精品解析：广西钦州市灵山县灵山中学2026-2027学年上学期第一次月考高一数学试题

2026年秋季学期灵山中学第一次月考 高一年级数学学科试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则的值为（     ） A. B. 5 C. D. 6 5. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知：m<1，：关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 8. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 不等式的解集是 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最小值 C. D. 有最大值 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则的值为_________. 13. 学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 14. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则__________；若集合，且，则正整数的值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 将下列各式因式分解． （1）； （2）； （3）； 16. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求，，； （2）若，求实数的取值范围； 17. 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期灵山中学第一次月考 高一年级数学学科试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断D，取特殊值可判断A，B，C. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，当时，，B错误； C选项，当时，，C错误； D选项，因为，所以，又因为，所以，D正确； 故选：D. 4. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则的值为（     ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，设， 所以且，所以，. 5. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为集合，，且，则， 所以或，解得或. 故选：D. 6. 已知：m<1，：关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题的等价命题，后判断命题与的关系即可 【详解】∵：关于x的方程有两个不相等实数解 且， ∴所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 【答案】D 【解析】 【详解】分析：表示不超过的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除． 详解：设，，，，，排除A、B， 设，，，排除C．故选D 点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一． 8. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，， 对于可知其在对称轴上取得最小值， 所以，即A正确. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则，，所以，，则，即，A错； 对于B选项，因为，，则，由不等式的性质可得，B错； 对于C选项，因为，，则， 所以，，C对； 对于D选项，因为，，由不等式的性质可得，则， 由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 不等式的解集是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于不等式的解集是， 所以，B选项正确， 且，即，则， 所以，A选项正确， ，C选项错误， 不等式，即， 即，无解，D选项错误. 故选：AB 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最小值 C. D. 有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析判断即可. 【详解】对于A，，则，于是，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则的值为_________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，， 而集合的元素具有互异性，故，所以， 故答案为：0 13. 学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 【答案】5 【解析】 【分析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可得解. 【详解】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有5人． 故答案为：5． 14. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则__________；若集合，且，则正整数的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由所给定义得到集合，从而得到；第二空：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得． 【详解】第一空：因为，所以，所以; 第二空：因为， 易知集合A中任意两个元素的和最小值是，最大值是， 且对任意，，都存在，，使得， 所以，由，解得． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 将下列各式因式分解． （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法分解即可； （2）利用分组法结合平方差公式分解即可； （3）利用分组法结合立方差、平方差公式分解即可； 【小问1详解】 易知 【小问2详解】 易知 【小问3详解】 易知 16. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求，，； （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1），，或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用集合的运算可得出集合，，； （2）根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为全集，集合， 当时，， 故，，或. 【小问2详解】 因为，，， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 17. 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 【答案】（1）， （2）建在距离车站3千米处时两项费用之和最小，最小费用为6.4万元。 【解析】 【分析】（1）根据正反比例的定义求出与的解析式； （2）构造两项费用之和的函数，再利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设， 由题可知，当时，，， 解得 所以有， 【小问2详解】 总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）4 （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 时，，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 由，得， 当时，即，解集为； 当时，，不等式即为， 解集为； 当时，，不等式即为， 解集为. 故的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】（1），. （2）证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）实数的取值范围.若取到最大值，则，. 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， . 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $