精品解析：福建泉州市永春蓬壶学校2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

2026秋八年级（上）数学第一次月考试卷 （考试范围：10.1~11.4·考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 在、、、、这个数中，无理数共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列说法正确的是（ ） A. 没有立方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 的立方根是 5. 计算：=（ ） A. B. C. D. 6. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若x+y＝6，x2+y2＝20，求x-y的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ±2 8. 如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 12. 已知， ， 则=_________． 13. 已知实数满足，则________． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 15. 已知，，，那么，，满足的等量关系是______． 16. 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是____．（填序号） ①；②；③这个两位数为；④的运算结果大于2500 三、解答题：（共86分） 17. 计算： ． 18. 计算： ． 19. 计算： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用1来表示的小数部分．根据这个方法完成下列问题： （1）的整数部分为 　，小数部分为 　； （2）已知的整数部分a，6的整数部分为b，求a+b的立方根． 22. 按要求计算下列各题 （1）计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； （2）求．．．+的值． 23. 形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 例：用配方法求代数式的最小值． 解：原式． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）用配方法求代数式的最小值； （2）若实数，满足，则的最小值为 ． 24. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： （1）写出图2中所表示的数学等式____________． （2）根据图4，分解因式：____________． （3）已知，求的值． （4）如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 25. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽． 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为__________ 一般结论：正方形的对角线与边长的比是__________ 【项目素材】如图2，按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． 【任务探究】 （2）任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3）任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好和点重合，求纸的长与宽之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋八年级（上）数学第一次月考试卷 （考试范围：10.1~11.4·考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵±3的平方是9， ∴9的平方根是±3， 故选：C． 2. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，A不符合题意； ，B符合题意； ，C不符合题意； ，D不符合题意． 3. 在、、、、这个数中，无理数共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，判断各数是否为无理数． 【详解】解：，，均为有理数； ，均为无理数． 无理数共有个． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 没有立方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 的立方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根、平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：、有立方根，该选项说法错误； 、的立方根是，该选项说法错误； 、 的平方根是，该选项说法错误； 、的立方根是，该选项说法正确． 5. 计算：=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把原式转化为，再利用积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 6. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴， 故选：C． 7. 若x+y＝6，x2+y2＝20，求x-y的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x−y）2，再开方即可． 【详解】解：∵x＋y＝6，x2＋y2＝（x＋y）2−2xy＝20， ∴2xy＝62−20＝16， ∴xy＝8， ∴（x−y）2＝x2＋y2−2xy＝20−2×8＝4， ∴x−y＝±2， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 8. 如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案． 【详解】解：∵，拼成的长方形一边长为m， ∴． 故另一边长为：． 故选：C． 9. 已知，则的值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方差公式将分解成，然后将整体代入，再化简得结果为，再利用提公因式法分解因式得结果为，然后再次将整体代入即可得解． 本题主要考查了分解因式和整体代入法求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 10. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先求出3=，再比较即可． 【详解】∵32=9＜10， ∴＞3， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法． 12. 已知， ， 则=_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得： ， 把，代入式子得： 原式． 13. 已知实数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 15. 已知，，，那么，，满足的等量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂的乘方法则可得出，．再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法．掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题关键． 16. 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是____．（填序号） ①；②；③这个两位数为；④的运算结果大于2500 【答案】③ 【解析】 【分析】根据题意得出或，或，即可判断①②，由第二行可得，即可判断③，由即可判断④． 【详解】解：依题意，如图所示， ∴或，或，故①②不一定正确； 由第二行可得： ∴ ∴这个两位数为，故③正确； ∵ ∴，故④错误． 综上所述，一定正确的是③． 三、解答题：（共86分） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算各部分的值，再合并计算结果． 【详解】解：原式． 18. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】按运算法则依次计算单项式乘法、积的乘方、同底数幂除法，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用1来表示的小数部分．根据这个方法完成下列问题： （1）的整数部分为 　，小数部分为 　； （2）已知的整数部分a，6的整数部分为b，求a+b的立方根． 【答案】（1）6，；（2）的立方根是． 【解析】 【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可； （2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为 6，小数部分为； 故答案为：6，； （2）∵，， ∴，， 则，即， ∴的整数部分为 4，整数部分为 4， 即，， ∴， 的立方根是． ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了无理数的估算及立方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 按要求计算下列各题 （1）计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； （2）求．．．+的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）中三个具体的根式计算，对每个根号内的分式通分化简，根据完全平方公式将被开方数变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性去掉根号，得到每个根式的化简结果，从中找出规律．推导的通用化简公式，将其变形为可裂项的形式． （2）将每一项用上述通用公式拆分，利用裂项相消法，相邻项抵消后计算剩余项的和 【小问1详解】 ，而​，第一个空填； ，而，第二个空填​； ​，而​，第三个空填． 可以总结规律：对正整数，， 展开通分也可验证根号内的式子刚好是完全平方：， 开算术平方后直接得到上述结果． 【小问2详解】 根据上面的规律，把每一项都拆分改写：原式的每一项从到，代入规律可得： 原式 ． 23. 形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 例：用配方法求代数式的最小值． 解：原式． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）用配方法求代数式的最小值； （2）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】（1）最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）将代数式配方为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最小值； （2）将已知等式变形为用含的式子表示，代入后配方，利用平方的非负性求最小值． 【小问1详解】 解： ． ， ， 的最小值为． 【小问2详解】 解：， ， ． ， ， 的最小值为． 24. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： （1）写出图2中所表示的数学等式____________． （2）根据图4，分解因式：____________． （3）已知，求的值． （4）如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【小问1详解】 图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： 【小问2详解】 图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． 【小问3详解】 设，，则，． 根据完全平方公式变形：． 【小问4详解】 由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义与代数变形，涉及知识点包括完全平方公式、因式分解、代数式求值．解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形（如），并准确将几何图形的边长、面积与代数表达式对应． 25. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽． 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为__________ 一般结论：正方形的对角线与边长的比是__________ 【项目素材】如图2，按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． 【任务探究】 （2）任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3）任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好和点重合，求纸的长与宽之比． 【答案】（1）， （2）2，2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求出边长长度；观察图形找出小正方形的对角线即是大正方形边长，大正方形对角线即是两个小正方形边长之和，即可求出大小正方形对角线和边长之比，从而总结出正方形的对角线与边长的比． （2）根据对折的性质即可求出面积比，根据对折的性质先求出长和宽的变化，利用周长公式即可求出纸周长是纸周长的几倍． （3）根据第一次折叠落在边上即可判断第一次折叠形成了正方形，利用第二次折叠可判断，然后根据正方形对角线与边长比即可求出纸的长与宽之比． 【小问1详解】 解：大正方形的面积是2， 大正方形的边长为． 小正方形的边长为1，小正方形对角线的长度是大正方形的边长即， 小正方形对角线与边长比为． 大正方形的边长为，大正方形对角线的长度是两个小正方形边长之和，即， 大正方形对角线与边长比为． 正方形的对角线与边长比为． 【小问2详解】 解：的面积是，是对折而来， 的面积为， 是对折而来， 的面积是， 的面积是面积的倍． 设的长和宽分别为，则的长和宽分别为，的长和宽分别为， 的长和宽分别为，的长和宽分别为， 的周长为， 的周长为， 的周长是周长的倍． 【小问3详解】 解：由题意，根据折叠性质可知，第一次折叠后是正方形， 由（1）可知，正方形对角线与边长之比为， ， ， 纸的长与宽比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $