精品解析：山西晋城市第一中学校2026-2027学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题

山西晋城市第一中学校2026-2027学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2. 已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出斜率即可得出倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可得直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设该正三棱台的高为h，则， 且上底面面积，下底面面积， 所以该正三棱台的体积. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 7. 某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面列式计算求解. 【详解】因为入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面， 所以反射激光的方向向量为， 所以，所以， 对于A，，，符合题意，A选项正确； 对于B，，不符合题意，B选项不正确； 对于C，，，不符合题意，C选项不正确； 对于D，，，不符合题意，D选项不正确； 8. 已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可设，，，从而求得，，结合空间向量的坐标运算即可求解的最小值. 【详解】因为，，设，，， 又，所以，且，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 已知，，，，，分别是平面，的法向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用空间向量坐标运算求得、的坐标，再利用线线关系、线面关系、面面关系进行各选项的判断. 【详解】由题意，得，， 因为，所以，即，则A选项正确； 因为，所以或，则B选项错误； 因为，所以，即，则C选项正确； 因为，所以，则D选项正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（ ）． A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标关系即可求解AB，利用体积公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点距离公式，结合对称关系即可求解D. 【详解】以A为原点建立坐标系，则，，, ，，, 时，,故， ,故， 平面，故平面，A正确， 当时，， 由于，故，， 平面,平面,故平面，B正确； 由 当时，， ，故C错误； 当时，则， ， 可将看作是平面内到点的距离之和， 如图：作出关于直线的对称点， 则的最小距离为与点之间的距离， 故， 过与点的直线方程为，令，则， 故当时取等号，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：，将看作是平面内到点的距离之和，利用对称求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】斜率为4且过点的直线方程为，整理为. 13. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 14. 如图，与都是边长为3的等边三角形，分别是各边上的三等分点，沿分别将折起，使得点共面，依次连接各点且满足，由此得到一个多面体，则该多面体的高为___________，该多面体的外接球的表面积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先判断所得多面体的形状，确定上下底面中心连线的长度即为该多面体的高，可求高；进一步确定上下底面中心的中点为外接球球心，求出外接球半径，进而可求外接球的表面积． 【详解】如图1， 该多面体是上、下底面互相平行且边长为1的正六边形，侧面是12个边长为1的等边三角形． 设上、下底面的中心分别为是GH的中点，连接，易知四边形是直角梯形． 如图2，，过点作，垂足为，则. 设该多面体的外接球球心为，则球心是的中点，连接BQ，则BQ为该多面体的外接球的半径， 于是半径， 所以外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算求出相应坐标，再利用向量垂直关系即可求解； （2）根据空间向量模长公式以及平行关系即可求解. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以，又， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为，又， 设，又，所以， 解得， 当时，；当时，， 即向量的坐标为或. 16. 已知直线l：． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 【答案】（1） 由l：，即，则， 解得，所以直线过定点． （2）． 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知直线l：，且由题意知， 令，得，得，令，得，得， 则，， 所以当时，S取最小值， 此时直线l的方程为，即． 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 【答案】（1）由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求的值； （3）若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）记为与的交点，则平面， 又平面，所以平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）记为与的交点，根据投影的定义和面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据空间向量运算得，则得到的值； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，从而求出的长度，最后再计算比值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由矩形性质可知， 即，故， 由不共面，可得，于是． 【小问3详解】 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系． 不妨设，则， ， 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面与平面的夹角为， 则，解得． 于是． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西晋城市第一中学校2026-2027学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 已知，，，，，分别是平面，的法向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（ ）． A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 13. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 14. 如图，与都是边长为3的等边三角形，分别是各边上的三等分点，沿分别将折起，使得点共面，依次连接各点且满足，由此得到一个多面体，则该多面体的高为___________，该多面体的外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 16. 已知直线l：． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求的值； （3）若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $