精品解析：广西壮族自治区贵港市贵百河联考2026-2027学年高一上学期10月自主练习数学试题

高一自主练习 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 若，，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义：将分式不等式中，使分子为0或分母为0的实数称为该不等式的分界点，已知不等式的两个分界点分别为，，若，则该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A，B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ） A. A货箱节，B货箱节 B. A货箱节，B货箱节 C. A货箱节，B货箱节 D. A货箱节，B货箱节 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则____________ ． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 14. 已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知命题p：关于x的方程有两个不相等的负实根；命题q：关于x的不等式的解集为． （1）若命题q为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p为真命题，命题q为假命题，求m的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）求a的值，并用定义证明函数在区间上是减函数； （2）求不等式的解集． 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19. 已知二次函数. （1）若对都满足，且.求函数的解析式； （2）对（1）中的函数，当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围； （3）已知关于的不等式的解集为，且不等式有且只有15个整数解，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一自主练习 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，且， 则， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】. 故选：D 4. 若，，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由得，所以，故A错误； 对于B，由且，两边同乘，得，故B错误； 对于C，由得，将两边同除以，得，故C错误； 对于D，由得、，因而，且， 于是，故D正确． 5. 如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知开口向上，对称轴为，函数在上单调递增； 要使函数在上单调递增，需，所以a的取值范围为. 6. 定义：将分式不等式中，使分子为0或分母为0的实数称为该不等式的分界点，已知不等式的两个分界点分别为，，若，则该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意不等式的分界点满足，解得， 则，解得， 不等式变为，等价于， 解得或，所以不等式的解集为． 7. 命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原命题，再根据充分不必要条件的定义得解. 【详解】因为对任意“”为真命题， 则对任意“”， ∵当， ∴， 因为选项是的充分不必要条件， 所以选项对应的集合是集合的真子集， 则命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A，B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ） A. A货箱节，B货箱节 B. A货箱节，B货箱节 C. A货箱节，B货箱节 D. A货箱节，B货箱节 【答案】ABC 【解析】 【分析】设安排型货箱节，型货箱节，根据甲乙货物总量列出不等式组，求出x的整数取值，匹配对应方案． 【详解】设安排型货箱节，则型货箱节， 运完所有货物，则货箱总装载量需不少于货物总量， 故，解得， 故的取值为：，对应A货箱节，B货箱节， A货箱节，B货箱节， A货箱节，B货箱节，故ABC正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出b的范围可判断D． 【详解】当时，， 则， 因为， 所以恒成立，即， 所以当时，； 当时，， 则， 令，解得或，即， 令，解得，即， 所以当或时，；当时，． 综上，， 作出的图象如下图： 对于A:，故A正确； 对于B:即， 由图知，与的图象有三个交点，即方程有3个根，故B错误； 对于C:由图知，函数的单调递增区间为，，故C正确； 对于D:当时，， 由得，， 即，解得或（舍）， 当时，， 由得，， 即， 所以， 即当时，恒成立 综上，或， 所以b的最小值为2，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案. 【详解】，，，，， ，，，，； 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 14. 已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得. 【详解】设， 又，所以在单调递增， 当时，；当时，， 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知，则当时，；当时，， 所以是方程的根， 则，即，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8， 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得，再由补集与交集的概念求解， （2）转化为集合间的关系，分类讨论求解． 【小问1详解】 ∵或， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知命题p：关于x的方程有两个不相等的负实根；命题q：关于x的不等式的解集为． （1）若命题q为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p为真命题，命题q为假命题，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集为，二次项系数大于0，只需判别式，解不等式直接求出m范围． （2）先利用一元二次方程根的条件求出p为真命题时m的取值范围；再写出q为假命题时m的取值范围；取两个范围的交集，得到最终取值． 【小问1详解】 解：若命题q为真命题，则， 整理得，即， 则，解得， 所以m的取值范围为； 【小问2详解】 解：若命题p为真命题，则： ， 解得． 若命题q为假命题，则或． 联立， 解得． 即m的取值范围是． 17. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）求a的值，并用定义证明函数在区间上是减函数； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）由 ，得，解得. 于是，. 任取，且，则 ， 因为，所以，； 又，故，从而. 于是，即， 所以函数在区间上是减函数. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式即. 由在上单调递减，得；同时与t都必须在定义域内， 故， 分别解得，，， 取交集得. 综上，不等式的解集为. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1）； （2），且时元. 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 19. 已知二次函数. （1）若对都满足，且.求函数的解析式； （2）对（1）中的函数，当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围； （3）已知关于的不等式的解集为，且不等式有且只有15个整数解，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）及已知建立不等式并分离参数，利用二次函数求出最小值即得. （3）由不等式的解集求得，再求出不等式的解集，结合整数解个数建立不等式求出范围. 【小问1详解】 由，得，由恒成立， 得，即恒成立， 因此，解得，， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 由当时，函数的图象恒在直线的上方， 得，恒成立， 而函数在单调递减，则当时，， 所以实数的取值范围. 【小问3详解】 由不等式的解集为， 得是方程的两个根，且， 则，即，， 不等式， 整理得，而，解得， 由不等式有且只有15个整数解，得，解得， 所以正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $