第3章 圆——圆切线的性质与判定+尺规+最值问题+综合训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版九年级上圆切线的性质与判定 一．切线的性质与判定（共20小题） 1．（2025秋•建邺区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝50°，则∠ADC＝　 　 °． 2．（2024秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 　 　 °． 3．（2024秋•海伦市期末）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 4．（2025秋•鼓楼区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2025秋•南京校级月考）如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　 　 ． 6．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为　 　 ． 7．（2025秋•秦淮区月考）如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径． 8．（2024秋•秦淮区期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切． 9．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E． （1）求证：⊙P与直线AC相切． （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径． 10．（2020•秦淮区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为　 　 ． 11．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E． （1）求证：ME是⊙O的切线； （2）若CD＝5，AC＝8，求ME的长． 12．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AD＝7，BE＝2．求⊙O的半径． 13．（2025秋•南京校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，，求⊙O的半径． 14．（2025秋•邗江区期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 15．（2024秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 16．（2024秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 17．（2024秋•南京期中）如图，在▱ABCD中，过点C的⊙O与AB，AD分别相切于点E，F，交BC，CD交于点G，H．连接FH，FH＝FD． （1）求证：四边形ABGF是平行四边形； （2）若AE＝4，BE＝6，求⊙O的半径． 18．（2025秋•南京月考）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P． （1）求证∠C＝2∠A； （2）若PC＝2OP，AP，则⊙O的半径长为　 　 ． 19．（2025秋•南京月考）如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 20．（2024秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E． （1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）若E是的中点，且，AC＝8，求BC的长． 二．与切线相关的尺规做图（共5小题） 21．（2021秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 　 　 ． 22．（2025秋•秦淮区校级月考）已知：⊙O和⊙O外一点P． 尺规作图：在图中，过P点作⊙O的两条切线PE、PF，E、F为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 23．（2024秋•玄武区期中）已知点A在⊙O上，仅用圆规按下列要求画图： （1）在图①中画出点P，使AP是⊙O的直径； （2）在图②中画出点Q，使AQ是⊙O的切线． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 24．（2025秋•玄武区期中）已知⊙O，按下列要求完成尺规作图．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （1）在图①中，求作一点M，使经过点M的⊙O的两条切线互相垂直； （2）点P的位置如图②所示．求作弦AB，CD，使AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为P． 25．（2025秋•秦淮区校级月考）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径； （2）如图2，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦； （3）如图3，△ABC为⊙O的内接三角形，D是AB中点，E是AC中点，请画出∠BAC的角平分线． 三．圆中最值问题（共8小题） 26．（2025秋•秦淮区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 27．（2025秋•江宁区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　 　 ． 28．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．4 29．（2020•连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D． 30．（2025秋•建邺区校级月考）如图，AB是⊙O的一条弦，AB＝4，点C为平面内一点．∠ACB＝90°，若点D为⊙O上任意一点，连接CD，若⊙O的半径是4，则CD长的最大值为（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（　　） A．12 B．6+2 C．6 D． 32．（2024•永昌县三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是　 　 ． 33．（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　 　 ． 四．圆综合（共7小题） 34．（2020•秦淮区二模）在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、2，则弦BC的长度是 　 　 ． 35．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知⊙O的半径OA＝1，弦AB的长为．若在⊙O上找一点C，使AC，则∠BAC＝　 　 °． 36．（2025秋•建邺区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（1，2），半径为1，一次函数y＝x+b的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则b的值是　 　 ． 37．（2025秋•南京校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD． （1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE． （2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由． 38．（2021秋•溧水区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 　 　 ，并证明你的结论． （2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径． 39．（2025秋•南京校级月考）小明用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）求方案二中圆的半径； （3）在方案三中，设CE＝x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 40．（2025秋•鼓楼区校级月考）解题与遐想． 如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积． 王小明： 这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉… 赵丽华： 我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n！确实非常神奇了… 数学刘老师： 大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳： 刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 计算验证 （1）通过计算求出Rt△ABC的面积． 拼图演绎 （2）将Rt△ABC分割放入矩形中（如图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明． 尺规作图 （3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 五．课后作业（共9小题） 41．（2025秋•江宁区校级月考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． 求证：（1）∠DAC＝∠DBA； （2）P是线段AF的中点． 42．（2021秋•玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 　 　 °． 43．（2025秋•扬州期中）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为（　　） A．3 B．3.5 C． D．4 44．（2024•繁昌区校级自主招生）如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为　 　 ． 45．（2020•鼓楼区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O的半径； （2）求AD的长． 46．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，将△AOB绕点O顺时针旋转到△COD的位置，⊙O与CD相切于点E． 求证：AB是⊙O的切线． 47．（2025秋•南京校级月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长． 48．（2023秋•常州期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在OC的延长线上，且∠CAD＝∠B． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠D＝∠B，⊙O的半径是4，求AD的长． 49．（2025秋•南京校级月考）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B． （1）求证：； （2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径． 九年级上切线的性质与判定+尺规+最值问题+综合 参考答案与试题解析 一．切线的性质与判定（共20小题） 1．（2025秋•建邺区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝50°，则∠ADC＝　110　 °． 【解答】解：如图，连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥CP， ∴∠OCP＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠P＝40°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣40°）＝70°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°， 故答案为：110． 2．（2024秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 　144　 °． 【解答】解：如图，连接OM，ON，在优弧AB上取一点Q，连接QM，QN， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A108° ∵正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠MQN∠MON＝36°， ∴四边形PMQN是圆内接四边形， ∴∠MPN+∠MQN＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣36°＝144°． 故答案为：144． 3．（2024秋•海伦市期末）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【解答】解：⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点分别为：F，G，M，E， 连接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半径为r， ∴FO＝OG＝OM＝OE＝r， ∴四边形ABCD的面积EO•ADOMDCGO•BCFO•AB （AD+AB+BC+DC）r 24r ＝36， 解得：EO＝3． 故⊙O的半径为3． 故选：B． 4．（2025秋•鼓楼区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF＝BF＝AE＝BG＝2， ∴DE＝3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN＝DE＝3，MN＝MG， ∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN， 在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2， ∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42， ∴NM， ∴DM＝3． 故选：D． 5．（2025秋•南京校级月考）如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　（，2）或（，﹣2）　 ． 【解答】解：∵⊙P的圆心在一次函数y＝2x﹣1的图象上运动， ∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，2x﹣1）， ∵⊙P的半径为2， ∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2， 解得：x或x， ∴P点坐标为：（，2）或（，﹣2）． 故答案为：（，2）或（，﹣2）． 6．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为　2或1.5　 ． 【解答】解：连接EG，OM， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∵AD、BC分别与⊙O相切于E、G三点， ∴EG过圆心O， ∵CN⊥AD， ∴四边形CNEG是矩形， ∴EG＝CN， ∵CN是⊙O的切线， ∴OM⊥CN， ∴四边形EOMN和四边形CMOG是正方形， 设⊙O的半径为r， ∴BF＝BG＝6﹣r， ∴AF＝AE＝5﹣（6﹣r）＝r﹣1， ∴DN＝6﹣r﹣（r﹣1）＝7﹣2r， ∵DN2+CN2＝CD2， ∴（7﹣2r）2+（2r）2＝52， 解得：r＝2，r＝1.5， ∴⊙O的半径为2或1.5， 故答案为：2或1.5． 7．（2025秋•秦淮区月考）如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接CO、EO、BC， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°， ∵AB是直径， ∴∠BCA＝∠BCD＝90°， ∵Rt△BCD中，E是BD的中点， ∴CE＝BE＝ED， ∵OC＝OB，OE＝OE， 则△EBO≌△ECO（SSS）， ∴∠ECO＝∠EBO＝90°， ∵点C在圆上， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：解法一：Rt△ACF中，∵AC＝5，CF＝3， ∴AF＝4， 设圆O的半径为r，则OF＝4﹣r， 由勾股定理得：CF2+OF2＝CO2， 即32+（4﹣r）2＝r2，r； 解法二：Rt△ACF中，∵AC＝5，CF＝3， ∴AF＝4， 设BF＝x， 由勾股定理得：BC2＝x2+32， BC2+AC2＝AB2， x2+32+52＝（x+4）2， x， 则r， 则⊙O的半径为． 8．（2024秋•秦淮区期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切． 【解答】证明：如图，作直径CM，连接BM， ∴∠MBC＝90°， ∴∠M+∠BCM＝90°， ∵∠A＝∠M， ∴∠A+∠BCM＝90°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB+∠BCN＝180°，∠ACD＝∠ABC， ∴∠A＝∠BCN， ∴∠BCN+∠BCM＝90°， 即∠OCN＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 9．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E． （1）求证：⊙P与直线AC相切． （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径． 【解答】（1）证明：连接PE． 过点P作PF⊥AC，垂足为F． ∵⊙P与直线AB相切，切点为E， ∴PE⊥AB． 在△ABC中，AB＝AC， ∵D为AC的中点， ∴AD平分∠BAC． ∵PF⊥CA，PE⊥AB， ∴PE＝PF． ∴⊙P与直线AC相切； （2）解：连接BP，CP， 设⊙P半径为r，则根据， 其中，根据勾股定理得AD＝4． ∴． ∴r＝1.5． 10．（2020•秦淮区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为　　 ． 【解答】解：（1）证明：连接OD，AD． ∵， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵EF⊥AC， ∴∠E＝90°． 在⊙O中，∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AE， ∴∠ODF＝∠E＝90°， 即OD⊥EF， 又∵点D在⊙O上， ∴直线EF是⊙O的切线． （2）在Rt△AEF中，AE＝1，∠F＝30°， ∴AF＝2AE＝2， 在Rt△ODF中，∠F＝30°， ∴OF＝2OD， ∴OB＝BF＝ODAF． 则⊙O半径长为． 故答案为：． 11．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E． （1）求证：ME是⊙O的切线； （2）若CD＝5，AC＝8，求ME的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OM， ∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点， ∴CD＝DA＝DBAB， ∴∠ACD＝∠A， ∵OC＝OM， ∴∠ACD＝∠OMC， ∴∠OMC＝∠A， ∴OM∥AB， ∵ME⊥AB， ∴ME⊥OM， ∵OM为半径， ∴ME为⊙O的切线； （2）解：如图，连接DM， ∵CD＝5， ∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5， ∵CD为直径， ∴∠CMD＝90°， ∴AM＝CM＝4， ∴DM． ∵， ∴2.4． 12．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AD＝7，BE＝2．求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示： 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB． ∴∠OEB＝∠C， ∴OE∥AC． ∵EF⊥AC于点F， ∴EF⊥OE． ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接BD、AE，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC，∠CDB＝90°， ∵AB＝AC， ∴CE＝BE＝2， ∴BC＝2BE＝4， 在Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2． 在Rt△CDB中，BD2＝BC2﹣CD2． ∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2． 设CD＝x，则AB＝AC＝7+x． ∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2， 解得：x＝1（舍负）， ∴AB＝7+x＝8， ∴OAAB＝4，即⊙O的半径为4． 13．（2025秋•南京校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝∠DEB＝90°， ∴∠DEC+∠CEB＝90°． ∵CE＝BC， ∴∠B＝∠CEB， ∴∠A＝∠DEC． ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE． ∵∠A+∠ADE＝90°， ∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°， ∴OE⊥CE． ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， 设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AC＝2r+2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴． 在Rt△OEC中，∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴r2+BC2＝（r+2）2， ∴BC2＝（r+2）2﹣r2， ∴， 解得r＝3，或r＝﹣3（舍去）． ∴⊙O的半径为3． 14．（2025秋•邗江区期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图1，连接OA、OB、OC， ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴OC是AB的垂直平分线， ∴OC⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OC⊥CD， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接BE，延长CO交AB于点F， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， 由（1）得，OC是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF，∠BFC＝90°， 又∵OB＝OE， ∴OF是△ABE的中位线， ∴， 设OB＝OC＝r， 在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得： BF2＝BC2﹣CF2，即， BF2＝OB2﹣OF2，即BF2＝r2﹣42， ∴， 90﹣r2﹣8r﹣16＝r2﹣16， 2r2+8r﹣90＝0， r2+4r﹣45＝0， 解得r＝5或﹣9（舍）， ∴⊙O的半径为5． 15．（2024秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ACB＝ABC， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， 又∵∠ADB＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD， 即：∠BCF＝∠CBF， ∴CF＝BF； （2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF， ∵CG为O直径， ∴∠GFC＝90°， ∴∠G+∠GCF＝90•， ∵∠CDB＝∠G， ∴∠CDB+∠GCF＝90°， ∵CD＝CB ∴∠CDB＝∠CBD， ∵CF＝BF， ∴∠BCF＝∠CBD， ∴∠BCF＝∠CDB， ∴∠BCF+∠GCF＝90°， ∴∠BCG＝90°， ∴CG⊥BC，且CG为⊙G的半径， ∴CB是⊙O的切线． 16．（2024秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接并且延长AO交BC于点F， ∵过A，B，C三点的⊙O与AD相切， ∴AD⊥OA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠OFB＝∠OAD＝90°， ∴OF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴AF垂直平分BC， ∴AB＝AC． （2）解：设⊙O的半径为r，连接OC，则OC＝OA＝r， ∵AB∥CE， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴， ∴， ∴， ∴AC＝BE＝9， ∵∠CFO＝90°，BF＝CFBC6＝3， ∴AE6， ∵OF2+CF2＝OC2，且OF＝6r，OC＝r， ∴（6r）2+32＝r2， 解得r， ∴⊙O的半径长为． 17．（2024秋•南京期中）如图，在▱ABCD中，过点C的⊙O与AB，AD分别相切于点E，F，交BC，CD交于点G，H．连接FH，FH＝FD． （1）求证：四边形ABGF是平行四边形； （2）若AE＝4，BE＝6，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵四边形FGCH是⊙O的内接四边形， ∴∠FHD＝∠FGC， ∵FH＝FD， ∴∠FHD＝∠D， ∴∠FGC＝∠D， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AF∥BG， ∴∠B＝∠FGC， ∴AB∥FG， ∵AF∥BG， ∴四边形ABGF是平行四边形； （2）解：∵⊙O与AB，AD分别相切于点E，F，且AE＝4，BE＝6， ∴AF＝AE＝4， ∴AB＝AE+BE＝10， 由（1）知四边形ABGF是平行四边形， ∴BG＝AF＝AE＝4，FG＝AB＝10，AB∥FG， 如图，连接OE交FG于点M，连接OF，过点A作AN⊥FG于点N， ∴OE⊥AB， ∴∠AEM＝90°， ∴∠EMN＝180°﹣∠AEM＝90°， ∵AN⊥FG， ∴四边形AEMN是矩形， ∴MN＝AE＝4，EM＝AN， ∴∠FMO＝180°﹣∠EMN＝90°， ∴OM⊥FG， ∴FMFG＝5， ∴FN＝FM﹣MN＝5﹣4＝1， ∴AN， ∴， 设⊙O的半径为r， 则， ∵FM2+OM2＝OF2， 即， 解得， ∴⊙O的半径为． 18．（2025秋•南京月考）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P． （1）求证∠C＝2∠A； （2）若PC＝2OP，AP，则⊙O的半径长为　　 ． 【解答】（1）证明：如图， ∵BC为切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， 即∠1+∠2＝90°， ∵OC⊥OA， ∴∠A+∠3＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠1＝∠A， 又∵∠3＝∠4， ∴∠2＝∠4， ∵∠C+∠2+∠4＝180°， 即∠C+2∠3＝180°， ∴∠C+2（90°﹣∠A）＝180°， ∴∠C＝2∠A； （2）解：∵∠2＝∠4， ∴CB＝CP， 设OP＝x，则CB＝CP＝2x， 在Rt△OBC中，OBx， ∴OAx， 在Rt△AOP中，（x）2+x2＝（）2，解得x， ∴OAx， 即⊙O的半径长为． 故答案为． 19．（2025秋•南京月考）如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【解答】（1）证明：如图， 连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， ∵O是▱ABCD的对称中心， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）解：▱ABCD是菱形． 理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1）知CD是⊙O的切线，AG＝CH． ∴CE＝CH，BG＝BE， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 20．（2024秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E． （1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）若E是的中点，且，AC＝8，求BC的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OC，过点O作直线OA， ∵OB＝OC，AB＝AC， ∴直线OA是BC的垂直平分线， ∴直线OA⊥BC， ∵AD∥BC， ∴OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：连接OE，交AC于点F，连接GC＝GB， ∵E是的中点， ∴OE⊥AC，EA＝EC＝2， ∴AF＝CFAC＝4， 在Rt△AEF中，AE＝2，AF＝4， ∴EF2， 在Rt△AOF中，设OA＝x，则OF＝x﹣2，由勾股定理得， AF2+OF2＝OA2， 即42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， 即半径为5， ∴AG＝2OA＝10， 在Rt△ACG中，AC＝8，AG＝10， ∴CG6， ∵S四边形ACGBBC•AGAC•CG×2， ∴10BC＝8×6×2， 解得BC＝9.6． 二．与切线相关的尺规做图（共5小题） 21．（2021秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 　　 ． 【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求． （2）记⊙O与AB的切点为D， 连接OD，则OC＝OD，BC＝BD＝8， 设OC＝OD＝r， 则AO＝6﹣r， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∴AD＝2， 在Rt△AOD中，由AO2＝AD2+OD2得（6﹣r）2＝22+r2， 解得r，即⊙O的半径为， 故答案为：． 22．（2025秋•秦淮区校级月考）已知：⊙O和⊙O外一点P． 尺规作图：在图中，过P点作⊙O的两条切线PE、PF，E、F为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 【解答】解：作法1： ①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C； ②以点C为圆心，CO长为半径作圆交⊙O于点E，F； ③作直线PE，PF，则直线PE，PF即为所求． 证明：连接OE、OF， 由作图轨迹可知，OP为⊙C的直径， ∴根据圆周角定理可知∠PEO＝∠PFO＝90°，即PE⊥OE，PF⊥OF， ∵OE、OF为⊙O的半径， ∴PE、PF为⊙O的切线，即直线PE，PF为所求． 作法2： ①作射线PO，与⊙O交于点M和点N； ②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P； ③以点O为圆心，以MN为半径作圆，与⊙P交于点A和点B，连接OA和OB，分别与⊙O交于点E和点F； ④作直线PE和直线PF，则直线PE，PF即为所求． 证明：连接PA、PB， 由作图轨迹可知，PA＝PO＝PB，OA＝2OE，OB＝2OF， ∴点E是OA的中点，点F是OB的中点， 根据等腰三角形三线合一可知，PE⊥OE，PF⊥OF， ∵OE、OF为⊙O的半径， ∴PE、PF为⊙O的切线，直线PE，PF为所求． 23．（2024秋•玄武区期中）已知点A在⊙O上，仅用圆规按下列要求画图： （1）在图①中画出点P，使AP是⊙O的直径； （2）在图②中画出点Q，使AQ是⊙O的切线． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【解答】解：（1）如图①中，点P即为所求； （2）如图②中，点Q即为所求． 24．（2025秋•玄武区期中）已知⊙O，按下列要求完成尺规作图．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （1）在图①中，求作一点M，使经过点M的⊙O的两条切线互相垂直； （2）点P的位置如图②所示．求作弦AB，CD，使AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为P． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图，线段AB，CD即为所求． 25．（2025秋•秦淮区校级月考）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径； （2）如图2，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦； （3）如图3，△ABC为⊙O的内接三角形，D是AB中点，E是AC中点，请画出∠BAC的角平分线． 【解答】解：（1）如图1中，线段BD即为所求作． （2）如图，线段AD即为所求作． （3）如图，射线AF即为所求作． 三．圆中最值问题（共8小题） 26．（2025秋•秦淮区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 故选：D． 27．（2025秋•江宁区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　2　 ． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 28．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．4 【解答】解：如图，连接OD，OC， ∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°， ∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC， 当点D在CK上时，CD的值最小， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴CK⊥OA， 在Rt△OCK中，∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1， ∴CK， ∵DKOA＝1， ∴CD1， ∴CD的最小值为1， 故选：A． 29．（2020•连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH． ∵CE＝EP，CH＝AH， ∴EHPA＝1， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆， ∵C（0，4），A（3，0）， ∴H（1.5，2）， ∴OH2.5， ∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5， 故选：B． 30．（2025秋•建邺区校级月考）如图，AB是⊙O的一条弦，AB＝4，点C为平面内一点．∠ACB＝90°，若点D为⊙O上任意一点，连接CD，若⊙O的半径是4，则CD长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，画出以AB为直径的圆，连接AO， ∵∠ACB＝90°， ∴点C在以AB为直径的圆上运动， ∵若点D为⊙O上任意一点， 要使CD长取得最大值，则过点M，O作直线OM分别交⊙O和⊙M于点D和点C， 即此时的CD最长， ∵M是AB的中点，DM在直径所在的直线上， ∴DM⊥AB， ∴∠AMO＝90°， ∵⊙O的半径是4，AB＝4， ∴AO＝4，AM＝2， 在Rt△AMO中，AM2+OM2＝AO2， ∴， ∴， 故选：B． 31．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（　　） A．12 B．6+2 C．6 D． 【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC， ∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠OBE＝30°， ∴OB＝2OE， ∵，CD＝2BD ∴， ∵OB2＝OE2+BE2， ∴4OE2＝OE2+27， ∵OE＞0， ∴OE＝3， ∴OB＝6， ∵， ∴， ∵AO+OD≥AD， ∴当A，O，D三点共线时，AD最大， 即：； 故选：B． 32．（2024•永昌县三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是　2　 ． 【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5， ∴BC3， 在Rt△BCO′中，BO′， ∵O′E+BE≥O′B， ∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E2， 故答案为：2． 33．（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　22　 ． 【解答】解：连接MD，如图， ∵D为EF的中点， ∴MD⊥EF， ∴∠ODM＝90°， ∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆， 当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝22， 即CD的最小值为22． 故答案为：22． 四．圆综合（共7小题） 34．（2020•秦淮区二模）在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、2，则弦BC的长度是 　2或4　 ． 【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．连接OC，OB， ∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴AEAC，ADAB＝1，AE＝CE，AD＝BD， ∴sin∠AOE，sin∠AOD， ∴∠AOE＝60°，∠AOD＝30°， ∵OC＝OA＝OB， ∴∠AOE＝∠COE，∠AOD＝∠BOD， 当AB，AC在圆心O的异侧时， ∠BOC＝180°， ∴BC是直径， ∴BC的长度为4； 当AB，AC′在圆心O的同侧时， ∠BOC′＝120°﹣60°＝60°， ∵OB＝OC′， ∴△OBC′是等边三角形， ∴BC′＝OA， ∴BC′的长度为2； ∴弦BC的长度是2或4； 故答案为：2或4． 35．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知⊙O的半径OA＝1，弦AB的长为．若在⊙O上找一点C，使AC，则∠BAC＝　15或75　 °． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F， ∵AB，AC， 由垂径定理得，AE，AF， ∵OA＝1， ∴由勾股定理得OE，OF， ∴∠BAO＝45°， ∴OFOA， ∴∠CAO＝30°， ∴∠BAC＝75°， 当AB、AC在半径OA同旁时，∠BAC＝15°． 故答案为：75或15． 36．（2025秋•建邺区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（1，2），半径为1，一次函数y＝x+b的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则b的值是　0或2　 ． 【解答】解：设直线y＝x+b与y轴交于点M，与x轴交于点N， 把x＝0代入y＝x+b得：y＝b， 把y＝0代入y＝x+b得：x+b＝0， 解得：x＝﹣b， ∴直线y＝x+b与y轴的交点坐标为M（0，b），与x轴的交点坐标为N（﹣b，0）， ∴OM＝ON， ∴△OMN为等腰直角三角形， ∴∠OMN＝∠ONM＝45°， 即直线y＝x+b与x轴、y轴的夹角都是45°， 当点P在直线y＝x+b下方时，作PC⊥AB于点C，连接PA，如图所示， ∵PC⊥AB， ∴，∠PCA＝90°， ∴， ∴∠PAC＝45°， ∵∠ANO＝45°， ∴∠PAC＝∠ANO， ∴PA∥NO，即PA∥x轴， ∴PA⊥y轴， ∵⊙P的半径为1，且P（1，2）， ∴点A在y轴上， ∴A（0，2）， 把A（0，2）代入y＝x+b得：b＝2； 当点P在直线y＝x+b上方时，作PC⊥AB于点C，连接PA，并延长，交x轴于点D，如图所示， ∵PC⊥AB， ∴∠PCA＝90°，， ∴， ∴∠PAC＝45°， ∴∠NAD＝∠PAC＝45°， ∵∠AND＝45°， ∴∠ADN＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴PD⊥x轴， ∵P（1，2）， ∴PD＝2， ∴AD＝2﹣1＝1， ∴A（1，1）， 把A（1，1）代入y＝x+b得：1＝1+b， 解得：b＝0； 综上分析可知：b＝0或b＝2． 故答案为：0或2． 37．（2025秋•南京校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD． （1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE． （2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：连接OA、OB，CD，如图①， ∵C为优弧AB的中点， ∴， ∴AC＝BC， 又∵OA＝OB， ∴O、C都在AB的垂直平分线上，即CG是AB垂直平分线， ∴CG⊥AB； ∵AD⊥BC， ∴∠CFE+∠BCG＝90°，∠CBG+∠BCG＝90°， ∴∠CBG＝∠CFE， ∵∠CBA＝∠D， ∴∠CFE＝∠D， ∴CF＝CD． 又 AD⊥BC， ∴EF＝DE； （2）解：DE+BD＝AE．理由如下： 在AE上截取EF＝DE，连接CF、CD，如图②， ∵CE⊥DF，EF＝DE， ∴CE为线段DF的垂直平分线， ∴CF＝CD． ∴∠CFD＝∠CDF， ∵AC＝BC． ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠CDA＝∠CBA， ∴∠CAB＝∠CDA． ∵∠CFD+∠CDF+∠FCD＝∠CAB+∠CBA+∠ACB＝180°， ∴∠FCD＝∠ACB． ∴∠FCD﹣∠FCB＝∠ACB﹣∠FCB， 即∠ACF＝∠BCD． 在△CAF和△CBD中， ， ∴△CAF≌△CBD（SAS）， ∴AF＝BD． ∴DE+BD＝EF+AF＝AE． ∴AE，DE，DB之间的数量关系为：DE+BD＝AE． 38．（2021秋•溧水区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 OFCD ，并证明你的结论． （2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径． 【解答】解：（1）结论：OFCD． 理由：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB． ∵OF⊥AB， ∴AF＝BF， ∵AO＝GO， ∴OF是△ABG的中位线， ∴OFBG， ∵AG是⊙O的直径， ∴∠ABG＝90°， ∴∠BAG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠EBC＝90°， ∵∠G＝∠ECB， ∴∠BAG＝∠CBD， ∴∠BAG所对弧上的圆心角等于∠CBD所对弧上的圆心角， ∴BG＝CD， ∴OFCD； （2）由（1）得：OFCD， 在Rt△AOF中，AF＝1， ∴OA， ∴⊙O的半径为． 39．（2025秋•南京校级月考）小明用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）求方案二中圆的半径； （3）在方案三中，设CE＝x（0＜x＜1），当x取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 【解答】解：（1）方案一中的最大半径为1． ∵用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面， ∴长方形的长宽分别为3，2， ∴直接取圆直径最大为2， ∴半径最大为1； （2）如图，过O作ON⊥BF于N，OM⊥AB于M， 设半径为r， ∵S△ABF＝S△BOF+S△AOB， ∵BF＝2，AB＝3， ∴， 解得； （3）设圆的半径为y， ∵EC＝x， ∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x． 类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的． 当3﹣x＜2+x时，即当时，； 当3﹣x＝2+x时，即当时，； 当3﹣x＞2+x时，即当时，． 当时，， 当时，； 当时，； ∴方案三中，当时，y最大为． 40．（2025秋•鼓楼区校级月考）解题与遐想． 如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积． 王小明： 这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉… 赵丽华： 我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n！确实非常神奇了… 数学刘老师： 大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳： 刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 计算验证 （1）通过计算求出Rt△ABC的面积． 拼图演绎 （2）将Rt△ABC分割放入矩形中（如图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明． 尺规作图 （3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【解答】解：（1）如图1， 设⊙O的半径为r， 连接OE，OF， ∵⊙O内切于△ABC， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， ∴四边形ECFO是矩形， ∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r， ∴AC＝4+r，BC＝5+r， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， （r+4）2+（r+5）2＝92， ∴r2+9r＝20， ∴S△ABC （r2+9r+20） ＝20； （2）如图2， （3）设△ABC的内切圆记作⊙F， ∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB， ∴∠BAF∠CAB，∠ABF， ∴∠BAF+∠ABF（∠BAC+∠ABC）45°， ∴∠AFB＝135°， 可以按以下步骤作图（如图3）： ①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E， ②以E为圆心，AE为半径作圆， ③过点D作AB的垂线，交圆于F， ④连接EF并延长交圆于点C，连接AC，BC， 则△ABC就是求作的三角形． 五．课后作业（共9小题） 41．（2025秋•江宁区校级月考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． 求证：（1）∠DAC＝∠DBA； （2）P是线段AF的中点． 【解答】解： （1）证明：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA， ∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA； （2）证明：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠DEB＝90°， ∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP， ∴PD＝PA， ∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°， ∴∠PDF＝∠PFD， ∴PD＝PF， ∴PA＝PF， 即P是AF的中点． 42．（2021秋•玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 　68　 °． 【解答】解：连接OB， ∵BC为切线， ∴OB⊥OB， ∴∠OBC＝90°， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠ODA＝∠BCC＝68°， ∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝22°， ∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°． 故答案为：68． 43．（2025秋•扬州期中）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为（　　） A．3 B．3.5 C． D．4 【解答】解：连接OC， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBC＝90°， 在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12， ∴， ∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积， ∴OA•AC， ∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP， ∴5AC+13BC＝5×12， ∴， 故选：C． 44．（2024•繁昌区校级自主招生）如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为　1　 ． 【解答】解：作所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图， ∵∠BAC＝135°， ∴∠BAH＝45°， ∴△BAH为等腰直角三角形， ∴AH＝BHAB1， ∵∠BAC+∠D＝180°， ∴∠D＝45°， ∴∠BOC＝2∠D＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴BCOB＝4， 在Rt△BCH中，CH， ∴AC＝CH﹣AH1． 故答案为1． 45．（2020•鼓楼区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O的半径； （2）求AD的长． 【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC， ∵BD＝6，DC＝4， ∴BC＝10， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴OBBC＝5； （2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F， ∴BF＝FC＝5， ∴DF＝1， ∵∠BOC＝90°，BF＝FC， ∴OFBC＝5， ∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC， ∴四边形OFDE为矩形， ∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5， 在Rt△AOE中，AE7， ∴AD＝AE+DE＝12． 46．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，将△AOB绕点O顺时针旋转到△COD的位置，⊙O与CD相切于点E． 求证：AB是⊙O的切线． 【解答】证明：如图，连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F， 由旋转，得△AOB≌△COD， ∴∠A＝∠C，OA＝OC， ∵⊙O与CD相切于点E， ∴CD⊥OE， ∴∠AFO＝∠CEO＝90°， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OF＝OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． 47．（2025秋•南京校级月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC＝CB， ∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D， ∵∠B＝∠E， ∴∠D＝∠E； （2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣7， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣7）2+x2＝132， 解得：x1＝12，x2＝﹣5（舍去）， ∵∠B＝∠E，∠B＝∠D， ∴∠D＝∠E， ∴CD＝CE， ∵CD＝CB， ∴CE＝CB＝12． 48．（2023秋•常州期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在OC的延长线上，且∠CAD＝∠B． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠D＝∠B，⊙O的半径是4，求AD的长． 【解答】解：（1）相切．理由如下： ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°． ∴∠CAD+∠BAC＝90° 即∠OAD＝90°，OA⊥AD， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AD与⊙O相切； （2）∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠B， ∴∠CAD＝∠D． ∴AC＝CD， ∵∠OAD＝90° ∴∠D+∠DOA＝90°，∠CAD+∠OAC＝90°， ∴∠DOA＝∠OAC． ∴OC＝AC． ∴OC＝CD． ∴OD＝2OC＝8． ∴． 49．（2025秋•南京校级月考）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B． （1）求证：； （2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）证明： 连接OB，交AD于点E． ∵BC是⊙O的切线，切点为B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OED＝∠OBC＝90°， ∴OE⊥AD， ∴； （2）∵OE⊥BC，OE过圆心O ∴AEAD＝4， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴BE3， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3 在Rt△ABE中，∠OEA＝90°， OE2+AE2＝OA2 即（r﹣3）2+42＝r2， ∴r， ∴⊙O的半径为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/17 17:11:58；用户：18247042488；邮箱：89572204@qq.com；学号：20331983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $