第2章 反比例函数期中复习练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版九年级上反比例函数期中复习 内容简要 1. 反比例函数性质； 2. K的几何意义； 3. 反比例函数与面积相结合； 4. 反比例函数与一元二次方程相结合； 5. 反比例函数应用； 6. 综合 7. 课后作业 一．反比例函数的性质（共10小题） 1．（2026秋•常熟市校级月考）如果四个点M1（﹣2，y1），M2（﹣1，y2），M3（2，y3）和在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 2．已知反比例函数y，当x＝2时，y＝_______ ；当y≥﹣1时，x的取值范围是____________ ． 3．（2022春•虎丘区校级期中）设函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b），则的值为 _______ ． 4．（2026秋•宝应县月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，6），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 5．（2026•碑林区校级模拟）反比例函数的图象经过第二、四象限，且与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y2﹣y1＝4，则k＝_______ ． 6．（2026秋•宿城区校级月考）函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b），则的值为_______ ． 7．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 8．（2026秋•江都区月考）小明将三角尺ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC＝5）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点C位于（3，0）处，BC边与x轴重合，点B在点C左侧．将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后，使点B的对应点D落在y轴上，点A的对应点E恰好落在第一象限的双曲线上，则k的值为_______ ． 9．（2026秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，矩形ABCD在第一象限内，AB平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1）． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式． 10．（2026春•北京期中）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是________ ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 … y … ﹣1.75 ﹣0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.35 6.25 … 其中m的值为_____ ； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； ②过点（0，n）作平行于x轴的直线l，结合图象解决问题：若直线l与函数的图象有三个交点，直接写出n的取值范围________ ． 二．k的几何意义（共10小题） 11．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴．则菱形ABCD的面积为（　　） A．3 B．12 C．﹣6 D．6 12．（2026•南京一模）如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝________ ． 13．（2025•定西一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点C、D在y轴上，A、B两点分别在反比例函数y（x＜0）与y（k＞0，x＜0）的图象上，若S▱ABCD＝5，则k的值为 _____ ． 14．（2026春•北仑区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为________ ． 15．（2026秋•锡山区校级月考）如图，点A（2，a）在双曲线y（x＞0）上，过D（﹣2，0）作直线AD交双曲线y（x＞0）于点B，过A作AC⊥x轴于C，连接BC，若△ABC的面积为1，则k的值为 ____________________ ． 16．（2026•雁塔区校级一模）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD＝3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为_____ ． 17．（2026秋•常熟市校级月考）如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（　　） A．5 B． C． D． 18．（2026秋•云龙区校级月考）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 19．（2026春•梁溪区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______ ． 20．（2025秋•市北区期末）如图，已知▱ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为_______ ． 三．反比例函数与面积相结合（共6小题） 21．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOB的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式kx﹣b的解集． 22．（2026春•玄武区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值； （2）关于x的不等式的解集为_______________ ； （3）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标． 23．（2026秋•锡山区校级月考）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 24．（2026秋•雨花台区校级月考）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是________ ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是________ ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 25．（2023•邹城市校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． （1）则m＝_______ ，n＝_______ ； （2）若y1≤y2时，则x的取值范围是 _______________ ． （3）过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 26．（2026秋•虎丘区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为35，求点P坐标． 四．反比例函数与一元二次方程相结合（共4小题） 27．（2026秋•秦淮区校级月考）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q．当△OPQ的面积为24时，所有满足条件的点Q的坐标为____________________ ． 28．（2026秋•宿城区校级月考）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 29．（2020•盘锦模拟）如图，反比例函数y与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣2，6）、点B（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标． （3）将一次函数y＝ax+b的图象沿y轴向下平移n个单位，使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求n的值． 30．（2026秋•江宁区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），反比例函数． （1）求直线AB的函数关系式； （2）一条与AB平行的直线CD与反比例函数图象只有一个公共点，求公共点的坐标； （3）将线段AB平移，使点A的对应点A′在反比例函数图象上，则点B的对应点B′能否在反比例函数图象上？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由． 五．反比例函数的应用（共4小题） 31．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员7：40到校打开电源，请通过计算说明：当第一节下课时（8：50），同学们能否喝到不高于50℃的温水． 32．（2026•鼓楼区二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 33．（2026秋•鼓楼区校级月考）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共4×104m3，甲车队每天运送土石方的体积为V（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为t（单位：天）． （1）V与t的函数解析式为____________________ ，当0＜t≤80时，V的取值范围是__________ ； （2）若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天需运送土石方100m3，才可按时完成任务，则完成任务的时间为________ ，实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成．且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 34．（2026秋•虎丘区校级月考）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式____________________ ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为_______ cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 六．综合（共6小题） 35．（2026秋•宿城区校级月考）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是____________________ ． 36．（2026秋•常熟市校级月考）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点N顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如．点（﹣1，1）是原点O关于函数y＝x图象的一个“直旋点” （1）在①（﹣1，2）②（1，3）③（﹣3，2）三点中，是原点O关于一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”的有 _____ （填序号）； （2）点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点A（1，3）在反比例函数y图象上，点B是在反比例函数y图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数y的“直旋点”，求点B的坐标． 37．（2025春•无锡期末）如图，点A、B是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线OA交函数图象另一支于点A′，连接AB、A′B． （1）若反比例函数的图象经过点A（2，6），点B横坐标为6．求证：∠ABA'＝90°； （2）若∠ABA'＝90°恒成立，试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系，并说明理由． 38．（2026秋•秦淮区校级月考）【探究与发现】 通过计算，不难发现： ①； ②； ③； ④． 【猜想与证明】 （1）请你补全证明过程： ∵a＞0，b＞0，____________________ ≥0， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2， ， ∴对于任意a＞0，b＞0，． 【应用与拓展】 （2）若a＞0，则当a＝_____ 时，a有最小值为_____ ． （3）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C．四边形ACOB的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由． 39．（2025春•扬州期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（3，2）_______ “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，a）是第一象限内的一个“美好点”，则a＝ _____ ； 【深入探究】 （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线y（k≠0，且k为常数）上，则k＝ _______ ； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线y上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 ____________________ （x＞0）的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 _______ ； A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点（10，）； ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 40．（2026秋•姑苏区校级月考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别为（m，0），（0，n）（m＞0，n＞0），顶点C在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上． （1）如图（1），当D点坐标为（4，1）时， ①求k2的值； ②求m，n的值． （2）如图（1），当m，n满足什么关系时，k1＞k2，并说明理由． （3）如图（2），当k1＝k2时，在AD的延长线上取一点E（a，4），过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数的图象于点G，当G为EF的中点时，代数式m2﹣m的值为_____ ．（直接写出结果） 七．课后作业（共6小题） 41．（2022•江岸区校级模拟）已知点A（a，y1），B（a+2，y2），在反比例函数的图象上，若y1﹣y2＞0，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．a＜﹣2或a＞0 42．（2025秋•彰武县期末）如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为_____ ． 43．（2026•滨城区二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（3x1+x2）（2y1﹣y2）的值为________ ． 44．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，直线yx﹣1与x轴交于点B，与双曲线y（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y交于点C．且AB＝AC，则k的值为 _____ ． 45．（2026秋•南京校级月考）如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，求△OAB的面积； （3）请直接写出不等式mx+n的解集． 46．（2025春•海州区校级期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（4，a），B（﹣8，﹣2）． （1）求k，a，b的值； （2）若点C为x轴上一点，△ABC的面积为15，求点C的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，且A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点P的坐标． 苏科版九年级上反比例函数期中复习 参考答案与试题解析 一．反比例函数的性质（共10小题） 1．（2026秋•常熟市校级月考）如果四个点M1（﹣2，y1），M2（﹣1，y2），M3（2，y3）和在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【解答】解：四个点M1（﹣2，y1），M2（﹣1，y2），M3（2，y3）和在反比例函数的图象上， ∴k＝m2+1≥1＞0． 对于点M1（﹣2，y1）：， 对于点M2（﹣1，y2）：， 对于点M3（2，y3）：． ∵k＞0， ∴，即y2＜y1＜0， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：A． 2．已知反比例函数y，当x＝2时，y＝　﹣1　 ；当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0　 ． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣2＜0， ∴此函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵当x＝2时，y＝﹣1， ∴当y≥﹣1时，x≥2或x＜0． 故答案为：﹣1，x≥2或x＜0． 3．（2022春•虎丘区校级期中）设函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b），则的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b）， ∴b，b＝a+1， ∴ab＝2，a﹣b＝﹣1， ∴1， 故答案为：﹣1． 4．（2026秋•宝应县月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，6），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F， 由条件可知四边形OEBF是矩形， ∴∠EBF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，∠ABE+∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE＝BF，AE＝CF， ∴四边形OEBF是正方形， 设正方形OEBF的边长为m，则AE＝m﹣1，CF＝6﹣m， ∴m﹣1＝6﹣m， 解得， ∴B点的坐标为， ∴． 故选：D． 5．（2026•碑林区校级模拟）反比例函数的图象经过第二、四象限，且与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y2﹣y1＝4，则k＝　﹣2　 ． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，且与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴k＜0，x1＝﹣x2，y1＝﹣y2， ∵y2﹣y1＝4， ∴2y2＝4，即y2＝2， ∴y1＝﹣y2＝﹣2， ∵点A（x1，y1）既在反比例函数的图象上，也在正比例函数y＝kx上， ∴y1，y1＝kx1， ∴k2， ∵y1＝﹣2， ∴k2＝4， ∵k＜0， ∴k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 6．（2026秋•宿城区校级月考）函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b），则的值为　﹣3　 ． 【解答】解：∵函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b）， ∴ab＝1，b＝a﹣3， ∴b﹣a＝﹣3， ∴3， 故答案为：﹣3． 7．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D， ∵O（0，0），A（2，0），B（，1）， ∴BD＝1，OD， ∴AD＝OD，tan∠BOA， ∴OB＝AB2，∠BOA＝∠BAO＝30°， ∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°， ∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称， ∴∠OBA′＝120°， ∴∠OBA′+∠OBD＝180°， ∴点A′、B、D共线， ∴A′B＝AB＝2， ∵A′C＝BC， ∴BC＝1，CD＝2， ∴点C（，2）， ∵点C（，2）在反比例函数y的图象上， ∴k2＝2， 故选：A． 8．（2026秋•江都区月考）小明将三角尺ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC＝5）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点C位于（3，0）处，BC边与x轴重合，点B在点C左侧．将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后，使点B的对应点D落在y轴上，点A的对应点E恰好落在第一象限的双曲线上，则k的值为　21　 ． 【解答】解：如图，作EF⊥x轴，垂足为F， 由旋转性质可知CD＝CE＝5， 又∵C（3，0）， ∴OC＝3， ∴OD4， 在△DOC和△CFE中， ， ∴△DOC≌△CFE（AAS）， ∴CF＝OD＝4，OC＝EF＝3， ∴OF＝3+4＝7， ∴E（7，3）， ∵点E在反比例函数图象上， ∴k＝7×3＝21． 故答案为：21． 9．（2026秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，矩形ABCD在第一象限内，AB平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1）． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1）， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝1， ∴B（4，1），C（4，2），D（2，2）； （2）猜想：A、C落在反比例函数的图象上， 设矩形平移后点A的坐标是（2，1﹣m），点C的坐标是（4，2﹣m）， ∵A、C落在反比例函数的图象上， ∴k＝2（1﹣m）＝4（2﹣m）， 解得m＝3， 即矩形平移后A的坐标是（2，﹣2），代入反比例函数的解析式得：k＝2×（﹣2）＝﹣4， 即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y． 10．（2026春•北京期中）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是x≠2　 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 … y … ﹣1.75 ﹣0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.35 6.25 … 其中m的值为　4　 ； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； ②过点（0，n）作平行于x轴的直线l，结合图象解决问题：若直线l与函数的图象有三个交点，直接写出n的取值范围n＞4　 ． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|≠0， ∴x﹣2≠0，即x≠2， 故答案为：x≠2； （2）当x＝3时，， ∴m＝4， 故答案为：4； （3）①描点，连线得， ②观察函数图象可知，在直线y＝4时即n＝4，直线y＝4与函数有2个交点，在 n＞4时，有3个交点， 故答案为：n＞4． 二．k的几何意义（共10小题） 11．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴．则菱形ABCD的面积为（　　） A．3 B．12 C．﹣6 D．6 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E， 由条件可知四边形BDEO是矩形， ∴S矩形OBDE＝k， ∴S△BCDS菱形ABCDS矩形OBDEk， ∵菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，k＝6， ∴S菱形ABCD＝k＝6， 故选：D． 12．（2026•南京一模）如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝　﹣20　 ． 【解答】解：设AO＝a，CD＝b， ∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形， ∴AO＝AB＝a，BOa， CD＝BC＝b，DBb， ∴D（﹣a﹣b，a﹣b）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（﹣a﹣b）（a﹣b）＝k，即b2﹣a2＝k， 又∵S△OAB﹣S△BCD＝10，即， ∴﹣k＝20， ∴k＝﹣20． 13．（2025•定西一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点C、D在y轴上，A、B两点分别在反比例函数y（x＜0）与y（k＞0，x＜0）的图象上，若S▱ABCD＝5，则k的值为 　3　 ． 【解答】解：连接OA、OB，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB垂直x轴， ∴S△OAE|k|，S△OBE2＝1， ∴S△OAB1， ∵▱ABCD的面积＝2S△OAB＝5． ∴|k|+2＝5， 解得k＝﹣3或3， ∵k＞0． ∴k＝3． 故答案为：3． 14．（2026春•北仑区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为　﹣12　 ． 【解答】解：过点A和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵点D的横坐标为﹣6， ∴点D坐标为（﹣6，）． ∵点D为BC的中点， ∴， 则点A坐标为（﹣3，）． 根据反比例函数系数k的几何意义可知， S梯形AMND＝S△AOD＝9， ∴， 解得k＝﹣12． 故答案为：﹣12． 15．（2026秋•锡山区校级月考）如图，点A（2，a）在双曲线y（x＞0）上，过D（﹣2，0）作直线AD交双曲线y（x＞0）于点B，过A作AC⊥x轴于C，连接BC，若△ABC的面积为1，则k的值为 　　 ． 【解答】解：∵点A（2，a）在反比例函数y的图象上， ∴a＝﹣3，即AC＝3， ∴A（2，﹣3）， ∵△ABC的面积为1， ∴△ABC中AC边上的高为：， ∴点B的横坐标为2， 设直线AD的解析式为y＝kx+b，A（2，﹣3），D（﹣2，0）在一次函数图象上， ，解得， ∴直线AD解析式为y， 当x时，y， ∴B（，）， ∵点B在反比例函数图象上， ∴k． 故答案为：． 16．（2026•雁塔区校级一模）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD＝3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为　6　 ． 【解答】解：如图，连接BM． 由条件可知点O、M、B三点共线，且OM＝BM，△DOB的面积为9， ∵BD＝3CD． ∴， ∴k＝2S△COD＝6， 故答案为：6． 17．（2026秋•常熟市校级月考）如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（　　） A．5 B． C． D． 【解答】解：设点D的坐标为， ∵点D为矩形对角线OB，CA的交点， ∴点D为对角线OB的中点， ∴， ∵四边形OABC为矩形， ∴点F的横坐标为2a，E点的纵坐标为， ∴，， ∵四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED， ∴， 解得：，故D正确． 故选：D． 18．（2026秋•云龙区校级月考）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【解答】解：∵A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O， ∴根据反比例函数的对称性得：点A，B关于点O对称， ∴OA＝OB， ∵△OBC的OB上的高与△OAC的OA上的高相同，△ABC的面积是4， ∴S△OBC＝S△OACS△ABC＝2， ∵BC⊥x轴， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBC|k|＝2， ∵|k|＝4， ∵该反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：D． 19．（2026春•梁溪区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是　①④　 ． 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确， 如图： 当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误； 综上，①④正确、②③错误． 故答案为：①④． 20．（2025秋•市北区期末）如图，已知▱ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为　10　 ． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴， 设S△ABE＝a， ∵若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8， ∴， 解得a＝2， ∴， ∴k＝10， 故答案为：10． 三．反比例函数与面积相结合（共6小题） 21．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOB的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式kx﹣b的解集． 【解答】解：（1）由条件可得：，即m＝6， ∴， 将B（3，n）代入得， ∴B（3，2）， 将A（1，6）、B（3，2）代入y＝kx+b得， 解得， ∴y＝﹣2x+8； （2）由条件可得C（4，0）， ∴OC＝4， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ＝12﹣4 ＝8； （3）即， 作y＝﹣2x﹣8及的图象如下： 可知不等式的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 22．（2026春•玄武区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值； （2）关于x的不等式的解集为x＞1或﹣2＜x＜0　 ； （3）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝1+1＝2， ∴A（1，2）， ∴k＝1×2＝2； （2）由条件可知：， 整理得x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为﹣2， 则由图可知，不等式的解集为x＞1或﹣2＜x＜0； 故答案为：x＞1或﹣2＜x＜0； （3）如图，直线AB交y轴于点C， 当x＝0时，y＝0+1＝1， 则C（0，1）， 设P（0，n），则CP＝|n﹣1|， ∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2， ∴， ∵S△ABP＝6， ∴，则n﹣1＝4或n﹣1＝﹣4， 解得n＝5或n＝﹣3， 则P（0，5）或（0，﹣3）． 23．（2026秋•锡山区校级月考）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y， ∵A（﹣1，6）在反比例函数图象上， 解得k1＝﹣1×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y， 把B（3，a﹣3）代入y，可得 a﹣3， 解得a＝1， ∴B（3，﹣2）， 设一次函数的解析式为y＝k2x+b， 将A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝k2x+b， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣2x+4； （2）当y＝0 时，可得0＝﹣2x+4，解得x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， ∴s△OAB＝S△OAC+S△OBC， ∵S△OAM＝S△OAB， ∴S△OAM8， ∴OM， ∴点M的坐标为（，0）或（，0）． 24．（2026秋•雨花台区校级月考）如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是x＞2　 ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2　 ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2， 解得：k， 把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3． ∴A（2，3）． 把A（2，3）代入y得：m＝6． ∴k的值为，m的值为6． （2）由（1）知，y2， 当y2＜3时，即3， 解得x＞2， 故答案为：x＞2或x＜0； （3）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2． 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2． （4）当x＝0时，yx+2＝2． ∴B（0，2）， ∵P（a，0）为x轴上的一动点， ∴PC＝|a+4|． ∴S△CBPPC•OB|a+4|×2＝|a+4|， S△CAPPC•yA|a+4|×3|a+4|， ∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP， ∴|a+4||a+4|， ∴a＝1或a＝﹣9． 25．（2023•邹城市校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． （1）则m＝　﹣6　 ，n＝　﹣1　 ； （2）若y1≤y2时，则x的取值范围是 　﹣2≤x＜0或x≥6　 ． （3）过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（6，n）在反比例函数y2的图象上， ∴m＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y2， ∵B（6，n）在反比例函数y2的图象上， ∴6n＝﹣6， ∴n＝﹣1， 故答案为：﹣6，﹣1； （2）由（1）知，n＝﹣1， ∴B（6，﹣1）， ∵A（﹣2，3）， ∴当﹣2≤x＜0或x≥6时，y1≤y2， 故答案为：﹣2≤x＜0或x≥6； （3）∵BC⊥y轴，B（6，﹣1）， ∴BC＝6， ∵A（﹣2，3）， ∴点A到BC的距离h＝3﹣（﹣1）＝4， ∵A（﹣2，3），B（6，﹣1）， ∴AB4， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCBC•hAB•CD， ∴CD． 26．（2026秋•虎丘区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为35，求点P坐标． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为； 把B（1，n）代入中，得出， ∴B（1，﹣6）， 则把A（﹣6，1）和B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b可得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣x﹣5； （2）依题意，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1）、B（1，﹣6）两点． 则结合图象，当时，则﹣6≤x＜0或x≥1； （3）如图，记直线AB与直线x＝﹣2的交点为C， 由条件可得：C（﹣2，﹣3）， ∵P是直线x＝﹣2上的一个动点， ∴设点P（﹣2，p）， ∵△PAB的面积为35， ∴， 即， ∴|﹣3﹣p|＝10， 解得p＝7或﹣13， ∴点P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣13）． 四．反比例函数与一元二次方程相结合（共4小题） 27．（2026秋•秦淮区校级月考）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q．当△OPQ的面积为24时，所有满足条件的点Q的坐标为　或（﹣12，﹣1）　 ． 【解答】解：设点P的横坐标为m，则， ∵PQ∥y轴，点Q在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵△OPQ的边PQ上的高为点O到直线PQ的距离，即|m|， ∴， ∴， ∵S△OPQ＝24， ∴， ∴， ∴或， 当时， 整理得m2+2m﹣120＝0， 解得m1＝10，m2＝﹣12， 当时， 整理得m2+2m+72＝0， ∵Δ＝22﹣4×72＜0， ∴该方程无实数根， 当m＝10时，，此时， 当m＝﹣12时，，此时Q（﹣12，﹣1）， 综上所述，点Q的坐标为或（﹣12，﹣1）． 故答案为：或（﹣12，﹣1）． 28．（2026秋•宿城区校级月考）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）根据题意可知点B的坐标为（2，0）． 将B（2，0）代入y＝﹣2x+b中，可得﹣2×2+b＝0，解得b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4． 将A（﹣1，n）代入y＝﹣2x+4中，可得﹣2×（﹣1）+4＝n，解得n＝6， ∴点A的坐标为（﹣1，6）， ∴k＝（﹣1）×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图，当∠POA＝∠BAO时，OP∥AB（内错角相等，两直线平行）． ∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+4， ∴直线OP的解析式为y＝﹣2x． 联立y＝﹣2x与得，﹣2x， 整理得x2＝3，解得x或． ∵点P在第二象限， ∴点P的横坐标为， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为（，）． 29．（2020•盘锦模拟）如图，反比例函数y与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣2，6）、点B（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标． （3）将一次函数y＝ax+b的图象沿y轴向下平移n个单位，使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求n的值． 【解答】解：（1）把A（﹣2，6）代入y得k＝﹣2×6＝﹣12， ∴反比例函数解析式为y， 把B（n，1）代入y得n＝﹣12，则B（﹣12，1）， 把A（﹣2，6）、B（﹣12，1）代入y＝ax+b得，解得， ∴一次函数解析式为yx+7； （2）设yx+7与y轴的交点为Q，易得Q（0，7），设E（0，m）， ∴S△AEB＝S△BEQ﹣S△AEQ＝5， |m﹣7|×（12﹣2）＝5，解得m1＝6，m2＝8． ∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）； （3）由题意得x+7﹣n， 方程变形为x2+（14﹣2n）x+24＝0， ∵平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点， ∴Δ＝（14﹣2n）2﹣4×24＝0， 解得n1＝7+2，n2＝7﹣2， 即n的值为7±2． 30．（2026秋•江宁区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），反比例函数． （1）求直线AB的函数关系式； （2）一条与AB平行的直线CD与反比例函数图象只有一个公共点，求公共点的坐标； （3）将线段AB平移，使点A的对应点A′在反比例函数图象上，则点B的对应点B′能否在反比例函数图象上？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线AB的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 代入点A（0，4），点B（2，0），得， 解得， ∴直线AB的函数关系式为y＝﹣2x﹣4； （2）设直线CD的函数关系式为y＝﹣2x+m， 联立方程组， 化简得2x2﹣mx+6＝0， ∵直线CD与反比例函数图象只有一个公共点， ∴， 由题得x＞0， ∴， 则， 故公共点坐标为； （3）点B′能在反比例函数图象上， 设A′（a，﹣2a+m），B′（b，﹣2b+m）， 则有， 解得 所以B′（3，2）． 五．反比例函数的应用（共4小题） 31．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员7：40到校打开电源，请通过计算说明：当第一节下课时（8：50），同学们能否喝到不高于50℃的温水． 【解答】解：（1）某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，则： 由题意可知，加热阶段y与x是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为y＝k1x+b． 因为初始水温为20℃， 所以b＝20． 因为每分钟上升20℃， 所以k1＝20． 所以加热阶段的函数表达式为y＝20x+20． 当y＝100时，100＝20x+20， 解得x＝4． 所以加热阶段的函数表达式为y＝20x+20（0≤x≤4）． 由题意可知，水温下降阶段y与x成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点（4，100）， 所以， 解得k2＝400． ∴． 当y＝20时，， 解得x＝20． 所以． 综上：加热阶段的函数表达式为y＝20x+20（0≤x≤4）， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）从7：40到8：50经过的时间为：1小时10分钟＝70分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．70÷20＝3……10． 所以8：50时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为4＜10≤20， 所以此时处于水温下降阶段． 将x＝10代入，得． 因为40＜50， 所以能喝到不高于50℃的温水． 答：同学们能喝到不高于50℃的温水． 32．（2026•鼓楼区二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【解答】解：（1）设每个双肩包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）当y＝32时，， ∴x＝5000． 经检验，x＝5000是原方程的根， ∴应生产5000个双肩包． 33．（2026秋•鼓楼区校级月考）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共4×104m3，甲车队每天运送土石方的体积为V（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为t（单位：天）． （1）V与t的函数解析式为　　 ，当0＜t≤80时，V的取值范围是V≥500　 ； （2）若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天需运送土石方100m3，才可按时完成任务，则完成任务的时间为　20天　 ，实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成．且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【解答】解：（1）由题意可得：Vt＝4×104， ∴， ∴当t＞0时，V随着t的增大而减小， 当t＝80时，， ∴当0＜t≤80时，V≥500； 故答案为：，V≥500； （2）原计划完成任务的时间为天， 设乙车队要派出x辆同样的卡车才能按新要求完成任务， 由题意可得，（20﹣8﹣4）×100x≥4×104﹣（20×100×8）， 解得x≥30， 故乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务． 34．（2026秋•虎丘区校级月考）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式　　 ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为　10　 cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为，代入图像上点（1，20）得k＝1×20＝20， ∴； 故答案为：； （2）∵，ρ＝2， 得； 故答案为：10； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效）， 由题意可知，h≥5，即，解得ρ≤4， 又ρ＞0， ∴0＜ρ≤4g/cm3， 答：该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围为0＜ρ≤4g/cm3． 六．综合（共6小题） 35．（2026秋•宿城区校级月考）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是　　 ． 【解答】解：点A1，A2，A3…在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，⋯，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…， 由题意可知△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形， 联立，得， 解得：，， ∴A1（1，1）， ∴OB1＝2， 设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当n＝2026时，， ∴ 故答案为：． 36．（2026秋•常熟市校级月考）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点N顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如．点（﹣1，1）是原点O关于函数y＝x图象的一个“直旋点” （1）在①（﹣1，2）②（1，3）③（﹣3，2）三点中，是原点O关于一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”的有 　③　 （填序号）； （2）点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点A（1，3）在反比例函数y图象上，点B是在反比例函数y图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数y的“直旋点”，求点B的坐标． 【解答】解：（1）①点（﹣1，2）绕原点顺时针旋转90°得点（2，1）， 当x＝2时，y＝3， ∴点（﹣1，2）不是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； ②点（1，3）绕原点顺时针旋转90°得点（3，﹣1）， 当x＝3时，y＝5， ∴点（1，3）不是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； ③点（﹣3，2）绕原点顺时针旋转90°得（2，3）， 当x＝2时，y＝3， ∴点（﹣3，2）是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； 故答案为：③； （2）点M（﹣2，4）绕点N（1，0）顺时针旋转90°得点（5，3）， ∵点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”， ∴3， ∴k＝15； （3）∵点A（1，3）在反比例函数y图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数为y， 设点B（m，）， ∴点B绕点A（1，3）顺时针旋转90°得点（2，4﹣m）， ∵点B是点A关于函数y的“直旋点”， ∴（2）（4﹣m）＝3， 解得m＝6或m＝1（舍去）， ∴B（6，）． 37．（2025春•无锡期末）如图，点A、B是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线OA交函数图象另一支于点A′，连接AB、A′B． （1）若反比例函数的图象经过点A（2，6），点B横坐标为6．求证：∠ABA'＝90°； （2）若∠ABA'＝90°恒成立，试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：由题意，∵反比例函数的图象经过点A（2，6）， ∴k＝2×6＝12． ∴反比例函数为y． 又∵点B横坐标为6，且B在反比例函数y上， ∴B（6，2）． 由题意，∵直线OA交反比例函数图象于点A、A′，且直线OA与反比例函数均关于原点对称， ∴A'（﹣2，﹣6）． ∴AA'4，A'B8，AB4． ∴A'B2+AB2＝AA'2． ∴∠ABA'＝90°． （2）解：点A与点B横坐标乘积为k，理由如下： 由题意，设A（m，），B（n，）（0＜m＜n，且m≠n）， 又∵A与A'关于原点对称， ∴A'（﹣m，）． 又∵∠ABA'＝90°， ∴OBAA'． 又∵AA'2，OB， ∴． ∴n2m2． ∴（m2﹣n2）（m2﹣n2）． 又∵0＜m＜n，且m≠n， ∴m2﹣n2≠0． ∴m2n2＝k2． 又∵0＜m＜n，k＞0， ∴mn＝k．， 38．（2026秋•秦淮区校级月考）【探究与发现】 通过计算，不难发现： ①； ②； ③； ④． 【猜想与证明】 （1）请你补全证明过程： ∵a＞0，b＞0，　　 ≥0， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2， ， ∴对于任意a＞0，b＞0，． 【应用与拓展】 （2）若a＞0，则当a＝　1　 时，a有最小值为　2　 ． （3）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C．四边形ACOB的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】（1）证明：a＞0，b＞0，0， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2， ， ∴对于任意a＞0，b＞0，， 故答案为：； （2）解：∵a＞0， ∴， ∴当时，即a＝1 时，有最小值2， 故答案为：1；2； （3）解：四边形ACOB的周长存在最小值，最小值为12，此时A（3，3）．理由如下： 设， ∴AC＝m，， ∴四边形ACOB的周长为． ∵m＞0， ∴， ∴当时，即m＝3时， ∴四边形ACOB的周长最小值为12，此时A（3，3）． 39．（2025春•扬州期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（3，2）　不是　 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，a）是第一象限内的一个“美好点”，则a＝ 　4　 ； 【深入探究】 （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线y（k≠0，且k为常数）上，则k＝ 　18　 ； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线y上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 　　 （x＞0）的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 AB ； A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点（10，）； ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6， ∴点C（2，3）不是“美好点”， ∵点D（4，a）是第一象限内的一个“美好点”， ∴2×（4+a）＝4a， 解得：a＝4， 故答案为：不是，4； （2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”， ∴2×（m+6）＝6m， 解得：m＝3， ∴E（3，6）， 将E（3，6）代入双曲线， 得k＝18， 故答案为：18； ②∵F（2，n）在双曲线上， ∴， ∴F（2，9）， 设直线EF的解析式为：y＝ax+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣3x+15， 令直线EF与x轴交于点G， 当y＝0时，﹣3x+15＝0， ∴x＝5， ∴G（5，0）， ∴； （3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”， ∴2（x+y）＝xy， 化简得：， 由题意可得： ， ∴x＞2， ∴（x＞2）； ②如图： 该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B．由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意； C．y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D．当x＝10时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④∵， ∴， ∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是为定值，定值为﹣4． 40．（2026秋•姑苏区校级月考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别为（m，0），（0，n）（m＞0，n＞0），顶点C在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上． （1）如图（1），当D点坐标为（4，1）时， ①求k2的值； ②求m，n的值． （2）如图（1），当m，n满足什么关系时，k1＞k2，并说明理由． （3）如图（2），当k1＝k2时，在AD的延长线上取一点E（a，4），过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数的图象于点G，当G为EF的中点时，代数式m2﹣m的值为　6　 ．（直接写出结果） 【解答】解：（1）①将点D（4，1）代入反比例函数y中， ∴k2＝4×1＝4， 即k2的值为4； ②如图（1），过点D作DM⊥x轴于点M， ∴∠AOB＝∠AMD＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAM＝∠DAM+∠ADM＝90°， ∴∠BAO＝∠ADM， 在△AOB和△DMA中， ， ∴△AOB≌△DMA（AAS）， ∴OB＝AM＝n，OA＝DM＝m， ∴OM＝m+n， ∴D（m+n，m）， ∴D（4，1）， ∴， ∴， ∴m，n的值为1，3； （2）当m＜n时，k1＞k2，理由如下： 如图（2），过点C作CN⊥y轴于点N， 由（1）知，△AOB≌△BNC（AAS），k2＝m（m+n）， ∴OB＝CN＝n，OA＝NB＝m， ∴ON＝m+n， ∴C（n，m+n）， ∴k1＝n（m+n）， ∵k1＞k2， ∴n（m+n）＞m（m+n）， ∵m＞0，n＞0， ∴m＜n，即当m＜n时，k1＞k2； （3）如图（3），过点E作EH⊥x轴于点H， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴EH＝AH＝HF， ∵E（a，4）， ∴EH＝4，AH＝HF＝4， ∴OH＝OA+AH＝m+4， ∴E（m+4，4），F（m+8，0）， ∵点G是EF的中点， ∴G（m+6，2）， 由（2）知k1＝n（m+n），k2＝m（m+n）， ∵k1＝k2， ∴m＝n， ∴k1＝k2＝2m2， ∵点G（m+6，2）在y上， ∴2m2＝2（m+6）， 整理得，m2﹣m＝6， 故答案为：6． 七．课后作业（共6小题） 41．（2022•江岸区校级模拟）已知点A（a，y1），B（a+2，y2），在反比例函数的图象上，若y1﹣y2＞0，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．a＜﹣2或a＞0 【解答】解：∵|k|+1≥1＞0， ∴在各个象限内，y随x的增大而减小， ∵a＜a+2，y1﹣y2＞0， ∴点A（a，y1），B（a+2，y2）在同一象限内， ∴a＜a+2＜0或a+2＞a＞0，即a＜﹣2或a＞0， 故选：D． 42．（2025秋•彰武县期末）如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为　3　 ． 【解答】解：如图，连接OP， 设，则，， ∴，PB＝xB﹣xP＝a， ∴ ． 故答案为：3． 43．（2026•滨城区二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（3x1+x2）（2y1﹣y2）的值为　﹣18　 ． 【解答】解：∵点A（x1，y1）在反比例函数的图象上， ∴x1y1＝﹣3， ∵一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1， ∴3x1+x2＝3x1+（﹣x1）＝2x1，2y1﹣y2＝2y1﹣（﹣y1）＝3y1， ∴（3x1+x2）（2y1﹣y2）＝2x1•3y1＝6x1y1，＝6×（﹣3）＝﹣18． 故答案为：﹣18． 44．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，直线yx﹣1与x轴交于点B，与双曲线y（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y交于点C．且AB＝AC，则k的值为 　4　 ． 【解答】解：∵直线yx﹣1与x轴交于点B， ∴当y＝0时，x＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 又∵过点B作x轴的垂线，与双曲线y交于点C， ∴点C的坐标为（2，）， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴点A的纵坐标为， ∵点A在双曲线y上， ∴，得x＝4， 又∵点A（4，）在直线yx﹣1上， ∴ 解得k＝4． 故答案为：4． 45．（2026秋•南京校级月考）如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，求△OAB的面积； （3）请直接写出不等式mx+n的解集． 【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y得k＝12． ∴反比例函数表达式为y． 把点B（a，1）的坐标代入y得a＝12． ∴B点坐标为（12，1）． 把A（2，6）、B（12，1）代入y＝mx+n得， 解得． ∴一次函数的表达式为yx+7． （2）设一次函数yx+7的图象与x轴相交于C点． 则C点坐标为（14，0）． ∴OC＝14． ∵A点坐标为（2，6）， ∴A点到x轴的距离为6．即△AOC的高为6， ∴△AOC的面积为：14×6＝42． ∵B点坐标为（12，1）， ∴B点到x轴的距离为1．即△BOC的高为6． ∴△BOC的面积为：14×1＝7． ∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC， ∴S△AOB＝42﹣7＝35； （3）由图象得，不等式mx+n的解集为0＜x＜2或x＞12． 46．（2025春•海州区校级期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（4，a），B（﹣8，﹣2）． （1）求k，a，b的值； （2）若点C为x轴上一点，△ABC的面积为15，求点C的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，且A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数yx+b的图象过点B（﹣8，﹣2）， ∴﹣2＝﹣4+b， ∴b＝2． ∵反比例函数y的图象过点B（﹣8，﹣2）， ∴k＝（﹣8）×（﹣2）＝16． 当x＝4时，a4， ∴点A的坐标为（4，4）； （2）设直线yx+2与x的交点为D， 令y＝0时，0x+2， 解得x＝﹣4， ∴D（﹣4，0） 设点C的坐标为（t，0）， ∴CD＝|x+4|， ∵△ABC的面积为15， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD， ∴|x+4|•4|x+4|•2＝15， 解得x＝﹣9或1， ∴点C的坐标为（﹣9，0）或（1，0）； （3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）． 分两种情况考虑： ①AB为边，如图2所示． 当四边形AP1Q1B为平行四边形时，， 解得， ∴点P1的坐标为（0，）； 当四边形ABP2Q2为平行四边形时，， 解得， ∴点P2的坐标为（0，）； ②AB为对角线，如图3所示． ∵四边形APBQ为平行四边形，， 解得， ∴点P的坐标为（0，6）． 综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，），（0，）或（0，6）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $