆心到这条弦所在直线的距离d满足0≤d≤3，半弦长为V25-d严，故弦长在8,10]内。四个选项 中只有9在范围内。 【易错提醒】最短弦与OP垂直，最长弦经过圆心。 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9.(改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第14题)圆0半径为5，两条平行弦所在直线的距离为7。 其中一条弦长为8，另一条弦长为一。 0. D 【答案】6 【分析】平行弦与圆心同异侧分类。给定两弦距离时要检验同侧、异侧及距离不超过半径。 【详解】长为8的弦到圆心距离为V25-16=3。两弦若在圆心同侧，它们之间距离小于5，不可能为7。 故在异侧，另一弦到圆心距离为7-3=4，弦长为2W25-4=6。 【易错提醒】给定两弦距离时要检验同侧、异侧及距离不超过半径。 6 10.(改编自2025南京联合体3月模拟，公开重排版第2题)半径为4的半圆直径为AB,圆心为O。点 P从O出发，以每秒1个单位长度依次沿OA、半圆弧AB、BO运动，最后回到O。当OP=2时，已运动 的时间为 秒。 【答案】2或6+4元 【分析】分段路径与圆心距离。沿圆弧运动时圆心距不随走过的弧长变化。 【详解】在OA上首次满足条件用时2秒；沿半圆弧时恒有OP=4;回程BO上满足条件时已走 4+4π+2=6+4π个单位长度。 【易错提醒】沿圆弧运动时圆心距不随走过的弧长变化。 11.圆O的直径AB=10。点P在圆上且不与A,B重合，若PA-PB=2,则PA×PB= D O 的 【答案】48 【分析】直径圆周角与平方恒等式。差的平方含有乘积项，不能写成平方差。 【详解】直径所对的圆周角为直角，所以P+PB=100。由(PA-PB)=4得100-2PA×PB=4,故乘积 为48。 【易错提醒】差的平方含有乘积项，不能写成平方差。 7 12.一个圆锥的底面周长为6π厘米，侧面展开图为圆心角135的扇形。这个圆锥的母线长为 厘米。 【答案】8 【分析】圆锥展开图的弧长匹配。圆锥侧面扇形半径等于母线而非圆锥高。 135πl =6元 【详解】底面周长等于扇形弧长，故180 ,解得1=8。 【易错提醒】圆锥侧面扇形半径等于母线而非圆锥高。 13,圆O的半径为6。弦AB=6,点C在优弧AB上，点D在劣弧AB上，且都不与端点重合。 则∠ADB-∠ACB= 度。 A O 【答案】120 【分析】同弦所对两侧圆周角。点在劣弧时所对的是优弧，不能仍取锐角。 【详解】OA=OB=AB=6,所以∠AOB=60°。优弧上的圆周角∠ACB=30°，劣弧上的圆周角 ∠ADB=150°，两者之差为120°。 【易错提醒】点在劣弧时所对的是优弧，不能仍取锐角。 8 14.半径为4的圆内接等边三角形，每条边到圆心的距离为 0. B C 【答案】2 【分析】正三角形与圆的弦心距。等边三角形外接圆半径是内切圆半径的两倍。 【详解】圆心到边的垂线平分该边及其所对圆心角；顶角为120的等腰三角形被分为两个含60°角的直角 三角形。圆心到边的距离等于半径的一半，为2。 【易错提醒】等边三角形外接圆半径是内切圆半径的两倍。 15.圆形纸片半径为3厘米。剪出一个以纸片圆心为顶点、圆心角为240°的扇形，卷成无底圆锥（接缝忽 略)。这个圆锥的高为 厘米。 【答案】5 【分析】圆锥展开与轴截面勾股关系。扇形半径与圆锥高不能混淆。 【详解】展开扇形半径为母线3，弧长为4红，故底面半径为2。由勾股定理，圆锥高为V32-2=5。 【易错提醒】扇形半径与圆锥高不能混淆。 9 16.圆O的两条弦AB,CD相交于点P。PA=2,PB=6,PC=3,且P在线段AB,CD的内部。则PD= 0. 【答案】4 【分析】相交弦数量关系的推导。不能把相交弦的两段相加后作比例。 【详解】连接AC,BD,由同弧圆周角及对顶角得△APCADPB,所以PAx PB=PC×PD。代入得PD=4。 也可从相似三角形的对应边比例直接列式。 【易错提醒】不能把相交弦的两段相加后作比例。 10 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17.(5分)（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第21题）如图，AB是圆O的水平直径，A在B左 侧。弦CD与AB交于点M,M是CD的中点，M在线段AO内部，D在AB下方。过D作DE⊥CD,交 圆于另一点E。 (1)证明DE‖AB. (2)若OEI‖AD,求∠BAD。 o A B M D E 【答案】(1)见证明：(2)60°。 【分析】垂径定理逆向与平行弦角关系。把射线方向看清，平行直线上的同位角不一定是题中所取小角。 【详解】(1)连接OM。因M为非直径弦CD的中点，OM⊥CD。O,M,AB共线，故AB⊥CD。又 DE⊥CD,所以DEI‖AB。 11 (2)设∠BAD=0。由OEI‖AD及DE‖AB,得∠OED=0。又OA=OD,所以∠ODA=∠OAD=0。由 DEI‖AB,∠ADE=180°-0，故∠ODE=180°-20。由OD=OE知∠ODE=∠OED,所以180-29=0， 解得0=60°。 【易错提醒】把射线方向看清，平行直线上的同位角不一定是题中所取小角。 【评分标准】(2分)证明直径与弦垂直并得平行。 (3分)用等腰半径三角形与平行关系求角。 12 18.(5分)（改编自2024扬州树人期中，公开重排版第26题）在△ABC中，∠C=90°。以AC为直径的 圆O交AB于D,过O作OE‖AB交BC于E。 (1)证明DE是圆O的切线； (2)若AC=6,DE=4,求AB。 B C A O 【答案】(1)见证明：(2)10。 【分析】三角形中位线、斜边中点与切线判定。只证明ED=EC还不能直接说相切，必须推出OD⊥DE。 【详解】(1)O为AC中点且OEI‖AB,故E为BC中点。因AC是直径，CD⊥AB,所以∠BDC=90°。 直角三角形斜边中点性质得ED=EC=EB。设∠EDC=∠ECD=a;半径OD=OC得 ∠ODC=∠OCD=90°-，故∠ODE=90,圆在D处与DE相切。 13 (2)EC=ED=4,所以BC=8。由勾股定理，AB=V6+82=10。 【易错提醒】只证明ED=EC还不能直接说相切，必须推出OD LDE。 【评分标准】(1分)确定E为中点。 (2分)推出OD垂直DE并判切线。 (2分)求BC及AB。 14 19.(6分)（改编自2024无锡金桥零模，公开重排版第26题）如图，△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC=8 (1)只用无刻度直尺和圆规作以C为圆心、与AB相切的圆，并标出切点D,保留作图痕迹； (2)求该圆半径： (3)说明这样的圆为什么只有一个。 24 【答案】(1)见作图；(2)5：(3)圆心到直线的垂线段长度唯一。 【分析】定圆心切圆尺规作图、等面积求高。不能取CA或CB作半径代替到斜边的距离。 【详解】(1)以C为圆心、充分大的长为半径画弧，交直线AB于U,':分别以U,P为圆心、相同且充分 大的长为半径画弧，交于异于C的点W。作直线CW,交AB于D。以CD为半径作圆。CU=CV且 U=WV,所以CW为UV的垂直平分线，CD⊥AB,故相切。 1 ×6×8= (2)AB=V6+8=10。比较三角形的两种面积表达式：2 2×10 XCD CD=24 2 ,得5。 15 (3)固定点C到直线AB的距离唯一，圆相切时半径必须等于此距离，因此半径和圆均唯一。 【易错提醒】不能取C4或CB作半径代替到斜边的距离。 【评分标准】(2分)作垂线并画圆，痕迹完整。 (2分)面积法求半径。 (2分)解释唯一性。 16 20。(6分)（改编自2025南京六十六中一模，公开重排版第27题）在平面直角坐标系中，圆心0(1，-)， 半径为V5。该圆与x轴交于A,B(A在B左侧)，与y轴交于C,D(C在D下方)。 (1)求四点坐标并比较AB,CD, (2)求过D的切线表达式，并说明理由。 x 1 【答案】ID4(-1,0,B(3,0.C(0,-3)D00,4B=CD=4:2)y=2x+1 【分析】坐标轴截弦与切线表达式6圆心不在原点，弦中点也不一定是原点。 【详解】(1)圆心到两坐标轴的距离均为1，故两条弦的半长均为V5-1=2。弦中点分别为(L,0),(0,-), 所以4(1,0)B(3,0),C(0,-3),D(0,),两弦长度都为4。 (2)取T(2,2)。有0D2=5,DT2=5,0T2=10,故由勾股定理逆定理知0D1DT,DT为切线。设直线 =1,k= 为y=c+b,代入D,T得 2。 【易错提醒】圆心不在原点，弦中点也不一定是原点。 【评分标准】(3分)四点坐标及两弦比较。 (3分)切线表达式与垂直理由。 17 21.(6分)（改编自2025·宿迁沭阳三模，公开重排版第25题）AB是圆O的直径，E为上半圆上一点。 C为不含A的弧BE的中点，过C作CD⊥AE,垂足为D。 (1)证明CD是圆O的切线： (2)若AO=3,四边形AOCE是菱形，求AC及劣弧BE的长度。 D 0 Sy B 【答案】(1)见证明：(2)4C=3V5,弧长2π。 【分析】弧中点、圆周角与切线判定。不要把OC⊥BE直接替换成所需的OC‖AE。 【详解】(1)设∠BAE=a。因C为弧BE中点， ZBAC= 2。圆周角与圆心角关系给出 ∠BOC=2∠BAC=a,而OB与AB同方向，所以OCI‖AE。于是OC⊥CD,CD在圆上点C处垂直半径， 为切线。 18 (2)菱形A0CE四边均为3，又OE=3,故△0CE为等边三角形，∠COE=60°。A,0,B共线，菱形对边 AEOC,得∠4A0C=120°，所以AC=3W5。C平分弧BE,故劣弧BE对应圆心角120，弧长 120元×3 =2π 180 【易错提醒】不要把OC⊥BE直接替换成所需的OC川4E。 【评分标准】(3分)由弧中点推出OC平行4E并判切线。 (3分)菱形条件下计算线段与弧长。 22.(8分)（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第21题）圆0中，C是劣弧BD的中点，OC交 BD于M,OM=3,CM=2。点A在优弧BD上运动，不与B,D重合。 (1)求BD; (2)求四边形ABCD面积的最大值，并指出何时取得。 M 【答案】(1)8；(2)40，当A为优弧BD中点时取得。 【分析】垂径定理与定底面积最值。最大高是半径加弦心距，不是直径，也不能漏掉固定三角形面积。 【详解】(1)OC=OM+CM=5。由垂径定理，OM⊥BD且BM=DM,故BM=VS-32=4,得 BD=8。 19 (2)8n=x8x2=8 。设A到BD的距离为h,则h≤OC+OM=8;等号当且仅当A为优弧BD的中点。 因此 4BcD=8+5×8h≤40 2 【易错提醒】最大高是半径加弦心距，不是直径，也不能漏掉固定三角形面积。 【评分标准】(3分)半径和弦长。 (3分)面积上界。 (2分)等号位置及最大值。 23.(8分)（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第25题）上半圆直径AB=13,点C在半圆弧上， AC=5。点P为不含A的弧BC的中点，连接AP,BP。 (1)求BC; (2)求AP,并证明AP平分∠BAC。 A B 【答案】(1)12，(2)313，角平分线证明见详解。 BP=IBC 【分析】弧中点与中位线、勾股定理。P是弧中点而非弦中点，不能直接令 2 【详解】(1)AB是直径，故∠ACB=90°，BC=V132-52=12。 20 (2)取BC中点E,连接OE,OP。因P为弧中点，O,E,P共线且OP⊥BC。O为AB中点，故OE为 △ABC的中位线， 2,所以EP=4。由勾股定理，BP2=BE2+EP2=36+16=52。又 ∠APB=90°，所以AP2=169-52=117,AP=3W3。等弧BP,PC对应圆周角相等，故∠BAP=∠PAC。 【易错提醒】P是弧中点而非弦中点，不能直接令 Bp-iBc 【评分标准】(2分)求BC。 (2分)求OE和EP。 (2分)双勾股求AP。 (2分)证明角平分线。 21 24.(8分)（改编自2025·常州前黄一模，公开重排版第25题）正方形ABCD边长为2，以AB为直径向 正方形内部作半圆。P为CD中点，BP交半圆于异于B的点O,连接A№，DO。 (1)证明△ABQ△BPC: (2)求DQ: (3)求半圆内部而在△AB0外部的区域面积。 0 π4 【答案】(1)见证明：(2)2；(3)25。 【分析】直径圆周角、相似与坐标勾股求交点。第二交点不能误取已知点B:阴影范围要按文字指定而不 是凭图猜测。 【详解】(1)∠AQB=90=∠BCP,∠AB0+∠PBC=90,故∠BA0=∠PBC。因此两三角形相似。 (2)取4(0,0，B(2,0),C(2,2)D(0,2),则P(L2)。设(2-t21),0<1<1。圆心为1,0)，由勾股关系 0-+r=1号.黄g.m t= D0=+g29-2 22 1 44 ×2× π π4 (3)三角形面积255，半圆面积2，所求面积为25。 【易错提醒】第二交点不能误取已知点B；阴影范围要按文字指定而不是凭图猜测。 【评分标准】(2分)相似证明。 4分)交点与D0 (2分)区域面积。 23 25.(10分)（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第17题）圆0半径为5，弦AB=8。P在弦AB 所对的优弧上，且不与A,B重合。过A作AP的垂线，交射线PB于C。 当△PAB为等腰三角形时，求所有可能的BC。 D 0 ￡ C 8556 【答案】3,8,15。 【分析】圆上等腰三角形的三类边相等条件。不能只算PA=PB:还需考虑PA=AB、PB=AB并排除端 点退化。 【详解】建立直角坐标系，取4(4,0)，B(4,0),O(0,3),所取优弧在弦上方。设P(),圆上的点满足 x2+0y-3y=25,即2+y-6y=16。 若PA=PB,则x=0,优弧上非瑞点解为P0,8)。4C的表达式为”=2+4).PB为y=-2x+8,故 BC= 3。 24 (44192 若PB=AB=8,则-4}+y=64。与圆上的关系联立，排除P=A,得气25'25)。以B为圆心、8为 半径作圆，P,A均在该圆上。延长PB至其直径另一端C,则∠PAC=90,此C正是题中交点。故BC=8。 44192 若PA=AB=8,同理排除P=B,得（25’25 PB=48 5。作AH⊥PB,因PA=AB,H为PB中点， PH=24 是BC=PC-PB=56 5。由PAHSAPC4得P4=PH×PCPC=245=3。于是 「15。三种等边关 系已全部覆盖，且所有所求交点均在B外侧。 【易错提醒】不能只算PA=PB:还需考虑PA=AB、PB=AB并排除端点退化。 【评分标准】(2分)坐标与圆上关系。 (2分)PM=PB分支。 (3分)PB=AB分支。 (3分)PA=AB分支及完备性。 25 26.(10分)（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第28题）如图，圆0半径为5，直径AB水平， A在B左侧。弦CD⊥AB于E,E在线段AO上，OE=3,C在AB上方。P在射线CD上且位于D的外侧， DP=t>0。直线AP与圆的另一交点为Q。 (1)证明∠APD=∠ACQ: (2)当t=2时，求SAc0S.c0: (3)若A0=D0,求t。 O 【答案】(1)见证明：(2)5：4：(3)2V5。 【分析】外点割线、圆周角、弧中点与坐标计算。必须区分圆心与弦交点先后、第二交点和射线方向，不 能默用原来源图的另一侧构型。 【详解】(1)由直径垂直平分CD,知AC=AD,所以∠ACD=∠ADC。Q在劣弧AD内，由同弧圆周 角得∠40C=∠ADC。又A,L,P依次共线，故∠POC=180-∠ADC。在△PC0中， ∠APD=∠QPC=∠ADC-∠PCQ=∠ACD-∠PCQ=∠ACO。 26 (2)取0(0,0).A(-5,0),B(5,0).C(-34),D(-3,4)。当t=2,P(-36,直线AP为y=-3(x+5)。将它 代入点在圆上的勾股关系+y=25,排除A,得(4，-3)。CP=10,A,0到直线CP的距离分别为2,1， 0收E贵aSnw250m-.5e-分- 所求比为5：4。 (3)Q在劣弧AD内。A=DQ时，Q为此弧中点，故OQ平分∠AOD。由半径的坐标方向可得 g(-25,-5) 直线40到x=-3时的纵坐标为4-2√5，因此DP=2W5。反代可知此位置在指定射线上 且满足等弦，唯一。 【易错提醒】必须区分圆心与弦交点先后、第二交点和射线方向，不能默用原来源图的另一侧构型。 【评分标准】(2分)圆周角关系证明。 (4分)坐标求交点与面积比。 (4分)等弦时唯一【及射线检验。 27 27.(10分)在平面直角坐标系中，圆0以原点为圆心，半径为5。一根竖直线段的端点为 U(6,-2),/(化，4)，其中t为实数。 (1)当<5时，写出直线UV与圆的两个交点坐标； (2)分别求线段U"与圆恰有01,2个公共点时t的范围。 【答案】(1) ,±v25-） 2)0个：<3或>5：1个：3≤<21或川=5：2个：2i≤<5. 【分析】直线和有限线段与圆的公共点区别。相交直线的两个交点未必都在线段上，端点与切触必须单列。 【详解】(1)设交点纵坐标为y,由勾股关系t+y=25,得y=±V25-子。 (2)当>5时直线与圆相离，无公共点：当=5时只有切点(，0)且在该线段内，因此为1个。 28 当川<5，记8=V25-子>0。上方交点在线段内当且仅当s≤4，即川≥3：下方交点在线段内当且仅当 3≤2，即22。所以l川<3时0个，3≤川<V2时1个，②≤川<5时2个。端点在圆上也要计入， (=5时上下交点合并而只计1个。 【易错提醒】相交直线的两个交点未必都在线段上，端点与切触必须单列。 【评分标准】(2分)交点坐标。 (2分)相离与切触。 (4分)上下交点分别在线段的条件。 (2分)完整范围和端点。 29