山西忻州市原平市范亭中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.【答案】A 【解析】直线过A(-1,)、B1,3)两点，则直线的斜率款=台=1，直线的倾斜角为号 2.【答案】B 【解析】解：因为A,B,C三点共线，则AB=1AC,又向量AB=(1,m,-3),AC=（-3,6,9), (1=-31 所以m=6,解得1=-号m=-2, (-3=91 3.答案：D.【解析】解：BM=AM-A丽=AA+AC)-AE A =A+AA+丽+A而-A丽=-2A丽+而+AA=-ā+方+2. 4.【答案】A 【解析】解：充分性：当a=2时，号=≠之，满足两线平行的条件. 必要性：当l4/k时，=音≠分，则a=士2， 所以“a=2”是“11/2”的充分不必要条件. 5.【答案】B 【解析】解：由A(2,3,1),P(4,3,2)知，AP=(2,0,1),AP1=√5， 因为d=(1,1,1)为直线的一个方向向量， 所以点P到直线的距离为， m-(2=√52-(2=V2. √3 6.【答案】A 【分析】设直线1的倾斜角为a,0≤a<π，则有k=tana,0sa<π，作出y=tana(0≤a<π)的图象，由 图可得a的范围，即可得答案 【详解】设直线l的倾斜角为a,0≤a<π， 则有k=tana,0≤a<π， 作出y=tana(0≤a<元π)的图象，如图所示： 2元 由此可得ae0孕u受动， 4 42 故选：A. 第1页，共8页 扫描全能王创建 7.【答案】C 【解析】解：因为M,A,B,C四点共面，OM=x0A+y0E-OC(x>0,y>0) 所以由共面定理可得，x+y-1=1,即x+y=2, 所以+号=传+)c+)=5+义+的)， 因为2+22受=4， 当且仅当号=手即x=2y,即x=y=别，等号成立， 所以+=5+义+的≥5+4)=2 8.【答案】D 【解析】解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4,0,0),E(4,2,0),F(1,4,0),G(0,4,2), 所以FE=(3,-2,0),F元=(-1,0,2)， 设平面EFG的法向量为元=(a,bc),则·三=3a-2h=0, 元.FG=-a+2c=0 取a=2,则b=3,c=1,所以元=(2,3,1)， 设P(0,y,z),0≤y≤4,0≤z≤4，则AP=(-4,y,z): 若直线AP与平面EFG没有公共点，则AP//平面EFG, 所以AF.元=0，即-8+3y+z=0, 因为0≤y≤，052≤4，所以8三合-y≤解≤ys号 而1AP1=√16+y2+z2=√16+y2+(8-3y)7=√10y2-48y+80= 100-号)2+ 5 所以当y=号哈时，丽取得最小值受- 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.答案：ACD. 【解析】解：因为E,F分别为BC,CD的中点， 所以由乎=D,故A正确： 若A正+AF=AC可得A正=AC-AF=FC,由图可知AE,FC不共线，矛盾，故B错误： 因为AD+DC+CE=AC+CB=AB,故C正确： E为BC的中点， 第2页，共8页 器 扫描全能王创建 故A正=A丽+AG, 则AD-(A丽+AG)=D-×2A正=A而-A正=D,故D正确. 10.答案：AC 解：过点A(1,3),8(-3,1)的直线的斜率是是=克则倾斜角不为30，故A错误； 由直线2x-3y+6=0与直线ax+y+2=0垂直，得2a-3=0解得a=多故B正确： 直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是-8-1=95 722+=10 ,故C错误； 点A(2,3)关于x轴的对称点为A'(2,-3),连接A′B,交x轴于点P′， 则IPA+IPBI≥IP'A+IP'B=IP'AI+IP'B=IA'B=5,故D正确. 故选 11.【答案】BCD 【解析】解：以点D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， D 则C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0), 设点M(x,y,0),其中0≤x≤1,0≤y≤1， 设平面B1CD1的法向量为元=(x1,y1,z1),CD1=(0,-1,1),CB1=(1,0,1), 则低 取z1=-1,得m=(1,-1,-1),A1M=(x-1,y,-1), 若A1M1平面B1CD1,则A1M/m,则=兰=子 解得x=2,y=-1,与已知矛盾，A错误： 由1A1M=√(x-1)2+y2+1=√2，得(x-1)2+y2=1, 则点M在平面ABCD内的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆的号 因此动点M的轨迹长度为2=，B正确： 若A1M//平面B1CD1,则A1M⊥元，即A1M·元=x-1-y+1=x-y=0, 第3页，共8页 器 扫描全能王创建 因此点M在底面ABCD的轨迹为线段BD,点M的轨迹长度为BD=√2，C正确： 由于平面A1BDn平面ABCD=BD,A1Mc平面A1BD, 则点M的轨迹为线段BD,显然DB=(1,1,0),DE.元=0， 因此DB/平面B1CD1,而DB丈平面B1CD1, 即DB//平面B1CD1,因M∈BD,点M到平面B1CD1的距离为定值， 又△B1CD1的面积为定值，从而VB1-cD1M=VM-B1CD1为定值，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.解d= +4-2=5-1, V32+425 13.解：因为a=(2,0,2),=(0,1,1), 所以a6=2,=√2， 心向量a上的投影狗量为可·高=6广0,1，D 14.解：建立如图所示空间直角坐标系： 设P(a,3,c)(0≤a≤3,0≤c≤4)，则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,4), 所以AP=(a-3,3,c),BD1=(-3,-3,4), 因为AP⊥BD1, 所以AF.BD1=-3(a-3)-9+4c=0,解得c=a, 此时P=(a-33,子) 平面BCC1B1一个法向量为元=(0,1,0)， 记AP与平面BCC1B1所成的角为8， 则sin0=m烈 3 m同-Ja-32+9+2a)2a2-6a+18 当a=铝时，sin9取得最大值此时cos0= 3 所以tan的最大值为， 故答案为：昌 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),BC中点为D点，求： (1)BC边上中线AD所在直线的方程： (2)BC边的垂直平分线的方程. 第4页，共8页 器 扫描全能王创建 【解析】解：(1)根据题意，△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),BC中点为D, 则D的坐标为(0,2)， 而点A(-3,0),则直线AD方程为等+=1，即2x-3y+6=0, 故所求直线的方程为2x-3y+6=0. (2)根据题意，82,1)，C(-2,3),则直线8C的斜率kgc=品=- 则BC边的垂直平分线的斜率k=一C=2。 所以BC边的垂直平分线的方程为2x-y+2=0. 16.(本小题15分) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB=∠A1AC=60°，点M为△ABC的重心，AM的延 长线交BC于点N,连接A1M设AB=a,AC=万，A1A=元. A (1)用a,b,c表A1M: (2)证明：A1M⊥AB. 【答案】解：(1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，所以N为 BC的中点， 所以AN=A丽+AC,AM=A, 所以A1M=A1A+AM=-AA+A=-AA1+AB+3AC-3五+6-元. (2)设三棱柱的棱长为m, 则AM.A丽=(a+号万-可a=号2+a.万-ca=3m2+5m2×2-m2×2=0, 所以A1M⊥AB. 17.(本小题15分) 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中点，PD=DC=2. (1)证明：PA//平面BDE: (2)求点E到平面PAB的距离. 【详解】(I)以D为坐标原点，分别以D,DC,DP的方向为x轴， y轴，：轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系 则D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,02),E(0,1,1),B(2,2,0), 第5页，共8页 扫描全能王创建 所以PA=(2,0,-2),DE=(01,1,DB=(2,2,0). 设n=(x,y,)是平面BDE的一个法向量， aD5=2x+2y=0'令x=1,得y=-l,=1,所以4=，-1. 元·DE=y+z=0 则 因为PA·n=2-2=0,所以PA⊥n,又因为PAt平面BDE, 所以PA/I平面BDE. (2)因为AB=(0,2,0),BE=(-2,-1,1), 设n2=（x,y,0)是平面PAB的一个法向量， 则 n2·PA=2x。-20=0 ，令=1，得0=0,20=1，所以n3=(（1,0,1): n2·AB=2y%=0 所以点E到平面PAB的距离d= E四_上2+-2 √22 18.(本小题17分) 设直线的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aE): (1)证明：直线在过定点 (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (3)若直线交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,△A0B的面积为S,求S的最小值并求此时直线的方 程. 解：(1)由ax+x+y+2-a=0,得a(x-)+x+y+2=0 x-1=0,「x=1 x+y+2=0y=-3 所以直线经过定点（1,3) (2)当直线过原点时满足条件，此时2-Q=0,解得a=2,化为3x+y=0. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故a+1=1,解得a=0,可得直线的方程为x+y+2=0. 综上所述，直线的方程为3x+y=0或x+y+2=0, (3)令x=0,得y=a-2<0,解得a<2; 令y=0,得x=8>0,解得a>2或a<-1综上有a<-1. 第6页，共8页 器 扫描全能王创建 所以5=引a-2引 1 9 =2la+1+ +1~6l =3+2(-a-)+-。2 9 ≥3+2x2J(-a-1)x马=6， 当且仅当a=-4时取等号. 所以S的最小值是6，此时直线的方程为-3x+y+6=0,即3x-y-6=0. 19.(本小题17分) 在RtABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE/BC且DE经过·ABC的重 心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,M是A1D的中点，如图所示. (1)求证：A1C⊥平面BCDE: (2)求CM与平面A1BE所成角的大小： (3)在线段A1C上是否存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为？若存在，求出CN的长度：若不 存在，请说明理由， 【答案】解：(1)证明：因为在RtABC中，∠C=90°，DE/BC,且BC⊥CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD, 则折叠后，DE⊥A1D, 又A1DnCD=D,A1D,CDc平面A1CD, 所以DE⊥平面A1CD,A1Cc平面A1CD, 所以DE⊥A1C, 又已知A1C⊥CD,CDnDE=D且都在面BCDE内， 所以A1C⊥平面BCDE: (2)由(1)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系 C-xyz,因为AD=2CD,故DE=号BC=2, 由几何关系可知， CD=2,A1D=4,A1C=2V3, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0)， B(0,3,0),A1(0,0,2V3,M(1,0,V3, 第7页，共8页 扫描全能王创建 CM=(1,0,V3,A1E=(0,3,-2V3, A1E=(2,2,-2V3, 设平面A1BE的法向量为元=(x,y,z), 则石02 2x+2y-2W3z=01 不妨令y=2,则z=√3，x=1,故平面A1BE的一个法向量为元=(1,2，√3， 设CM与平面A1BE所成角的大小为0， 则有sn0=1os(风列=调=x意n号 4 所以9=平 即CM与平面A1BE所成角的大小为界 (3)假设在线段A,C上存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为Y, 在空间直角坐标系中，BM=(1,-3,V3),CM=(1,0,V3),CA1=(0,0,2V3, 设CN=1CA1,则CN=(0,0,2V3),BN=BC+C不=(0，-3,0)+(0,0,2√3)=(0，-3,2√3)， 设平面BMN的法向量为m=(x2,y2,22), 0 不妨令22=√3，则y2=21,x2=61-3,故平面BMN的一个法向量为2=(61-3,21，√3， 设平面CBM的法向量为=(x3,y3,z3), 防凭8纪=0不--一为=0 所以平面CBM的一个法向量为污=(-3,0，√3， 若平面CBM与平面BMN成角余弦值为号则满足lcos园网=哥需 19-18λ+31 =华，化简得2-3+1=0，解得1=1或号 2W3×9(21-1)2+42+3 即CN=CA或CN=CA, 故在线段A1C上存在这样的点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为界，此时CN的长度为V3或2V. 第8页，共8页 器 扫描全能王创建5.已知直线过点A(23,1),且五=(1,1,1)为其一个方向向量，则点P(432)到直线的距离为州) 号 B.V2 c四 D 高二 数学试卷 6设直线/的斜率为k,且一√万≤k<1,则直线/的倾斜角的取值范围为() 0 满分150分，时间120分钟 注意事项 升[陪 a悟 1、答题前，考生务必将自已的姓名，准考证号填写在答题卡上 2、不得随意在答题卡上涂改、乱画。使用黑色中性笔，认真规范答题，不得使用涂改液、修正带、透明胶等方法致错， c医 n[ 3、考试结束后。试卷本人存将答避卡交回。 7.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且O丽=x0A+y0丽-OCx>0,y>0),若M,A, 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 B,C四点共面，则+的最小值为 ) 符合题目要求的。 A4 B.5 1.已知直线过A(-11)、B(13)两点，则直线的倾斜角的大小为). c唱 D.9 &如图，正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为4，G,E分别是CC1,AB的中点，P是四边形CC1D,D内一动 A号 B醋 c D 点，所=BC,若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为列 2已知向量A丽=(L,m-3),AC=(-369,若A,B,C三点共线，则m=() A.V35 製 A-3 B.-2 C.2 D.3 B.4W7 3如图。在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，M为A1C1与B1D1的交点.若A丽=a,AD=不.A码=飞则下 C.5W5 列向量中与B永相等的向量是) A-五-五+ B五-五+ C吃a+五+忆 D.-拉+五+ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 4已知两条直线1：ax+4y-1=0,2:x+ay+2=0,则“a=2”是“l/八2”郸) 9如图，在四面体ABCD中，点E,F分别为BC,CD的中点，则() A充分不必要条件 B必要不充分条件 A乎=丽 B.A正+A正=AC C充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.而+DC+C丽=丽 D而-店+0=面 第1页，共3页 扫描全能王创建 10下列结论错误的是() 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A过点A(13),B(-3,1)的直线的倾斜角为30 15.(本小题13分) B.若直线2x-3y+6=0与直线ax+y+2=0垂直.则a=号 已知△ABC的三个项点分别为A(-30),B(2,1),C(-23).BC中点为D点，求 C直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是受 (I)BC边上中线AD所在直线的方程： (2)8C边的垂直平分线的方程。 D.己知A(23).B(-11),点P在x轴上，则PA川+1PB1的最小值是5 IL.在正方体ABCD-A1B1C,D中，AB=1,点M在底面正方形ABCD内及边界上运动，则) A存在点M,使得A1M⊥平面BCD B,若AM=V2,则动点M的轨迹长度浅 C.若A1M/平面B1CD1,则动点M的轨迹长度为√2 16.(体小题15分) D.若AMC平面A1BD,则三棱锥B1一CD,M的体积为定值 如图，三棱挂ABC-A1B1C的所有棱长都相等，A1AB=A1AC=60P,点M为△ABC的重心，AM的延长 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12点，1到直线3x+4y-2=0的距离是一 线交BC于点N,连接AM.设丽=G,C=i,AA=元. ()用a,b.表示AM 13.已知空间向量=(20,2)，b=(0,1,1),则向在向量拓上的投影向量的坐标是 (2)证明：A1M⊥AB. 14如图，在正四棱柱ABCD一A1B1CD1中，AB=AD=3,AM1=4,P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥ BD1,记AP与平面BCC,B,所成的角为0，则tam0的最大值为 第2页.共3页 扫描全能王创建 17.(本小题15分) 19.(本小题17分) 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中点，PD=DC=2. 在Rt△ABC中，∠C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE/BC且DE经过△ABC的重 (1)证明：PA//平面BDE: 心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,M是A1D的中点，如图所示. 如 (②)求点E到平面PAB的距离， ()求证：A1C⊥平面BCDE: (2)求CM与平面A,BE所成角的大小。 (③)在线段A,C上是否存在点M,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为泾？若存在，求出CN的长度：若不 存在，请说明理由 製 18(本小题17分)】 设直线的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aeR). (1)证明：直线恒过一定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程： (3)若直线交x轴正半轴于点A,交轴负半轴于点B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线的方 程 第3页，共3页 扫描全能王创建