第1章 一元二次方程 单元试卷 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第1章 一元二次方程·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．关于的方程在取不同实数时，其实数解的个数可能是（　　） A．个或个 B．个或无数个 C．个或个 D．只有个 【答案】B 【分析】围绕“参数系数为零的特殊情形”组织等式，关键是：变形前应先判断所除的参数是否为零。 【详解】当时，可除以，得，有两个解；当时，原式为，每个实数都是解。 【易错提醒】变形前应先判断所除的参数是否为零。 2．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第20题）关于的方程有且只有一个正实数根，且两个根互不相等，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】围绕“定根与正根条件”组织等式，关键是：非负根包括零，正根不包括零。 【详解】方程因式分解为。一个根恒为，所以有且只有一个正根等价于，即，这也保证与不等。 【易错提醒】非负根包括零，正根不包括零。 3．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第22题）已知方程的两个根中，恰有一个落在开区间内，则可以取下面哪个值？（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】围绕“开区间中的根计数”组织等式，关键是：区间端点不属于开区间，两个根分别检查。 【详解】两根为。时为，恰一根在；或时两根都在内；时两根都不在内。因此选A。 【易错提醒】区间端点不属于开区间，两个根分别检查。 4．实数满足、。下面关于的判断正确的是（　　） A．都为正数 B．一正一负 C．不存在这样的实数 D．其中一个等于 【答案】C 【分析】围绕“和积条件的相容性”组织等式，关键是：代数给出的和积不一定能由两个实数实现。 【详解】若为实数，则，与平方非负矛盾，故不存在这样的实数。 【易错提醒】代数给出的和积不一定能由两个实数实现。 5．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第25题）已知是方程的两根，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】围绕“平移分母的对称分式”组织等式，关键是：先确认分母不为零，再利用和积通分。 【详解】，，且。 所以。 【易错提醒】先确认分母不为零，再利用和积通分。 6．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）若关于的方程有两个实数根，且两根都大于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】围绕“实数根与同号正性”组织等式，关键是：不能只用和、积忽略实数根条件，重根端点可取。 【详解】两根和为，两根都正等价于积，并须有实数根。合并为。 【易错提醒】不能只用和、积忽略实数根条件，重根端点可取。 7．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第21题）一件商品原售价为元。先降价，再涨价后，售价与原价相比（　　） A．不变 B．提高 C．降低 D．降低 【答案】C 【分析】围绕“相反百分率连续变化”组织等式，关键是：先后基数不同，同百分率降涨不会恢复原价。 【详解】两次变价后的售价为元，较原价少元，即降低。 【易错提醒】先后基数不同，同百分率降涨不会恢复原价。 8．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第25题）方程的两个根为。下列四个关于的方程中，根恰为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】围绕“根的非线性变换及重合”组织等式，关键是：取绝对值后原来不同的两根可能变成相同数。 【详解】原方程根为，所以，所求方程应有两个相等的根，即。 【易错提醒】取绝对值后原来不同的两根可能变成相同数。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知为实数，且、。则的取值范围是________。 【答案】 【分析】围绕“给定和积的实数可实现范围”组织等式，关键是：不能只算出上界而漏掉对称下界。 【详解】，所以。反之取、可实现，故范围为。 【易错提醒】不能只算出上界而漏掉对称下界。 10．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第26题）方程有两个不相等的实数根，且两根的和小于，则的取值范围是________。 【答案】 【分析】围绕“两种参数限制的交集”组织等式，关键是：根和负不等于两个根都负，题目只要求根和。 【详解】得。根和得，合并为。 【易错提醒】根和负不等于两个根都负，题目只要求根和。 11．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第12题）实数是方程的两个根， 则________。 【答案】 【分析】围绕“两根三次对称和”组织等式，关键是：三次和不是根和的三次方，要扣除交叉项。 【详解】，，所以。 【易错提醒】三次和不是根和的三次方，要扣除交叉项。 12．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第16题）一元二次方程的两实数根均为整数，且，则的所有可能值之和为________。 【答案】 【分析】围绕“整数根的正因子枚举”组织等式，关键是：两个整数根允许相等，也不能把根顺序算两次。 【详解】设整数根。因、，两根均为正整数，仅有与。故，其和为。 【易错提醒】两个整数根允许相等，也不能把根顺序算两次。 13．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第15题）矩形的面积为平方厘米，周长为厘米。以较长边与较短边分别作为两条直角边组成直角三角形，则它的斜边长为________厘米。 【答案】 【分析】围绕“和积转化为平方和与斜边”组织等式，关键是：不必先解出两边；斜边应取平方和的算术平方根。 【详解】矩形两边和为、积为，所以两边平方和为，斜边长厘米。 【易错提醒】不必先解出两边；斜边应取平方和的算术平方根。 14．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第26题）若实数满足， 则________。 【答案】 【分析】围绕“整体系数配方”组织等式，关键是：要使左边成为，先将原方程乘。 【详解】原式为，两边乘并加，得，即。 【易错提醒】要使左边成为，先将原方程乘。 15．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第22题）整数使方程有两个不相等的正整数根，则________。 【答案】 【分析】围绕“奇偶性与整根枚举”组织等式，关键是：不等条件排除重根；两根顺序不产生新的参数。 【详解】两正整数根和为、积为奇数，所以两根均为奇数。无序候选为或；后者不满足不相等，故积，。 【易错提醒】不等条件排除重根；两根顺序不产生新的参数。 16．若实数满足且，则________。 【答案】 【分析】围绕“平移积还原和积”组织等式，关键是：平移积中两个一次项都要保留。 【详解】展开得，所以。因此。 【易错提醒】平移积中两个一次项都要保留。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）小明解方程时，先写成，最后只得到。 （1）指出这一变形遗漏的情况，并求原方程的全部实数根。 （2）通过配方，求使这两个根到它的距离相等的实数，并求该距离。 【答案】（1）遗漏的情况；原方程的根为或。（2）所求实数为，距离为。 【分析】平方等式开方必须保留两种符号；移项配方后可同时看出两根及其对称中心。 【详解】（1）由应得到或。小明只保留了前一种情况，额外限制了。 将原方程展开并整理，得，即，所以或。二者代入原方程均成立，其中来自被遗漏的负号分支。 （2）由配方得，即。因此这两个根到实数的距离均为。 若实数到的距离相等，则，整理得，故所求实数唯一。 【易错提醒】只写会额外限制；原方程没有要求非负，不能因此删去。 【评分标准】（1分）指出开平方遗漏负号分支。 （2分）完整求出并核验两根。 （2分）通过配方确定唯一中心及公共距离。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第5题）某同学说：“只要异号，方程就有一个正根和一个负根；因此，只要有异号两根，就一定有。”其中。 （1）证明前一句正确。 （2）指出后一句是否正确；若错误，举出具体方程并说明原因。 【答案】（1）正确；（2）错误，例如。 【分析】围绕“根符号命题的逆向辨析”组织等式，关键是：整体乘以不会改变方程的根，却改变系数符号。 【详解】时，，两根为实数且不等；乘积，所以两根异号。 后一句错误。方程的根为，却有。异号根只能推出，不能指定哪个系数为正。 【易错提醒】整体乘以不会改变方程的根，却改变系数符号。 【评分标准】（3分）证明实根存在且乘积为负。 （2分）用具体反例否定加强后的逆命题。 19．（6分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第13题）已知关于的方程。 （1）当时求解。 （2）若它是一元二次方程且有两个不相等的实数根，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）且。 【分析】围绕“平方二次项系数与降次”组织等式，关键是：二次项系数是平方也可能为零；降次时不能照搬判别式。 【详解】时原式化为，故。 为一元二次方程要求，即。判别式。 得，合并为且。 【易错提醒】二次项系数是平方也可能为零；降次时不能照搬判别式。 【评分标准】（2分）正确处理的线性方程。 （2分）计算判别式。 （2分）联合严格实根与二次项非零条件。 20．（6分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第26题）关于的方程有两个实数根。 （1）求的取值范围。 （2）设，求的最小值及取得该值时的。 【答案】（1）；（2）最小值为，。 【分析】围绕“判别式确定可行域后的对称式最值”组织等式，关键是：参数最值点必须符合有实数根的前提。 【详解】，所以。 ，。故。 因为在可行域中，所以，等号在取得。 【易错提醒】参数最值点必须符合有实数根的前提。 【评分标准】（2分）求实根可行域。 （2分）用和积表示并配方。 （2分）核验等号点取得最小值。 21．（6分）一个矩形的长为厘米、宽为厘米。先沿平行于宽边的方向截去一块长厘米、宽厘米的矩形，再从剩余部分截去一块长厘米、宽厘米的矩形。两次截去部分不重叠，剩余矩形面积为平方厘米。 （1）列出方程并求全部代数根。 （2）写出实际可用的，并求两次截去部分的面积之差。 【答案】（1），；（2），面积之差平方厘米。 【分析】围绕“矩形连续裁条及有效解”组织等式，关键是：两条裁带不重叠，第二条长度改变；面积差须分清方向。 【详解】按题意，先截下的一条，剩余长；再截下的一条。由面积得，化简为，所以。 实际范围，故取。两次截去面积分别。后者减前者为。 由，得面积差，因此两次截去部分面积之差为平方厘米。 【易错提醒】两条裁带不重叠，第二条长度改变；面积差须分清方向。 【评分标准】（2分）按两次不重叠裁条列式。 （2分）求根并按边长正性筛选。 （2分）表示并化简两次裁去面积之差。 22．（8分）现计划铺一块矩形草坪，其两条相邻边长满足米，且矩形对角线长为米。 （1）求草坪的面积。 （2）求。 （3）若把条件“对角线长为米”改为“面积为平方米”，这一计划能否实现？说明理由。 【答案】（1）平方米；（2）米；（3）不能。 【分析】围绕“周长对角线双约束与可实现性”组织等式，关键是：矩形两边均须为正，判别式还决定和积数据能否实现。 【详解】，而，所以，面积平方米。 为的两根，故分别为、米，均为正数。 若面积改为，则的判别式。或由，可知面积不能实现。 【易错提醒】矩形两边均须为正，判别式还决定和积数据能否实现。 【评分标准】（2分）用和与平方和求面积。 （3分）构造二次方程求两边。 （3分）用判别式或配方证明平方米不可达。 23．（8分）某生产线原来每小时生产件产品，每天有效工作小时。改进后，每小时产量增加件（），但每天调试时间增加小时，有效工作时间相应减少，且仍大于。 （1）写出日产量与的关系式及范围。 （2）日产量能否达到件？若能求。 （3）求最大日产量。 【答案】（1），；（2）；（3）件。 【分析】围绕“效率提升与调试损失相乘模型”组织等式，关键是：产率提高不保证总产量始终增加，工作时间也随之减少。 【详解】有效工作时间为，故；日产量。 令，乘整理得，即，所以，满足范围。 ，等号在取得，所以最大日产量为件。 【易错提醒】产率提高不保证总产量始终增加，工作时间也随之减少。 【评分标准】（2分）建立日产量乘积并写范围。 （3分）解件方程并验范围。 （3分）配方给最大值及等号。 24．（8分）（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第17题）现有长米、宽米的矩形地面。沿平行于长、宽的方向各修一条道路，两路相交部分只算一次。两条路的宽分别是米和米，其中平行于长边的路宽为米。 （1）表示剩余绿地总面积。 （2）若剩余绿地面积为平方米，求路宽。 （3）某同学列式为，说明少计的面积，并解释为何应补上。 【答案】（1）；（2）路宽为米和米；（3）相交面积被多扣一次。 【分析】围绕“不等宽交叉道路的容斥面积”组织等式，关键是：交叉部分不能重复扣除；两种路宽对应的边长要写对。 【详解】去掉道路后，剩余四块绿地可平移拼成边长、的矩形，面积，范围。 令，得，即。解得，其中正号值大于舍去；负号值介于与，保留。 两条道路面积和包含同一交叉矩形两次，其面积为。总扣路面积时应只扣一次，所以应补回。 【易错提醒】交叉部分不能重复扣除；两种路宽对应的边长要写对。 【评分标准】（3分）求绿地面积式并明确范围。 （3分）求可行路宽并筛去无效根。 （2分）解释交叉面积重复扣除。 25．（10分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）方程的两个实数根为，并规定。 （1）用表示。 （2）若到数轴上表示的点的距离之和为，求与两根。 （3）若两根都在闭区间内，求的取值范围。 【答案】（1）；（2），根为；（3）。 【分析】围绕“根的中心与根距的充要范围”组织等式，关键是：闭区间端点与重根端点均允许。 【详解】，，所以，并有。 两根的平均数为，因此，结合得，于是，。 配方得，两根为。都在内等价于，即。 【易错提醒】闭区间端点与重根端点均允许。 【评分标准】（2分）写出根差平方。 （4分）结合距离与中心解出参数及根。 （4分）用平方半径取得闭区间充分必要范围。 26．（10分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第14题）某超市一种饮料原来每天售出箱，每箱利润为元；每箱降价元，每天多售出箱。设降价元，。 （1）求日利润与的关系式。 （2）配送能力为每天最多箱，若希望日利润为元，求符合配送能力的降价方案。 （3）在此配送上限下，求最大日利润。 【答案】（1）；（2）降价元；（3）元。 【分析】围绕“销售利润与配送容量的联合约束”组织等式，关键是：较高降价可能超出配送能力，不能只按方程根给两种方案。 【详解】。 由得。由，得，所以或。只有满足上限，故降价元，每天售箱。 ，等号在取得，此时销量箱，故最大日利润元。 【易错提醒】较高降价可能超出配送能力，不能只按方程根给两种方案。 【评分标准】（3分）正确表示利润与销量。 （3分）联合箱容量筛选目标利润的根。 （4分）求受限最大利润元并核验可达。 27．（10分）已知为非负整数，方程的两根均为整数。 （1）设两根为，证明。 （2）求的全部可能值。 （3）对于（2）中的每个，在不直接使用求根公式的情况下，判断方程是否仍有整数根，并说明理由。 【答案】（1）见详解；（2）；（3）两种情况均无整数根。 【分析】围绕“整根因子配对与常数扰动”组织等式，关键是：负因数也要枚举；两个根调换顺序不增加参数。 【详解】由韦达定理，，，所以。 整数因子配对仅有和。故无序根对为或，相应或，均满足条件。 时，新方程为，配方得，不是整数的平方，故无整数根。 时，新方程为，配方得，同样无整数根。 【易错提醒】负因数也要枚举；两个根调换顺序不增加参数。 【评分标准】（3分）由和积证明整根乘积恒等式。 （4分）完整枚举因子对并求。 （3分）对两个配方否定扰动后的整根。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．关于的方程在取不同实数时，其实数解的个数可能是（　　） A．个或个 B．个或无数个 C．个或个 D．只有个 2．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第20题）关于的方程有且只有一个正实数根，且两个根互不相等，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第22题）已知方程的两个根中，恰有一个落在开区间内，则可以取下面哪个值？（　　） A． B． C． D． 4．实数满足、。下面关于的判断正确的是（　　） A．都为正数 B．一正一负 C．不存在这样的实数 D．其中一个等于 5．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第25题）已知是方程的两根，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）若关于的方程有两个实数根，且两根都大于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第21题）一件商品原售价为元。先降价，再涨价后，售价与原价相比（　　） A．不变 B．提高 C．降低 D．降低 8．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第25题）方程的两个根为。下列四个关于的方程中，根恰为的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知为实数，且、。则的取值范围是________。 10．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第26题）方程有两个不相等的实数根，且两根的和小于，则的取值范围是________。 11．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第12题）实数是方程的两个根， 则________。 12．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第16题）一元二次方程的两实数根均为整数，且，则的所有可能值之和为________。 13．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第15题）矩形的面积为平方厘米，周长为厘米。以较长边与较短边分别作为两条直角边组成直角三角形，则它的斜边长为________厘米。 14．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第26题）若实数满足， 则________。 15．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第22题）整数使方程有两个不相等的正整数根，则________。 16．若实数满足且，则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）小明解方程时，先写成，最后只得到。 （1）指出这一变形遗漏的情况，并求原方程的全部实数根。 （2）通过配方，求使这两个根到它的距离相等的实数，并求该距离。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第5题）某同学说：“只要异号，方程就有一个正根和一个负根；因此，只要有异号两根，就一定有。”其中。 （1）证明前一句正确。 （2）指出后一句是否正确；若错误，举出具体方程并说明原因。 19．（6分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第13题）已知关于的方程。 （1）当时求解。 （2）若它是一元二次方程且有两个不相等的实数根，求的取值范围。 20．（6分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第26题）关于的方程有两个实数根。 （1）求的取值范围。 （2）设，求的最小值及取得该值时的。 21．（6分）一个矩形的长为厘米、宽为厘米。先沿平行于宽边的方向截去一块长厘米、宽厘米的矩形，再从剩余部分截去一块长厘米、宽厘米的矩形。两次截去部分不重叠，剩余矩形面积为平方厘米。 （1）列出方程并求全部代数根。 （2）写出实际可用的，并求两次截去部分的面积之差。 22．（8分）现计划铺一块矩形草坪，其两条相邻边长满足米，且矩形对角线长为米。 （1）求草坪的面积。 （2）求。 （3）若把条件“对角线长为米”改为“面积为平方米”，这一计划能否实现？说明理由。 23．（8分）某生产线原来每小时生产件产品，每天有效工作小时。改进后，每小时产量增加件（），但每天调试时间增加小时，有效工作时间相应减少，且仍大于。 （1）写出日产量与的关系式及范围。 （2）日产量能否达到件？若能求。 （3）求最大日产量。 24．（8分）（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第17题）现有长米、宽米的矩形地面。沿平行于长、宽的方向各修一条道路，两路相交部分只算一次。两条路的宽分别是米和米，其中平行于长边的路宽为米。 （1）表示剩余绿地总面积。 （2）若剩余绿地面积为平方米，求路宽。 （3）某同学列式为，说明少计的面积，并解释为何应补上。 25．（10分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）方程的两个实数根为，并规定。 （1）用表示。 （2）若到数轴上表示的点的距离之和为，求与两根。 （3）若两根都在闭区间内，求的取值范围。 26．（10分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第14题）某超市一种饮料原来每天售出箱，每箱利润为元；每箱降价元，每天多售出箱。设降价元，。 （1）求日利润与的关系式。 （2）配送能力为每天最多箱，若希望日利润为元，求符合配送能力的降价方案。 （3）在此配送上限下，求最大日利润。 27．（10分）已知为非负整数，方程的两根均为整数。 （1）设两根为，证明。 （2）求的全部可能值。 （3）对于（2）中的每个，在不直接使用求根公式的情况下，判断方程是否仍有整数根，并说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $