精品解析：福建漳州市诏安县某校2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027第一次月考八年级上册数学试卷 测试范围：第一章、第二章 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，先化简，再根据无理数是无限不循环小数进行判断各数即可，掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：是分数，，是整数，它们不是无理数， （相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数； B、，故是勾股数； C、，故不是勾股数； D、，故不是勾股数； 故选：B． 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、平方根等知识，根据相关法则计算即可得到答案. 【详解】A. ，故选项正确，不符合题意； B. ，故选项错误，符合题意； C. 故选项正确，不符合题意 D. 故选项正确，不符合题意 故选：B 4. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 5. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形A 的面积． 【详解】如图， 由题意得：，，， ， 正方形的面积为6， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是本题解题关键． 6. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 8. 一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，斜边长为，两条直角边长分别为，， ∴面积为． 9. 已知，且，则的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：，，，， ， 故选：C． 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 16的平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，找出平方等于的数即可求解． 【详解】∵ ，， ∴ 的平方根为． 12. 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，将整数化为二次根式后比较被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵两个分数的分母都是，且均为正数， ∴只需比较分子和的大小， ∵，且， ∴， ∴． 13. 如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，圆柱展开图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆柱展开图． 根据线段中点得出，根据圆柱展开图确定最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵P为的中点， ∴， 根据圆柱展开图可得，， 由勾股定理得，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为： ， 故答案为：13． 14. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 15. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 三、解答题（总分86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）7 （2）0 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 已知和是实数m的两个不同的平方根，求x，m的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得， 解得， ． 19. 如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连结，根据勾股定理计算出的长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而利用求得四边形的面积． 【详解】连结， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查多边形的面积，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的方法． 20. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】（1） 解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2） 所作三角形如图所示（图不唯一）： 直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 该三角形为直角三角形． 21. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求： （1）的长； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理即可求得的长； （2）设，则，，在中利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：由折叠性质可知，， 在中，，， 由勾股定理得：， 即的长为． 【小问2详解】 解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 展开得， 化简得，， 解得， 即的长为． 22. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． 【小问2详解】 设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 23. 化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质______（）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮； （2）； 【解析】 【分析】（1）正确利用二次根式的性质判断即可； （2）先将根号下的二次多项式整理为完全平方的形式，结合二次根式的性质，将根号转化为绝对值的形式，由于，所以，可得绝对值去掉后需取相反数，因此原式最终化简为，代入计算即可． 【小问1详解】 解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：． 【小问2详解】 解： ， ， 原式． 24. 阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得_______，分母有理化得______． （2），求的值； （3）利用上述方法，化简． 【答案】（1）， （2）322 （3）27 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）利用分母有理化直接求解； （2）先利用分母有理化把x、y化简，然后再求它们的和与积，再利用完全平方公式变形求解即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：322； 【小问3详解】 解： ． 25. 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】（1） ， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）新路比原路少1米 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． 【小问3详解】 解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一次月考八年级上册数学试卷 测试范围：第一章、第二章 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 16的平方根是_________． 12. 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 13. 如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 14. 化简：________． 15. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 三、解答题（总分86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知和是实数m的两个不同的平方根，求x，m的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 20. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 21. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求： （1）的长； （2）的长． 22. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 23. 化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质______（）； （2）先化简，再求值：，其中． 24. 阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得_______，分母有理化得______． （2），求的值； （3）利用上述方法，化简． 25. 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $