第3章 圆（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学圆单元提升卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化传承（如《九章算术》弧田面积）与实际情境（徽章设计、亭子地基），适配单元复习，培养几何直观、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|弦长、垂径定理、内心外心等|基础概念辨析，如第2题多知识点判断| |填空题|8/16|圆周角、正多边形、传统文化等|文化情境（第14题《九章算术》）与动态问题（第16题旋转最值）| |解答题|11/68|圆与三角形、四边形综合，实际应用|分层设计（如27题感知-理解-应用），实际应用（25题正六边形地基计算）|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆（高效培优单元自测提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是() A.2 B.4 C.8 D.10 2.下列说法：①三点确定一个圆：②垂直于弦的直径平分弦：③三角形的内心到三角形三条边的距离相 等；④垂直于半径的直线是圆的切线.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、C为圆心，BC长为半径作圆B、圆C,下 列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 4.如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边 AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为11O°，连接CD.那么∠ACD的度数为() A.55° B.45o C.35 D.25° 5.如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，以DE为直径的⊙O与AB相切于点E,若DE=5,BE=2,则 AB等于() B 29 29 A.4 B.2 c.3 D.√29 6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外接圆上，且CD平分∠ACB,则∠BAD的 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大小为() B D A.30° B.45° C.60° D.随点C的位置变化而变化 7.如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2cm的正六边形（象征六艺兼修）， 内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”，请计算这部分阴影区域的面积 为()（结果保留π） C B E A 2π B.2r a.o D.6x 8.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D,DP⊥AC,垂足为P,DH⊥BC,垂足为 瓦，有下列结论：0QH=P,②D-D,⑧1P=BM:®公=8C.其中-定成立的结论有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.如图，AB是⊙0的直径，位于AB两侧的点C,D均在⊙0上，若∠ADC=75°，则∠BOC= 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OB上 运动，当OM=4cm时，⊙M与直线OA的位置关系是 11.如图，正七边形ABCDEFG,连接对角线AE,BG交于点H,则∠I的度数为」 12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的 (60)⊙P,. v13 P 坐标为， 的半径为，则点的坐标为 P A6,0)末 13.如图，在等腰Rt△1BC中，∠A=90,AB=6N2 则此三角形的重心与外心之间的距离为 14.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一，其大 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意是弧田面积计算公式为：弧田面积=2（弦×矢十矢×矢），弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆孤弧的端点为 端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的 圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式 7 算得该弧田的面积为2平方米，则弧田弧所在的圆的半径为一 弧 弦 15.如图，△ABC和△A'BC是两个不完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm,三角板 △A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A落在AB边上时，CA'旋转所构成的扇形的弧长为一cm. =B 16.如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，且∠E=90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转 90°得到线段DF,点G是BC的中点，连接FG,则FG的最大值为 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.如图所示，BC为⊙0的直径，弦AD1BC于E,∠C=60°.求证：△ABD为等边三角形. 418 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 18.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧. (1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标_： (2)求弧AC的长（结果保留π）： 19.如图，在网格纸中，点O,A都是格点，以点O为圆心，OA为半径作圆.请仅用无刻度的直尺完成以 下画图，保留画图痕迹，不写画法 图1 图2 (1)在图1中画一个⊙O的内接正方形ABCD: (2)在图2中画一个⊙O的内接正八边形ABCDEFGH. 20.如图，已知四边形ABCD内接于⊙0，AB=AC,∠ADC=120°，连接BD (I)求∠ADB的度数： (2)求证：BD=AD+CD 21.乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O,如图所示，悬挂绳AB、AC分别切⊙O于点B、C, 连接OA, 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：OA垂直平分BC」 (2)当BC为40cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙0的面积.（结果保留π） 22.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连接EB,交OD于 点F E B (1)求证：OD⊥BE; (2)若EF=4,DF=2,求△ABC的面积. 23.如图，OO为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分∠BAD交BC于点F,连接BE. F D E (I)证明：∠AEB=∠AFD: (2)若AB=10,BF=5,求AF的长. 4.如图，B为O0的直径，射线4D交O0于点只，点C为劣F的中点，过点C作CE1D,垂 足为E,连接AC, 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 (①)求证：CE是OO的切线： (2)若∠BAC=30°，AB=4，,求阴影部分的面积. 25.如图，有一个亭子，它的地基是半径为6m的正六边形. E (1)求该地基的周长： (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用R表示，写出正六边形的面积$与R之间的函数关系式. 26.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F. (1)连接OA、OB,则∠AOB= (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径. (3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于一 27.【感知】(1)如图①，点A、B、C、D均在⊙O上，点E在⊙O外，点A、B、E三点共线， ∠ADC=60°，则∠EBC为度： 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【理解】(2)如图②，⊙0是四边形ABCD的外接圆，连接AC、DB,点O在AC上，AB=BC,若延 长DA到点E,使AE=CD,连接BE,请探究线段AD,BD,CD之间的数量关系： 【应用】(3)如图③，AB是⊙0的直径，点C、D在O0上，点C是弧AB的中点，点D为圆周上一动 点，若AB=13,AD=12,求CD的长度. B A 0. D B B 图① 图② 图③ 818 第3章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 2．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可． 本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键． 【详解】∵ ①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴ ①错误； ∵ ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴ ②正确； ∵ ③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴ ③正确； ∵ ④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴ ④错误； ∴ 正确说法有②和③，共2个． 故选：B． 3．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 4．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 5．如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质将设出来，并将表示出来，根据圆的切点性质，得出，利用勾股定理求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴， 在中，， ∴，解得． 6．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点D在外接圆上， ∴； 故选B． 7．如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 8．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出，利用补角求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 11．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       13．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键； 画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可． 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求， ∵等腰中，， ∴ ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵I是的重心， ∴是三角形三条中线的交点， ∴， 故答案为：． 14．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 15．如图，和是两个不完全重合的直角三角板，，斜边长为，三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，旋转所构成的扇形的弧长为_____． 【答案】π 【分析】先利用含角的直角三角形性质求出长度，结合旋转性质得到，判定为等边三角形，得出旋转角，最后代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：在中，，，， ∴（）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长（）． 16．如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基本知识、三角形全等判定和性质，连接，证明，则，当G、H、F共线时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的到最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 【答案】证明：∵为的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】由垂径定理得到，因此是的垂直平分线，故，根据同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论． 【详解】略 18．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 ； (2)求弧的长（结果保留π）； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． （2）解：弧的半径是． 圆心角， 则弧长是． 19．如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】(1) 解：如图所示为所求： (2) 解：如图所示为所求： 【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【详解】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 21．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 22．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； (2)40 【分析】（1）先由等边对等角得，，则，根据同位角相等两直线平行得，再根据直径所对应的圆周角为得，然后根据两直线平行，同位角相等得，即可证明； （2）先根据垂径定理得，设，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为：． 23．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 24．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 25．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 26．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 27．【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 6 7 8 答案 D B B A B A C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.30°130度 10.相切 540° 11.7 12.(32) 13.2 14.5 16.1+2,N2+1 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17 【详解】证明：，BC为⊙O的直径，AD⊥BC, .'AE DE, .'BD=BA. .4B=4B .∠D=∠C=60° .△ABD为等边三角形.3分 18. 【详解】(1)解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心. 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2,0) 如图所示，则圆心是 2分 (2)解：弧4C的半径是V2+P=V5 圆心角∠ADC=90°， 90xV5_√5π 则弧AC长是180 2.5分 19. 【详解】(1)解：如图所示为所求： .2分 (2)解：如图所示为所求： E5分 20. 【详解】(1)解：四边形ABCD内接于⊙O, ∠ABC+∠ADC=180°」 .∠ADC=120° .∠ABC=60°. 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形， ∠ACB=60°， AB=AB .∠ADB=∠ACB=60° 答：∠ADB的度数为60°.2分 (2)证明：如图， 在BD上截取BE=CD,连接AE, 由(I)知，△ABC是等边三角形， .AB=AC AD=AD ∴.∠ABE=∠ACD 在△ABE和△ACD中， (AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD :△ABE≌△ACD(SAS) .AE=AD. :∠ADB=60°， ∴.△ADE是等边三角形， .DE=AD, .BD=DE+BE=AD+CD.5分 21. 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：，悬挂绳AB、AC分别切⊙O于点B、C, .'AB=AC .OB=OC .OA垂直平分BC;2分 (2)解：，四边形ABOC为正方形时 ∴.∠BOC=90° :0B+0C2=BC .OB=OC 2.08-5nc ×40=20W2 2 2 :O0的面积0B=80(cm）…5分 22. 【详解】(I)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠C, ..OB=OD, .∠ABC=∠ODB, .∠ODB=∠C. .OD∥AC, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°」 .∠OFB=∠AEB=90°， .OD1BE;3分 (2)解：OD⊥BE, ∴.BF=EF=4,BE=8, 设OB=OA=OD=r,则OF=OD-DF=r-2, 在Rt△OBF中，OB2=OF2+BF2, 2=(0-2+4 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=5, .'AC=AB=2r=10. ÷ABC的而积为：号4C-8E=方×108=40.一6分 23 【详解】(I)证明：：AE平分∠BAD, ∠BAF=∠DAF, :AD⊥BC, .∠DAF+∠AFD=90°， :AE为⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， ∴，∠AEB+∠BAF=90° .∠AEB=∠AFD:3分 (2)解：过点B作BH⊥AE于H,如图， F D E .·∠AFD=∠BFE∠AFD=∠AEB ,∠BFE=∠AEB, ..BE=BF=5, 在Rt△ABE中，AB=I0,∠ABE=90° 则4E=VAB+BE=5?+10=55 S.weBEE BH 2 2 :BH=4BBE_10x5=25 AE5√5 ..EH FH=BE?-BH2=5 .AF=AE-EF AE-2EH=35 .6分 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 【详解】(1)证明：连接BF,OC, D E B ,AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°，即BF⊥AD, :CE⊥AD, .BF∥CE, ,点C为劣弧 的中点， .OC⊥BF, .BF∥CE, ∴OC⊥CE. ,OC是⊙0的半径， .CE是⊙0的切线.3分 (2)解：连接OF,CF, D 0 B :OA=OC,∠BAC=30°， .∠BAC=∠OAC=30°， .∠B0C=60°， BE ,点C为劣弧 的中点， 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC-BC ∠FOC=∠B0C=60°， ..OF =OC, ∴.△FOC是等边三角形， .∠0CF=60°， ∴.∠OCF=∠BOC, .CF∥AB, .SMcr=S△cor S阴影=S扇形FOC AB=4, ..OF=OC=OB=2, 60元×22 ∴.S扇形roc= 360 3九， 即阴影部分的面积为3π.…6分 25, 【详解】(1)解：连接OB、OC: :六边形ABCDEF是正六边形， ·∠B0C=360 =60°，0B=0C 6 △OBC是等边三角形， ∴.BC=OB=6m, 正六边形ABCDEF的周长=6×6=36m;2分 (2)解：过O作OG1BC于G, :aOBC是等边三角形，BC=6m, ∠0BC=60°， :OG⊥BC于G, 1BC=2 :.BG= 1 6=3m 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “在Rt△QBG中，由勾股定理OG=V0B-BG-V6-3=33m a5am8c0G=6x35=95, 2 S大边形8cDEr=6 Ssonc=6x9V5=54V3m2 F 4分 G (3)解：aOBC是等边三角形，BC=OB=R, ∠0BC=60°， OG⊥BC于G, ÷BG=BC=R 2 2 :在RA0中，由幻股定OG=o丽-G-R-传 R 2 2 4 C600c-6x 2R2 2 .6分 26. 【详解】(1)解：⊙0是△ABC的内切圆， ∴.OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, :在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠0AB+∠OBA=)(∠CAB+∠CBA0=45° .∠A0B=180°-45°=135°.3分 (2)解：设半径为r,连接OE、OF, 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, ∴由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90°OE⊥BCOF⊥AC .四边形OECF是正方形，CE=CF=r, ..AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, AB=AD+BD=4+6=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r)2=102 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， ∴.⊙0的半径r=2.6分 (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, AD=4,AB=10. 4M40=5, .MD=AM-AD=5-4=1, OD是内切圆半径，OD⊥AB, ..OD=r=2. 在RtAOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD2+MD2=V22+12=√5 R1a16C的外心和内心的距离为5 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 : M D 10分 27. 【详解】解：(1)点A、B、C、D均在⊙O上，∠ADC=60°， ∴.∠ADC+∠ABC=180° .∠ABC=180°-∠ADC=120°， 点A、B、E三点共线， ∴.∠EBC=180°-∠ABC=60°」 故答案为：60；3分 (2):⊙O是四边形ABCD的外接圆， .∠BAD+∠BCD=180°， ·∠BAD+∠BAE=180°， ∠BCD=∠BAE AB=BC.AE=CD 在△BCD和△BAE中， (BC=AB ∠BCD=∠BAE CD=AE :.△BCD≌aBAE(SAS) .BD=BE,∠CBD=∠ABE, 点O在AC上， .∠ABC=90°，即∠ABD+∠CBD=90°， .∠ABD+∠ABE=90°，即∠DBE=90°， ∴.BE2+BD2=DE2, 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=BE,DE=AD+AE,AE=CD, 2BD2=(AD+CD) 线段1D,BD,CD 间的数量关系为 AD+CD=2BD …7分 (3)当点D与点C分别在直径AB的异侧时，如图，连接AC,BC,BD,AD,过点C作CE⊥CD交 DB的延长线于点E, D B 是 的直径， E AB ⊙0 .∠BCA=∠ADB=90°， 点C是弧AB的中点， .AC=BC .AC=BC, ∴.△ABC是等腰直角三角形， .4C=BC=2AB=132 2 2,∠BAC=∠ABC=45°， ..BC=BC .∠BDC=∠BAC=45°， :.△CDE是等腰直角三角形， CD-CE-DE 2 在Rt△ABD中，BD=VAB2-AD2=V32-122=5 .∠ACD+LBCD=∠BCE+∠BCD=90°， ∴.∠ACD=∠BCE, 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CAD和△CBE中 CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE .△CAD≌△CBE, .BE=AD=12, .DE=BD+BE=5+12=17, CD-DE-17 2 2 当点D与点C分别在直径AB的同侧时，如图，连接AC,BC,BD,过点C作CE⊥CD交DB的延长线 于点E, B C 8 的直径， AB ⊙0 .∠BCA=∠ADB=90°， 点C是弧AB的中点， .AC=BC .AC=BC, ∴.△ABC是等腰直角三角形， 4C=BC=5AB-132 2 2,∠BAC=∠ABC=45°， AC-AC .∠ADC=∠ABC=45°， .∠ADE=180°-∠ADB=90° .∠CDE=∠ADE-∠ADC=90°-45°=45°， 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△CDE是等腰直角三角形， CD-CE-DE 2 在Rt△ABD中， BD=VAB2-AD2=V132-122=5 .∠ACD+∠BCD=∠DCE+∠BCD, .∠ACD=∠BCE, 在△CAD和△CBE中 CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△CAD≌△CBE, .BE=AD=12, ∴.DE=BE-BD=12-5=7, :D=20g. 。x7√2 2 2 CD=1727w5 综上所述： 2或2.11分 13/13