期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷一）2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》人教版

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷一） 一、选择题（共20分） 1．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 7．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 10．如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 二、填空题（共16分） 11．反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 12．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 13．随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 14．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 15．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 17．二次函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；⑤．其中正确的结论有_________． 18．如图，在中，，平面上有一点P，，连接，取的中点，连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是_____________． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程． （1） （2） 20．化简求值：． （1）化简T； （2）若点在反比例函数的图象上，求T的值． 21．今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 22．已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． （1）求t的取值范围； （2）若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； （3）若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 23．如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． （1）求的面积； （2）若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； （3）当时，函数有最大值，求的值． 24．如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的度数； （3）如图3，当点在边上时，若，求的值． 25．对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． （1）下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷一） 一、选择题（共20分） 1．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 2．若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得． 3．一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 4．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次函数为整式、自变量最高次数为2的特征逐项判断． 【详解】解：选项A：，自变量最高次数为，不符合题意； 选项B： 不是整式，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，自变量最高次数为，不符合题意． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 7．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单循环赛问题的解法，找准等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解：设应邀请个队参赛，则每支球队都需要与其他球队赛场，结合2队之间只有1场比赛，可列方程为． 8．已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式可知抛物线的对称轴是，点关于的对称点是，根据二次函数的性质即可得到结果. 【详解】解：抛物线的对称轴是， 点关于的对称点是， 又抛物线中， 抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减小， ， . 9．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 10．如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得到，进而得出，进而判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，即，故A选项不正确，符合题意； ∴， ∴平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意． 二、填空题（共16分） 11．反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】9 【分析】将代入反比例函数解析式计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 13．随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 【答案】 【分析】设每次降价的百分率为，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设降价百分率为， 则有：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：降价百分率为． 14．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先确定该二次函数的开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性，结合时随增大而增大的条件，确定对称轴的位置即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 15．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系列关于的方程，求出的可能值，再结合方程有两个实数根，利用判别式验证，舍去不符合要求的解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得． 又∵， ∴， 解得或． ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ∵． 当时，，不符合有两个实数根的要求，舍去． 当时，，符合要求． ∴的值为． 17．二次函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；⑤．其中正确的结论有_________． 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数经过点和对称轴为直线，可推导出a、b、c的符号和关系，进而判断各结论的正误． 【详解】解：对于二次函数图象与x轴的一个交点坐标为， ，故③正确； 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故②不正确； ， 抛物线开口向上， ， ， ∵二次函数对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线与x轴的两个交点在y轴两侧，开口向上， 抛物线与y轴的负半轴相交， ， ，故①正确； 二次函数图象与x轴交点坐标为和， 关于x的一元二次方程的两根分别为和1，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y有最小值， 当时，函数值， ， 当时，，说法⑤没有说明，故⑤说法不正确． 综上，①③④说法正确． 18．如图，在中，，平面上有一点P，，连接，取的中点，连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是_____________． 【答案】7 【分析】取的中点，连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质得，可得点在以为圆心，为半径的圆上，即可得当点三点依次共线时最长，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∵， ， 点为中点，点为中点， 为的中位线， ， 则点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵为直角三角形，为的中点， ， 当点三点依次共线时最长， ∴的最大值为． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 20．化简求值：． （1）化简T； （2）若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，反比例函数的定义． （1）根据分式的运算法则化简即可； （2）将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 21．今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 22．已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． （1）求t的取值范围； （2）若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； （3）若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 【答案】（1）且； （2）整数的值为或； （3）成立，证明如下： ∵为正整数，且满足，， ∴， 将代入方程②，得， ∴， 将代入已知等式， 左边 ， ∴，即. ∵方程②有两个实数根， ∴判别式， 化简得， 将代入上式，得， 移项整理得， 故成立． 【分析】（1）解方程①得到用表示的解，结合解为非正数列不等式，再根据一元二次方程二次项系数不为0确定的范围； （2）将用表示后代入方程②，因式分解求出方程的两个根，结合根为负整数及的取值范围求解整数； （3）先根据的范围和正整数条件确定，再利用根与系数的关系化简已知等式，结合判别式非负证明结论． 【详解】（1）解：解方程得， ∵方程①的解为非正数， ∴，解得， ∵方程②是关于的一元二次方程， ∴，即， 综上，的取值范围是且； （2）∵， ∴； ∵， ∴； 将，代入方程②， 整理得， 因式分解得， ∴方程的根为，， ∵方程②的根为负整数，已是负整数， ∴为负整数， 化简得. ∵为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∵且， ∴当时，，此时，为正整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 当时，，不符合，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 综上，整数的值为或． （3）略． 23．如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． （1）求的面积； （2）若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； （3）当时，函数有最大值，求的值． 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【分析】（1）先求出抛物线解析式与关键点坐标，再利用割补法，把三角形面积转化为梯形与两个直角三角形面积差求解； （2）利用坐标轴上三角形面积公式，先求点横坐标，再代入抛物线解析式求纵坐标； （3）根据开口向下抛物线增减性分、两种情况讨论求最大值，求解后均要检验分类条件． 【详解】（1）解：将代入顶点式， 得， 解得． ∴抛物线解析式为，顶点为． 令，则， 解得，， ∴． 已知，，． 过点作轴，垂足为，则． ， ， ， ． （2）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 点的坐标为或． （3）解：由题意知，抛物线对称轴为直线，开口向下． ①当时，区间包含对称轴，最大值为顶点． 由题意得， 解得，满足． ②当时，随的增大而增大，最大值取； ， ， ， （舍去），． 综上，的值为或． 24．如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的度数； （3）如图3，当点在边上时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据三线合一可得，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）连接，可得，则为等腰三角形，即可解答； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，则，利用勾股定理可得，即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是等边的中线， 平分 ． 线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ． ， ，即； （2）解：如图，连接， 是等边三角形，是中线， ，即是的垂直平分线， ， ， ． 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设， ， 在中，， ，， ， 在中，根据勾股定理得，， 在中，， ， 根据勾股定理得，． 由旋转得， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 25．对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． （1）下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）①的坐标为；②个 （3） 【分析】（1）根据“单融创函数”的定义，建立其他函数与函数的方程，解方程即可得到答案； （2）①根据“单融创函数”的定义，联立函数与函数的解析式得到方程，根据有唯一解得到，进而得到点的坐标； ②根据二次函数的平移规律得到函数的解析式，联立函数与函数的解析式得到方程，解得封闭图形内的取值范围为，根据的整数解对应的整数解，取得所有封闭图形内的整点坐标，进而得到答案； （3）根据函数与函数其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点，得到函数的解析式为，进而得到函数与轴和轴的交点坐标，进而列出函数与轴，轴所围成的三角形面积的表达式，根据的取值范围进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①直线与直线不平行， 当时，解得：，故有唯一点； ②反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，解方程，即， 解得：，，故有两个不重合的公共点， 直线与反比例函数的图象有两个交点； ③二次函数图象开口向上，顶点是原点， 当时，解方程， 解得：， 二次函数与直线有一个交点， 与一次函数互为“单融创函数”的是①③； （2）解：①函数与函数互为“单融创函数”， 有唯一解，即方程有唯一解， ， 解得：， 原方程为， 解得：， 函数为：， ， 的坐标为； ②函数向下平移个单位得， 函数， 当时，即， 解得：， 即交点的横坐标约为， 当时，整数可以取， 当时，，整点可以取到、、，共个， 当时，，整点可以取到、、、，共个， 当时，，整点可以取到、、，共个， 总的整点数为个， 函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有，共个； （3）解：令抛物线中，则， 即该抛物线与轴的交点为，且其中一个公共点在轴上，则， ， 函数的顶点坐标为， 点在上， ，解得：， 函数的解析式为， 令函数中，则， 解得：， 即函数与轴的交点为，与轴的交点为， 函数与轴，轴所围成的三角形面积， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $