精品解析：江苏无锡市侨谊实验中学2026-2027学年八年级第一学期数学10月自主练习

2026—2027学年第一学期自主练习 八年级数学 考试时间：80分钟 满分分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 2. 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】估算出实数的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即表示实数的点在2和3之间， ∴数轴上表示实数的点可能是Q． 3. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 4. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数是，且点在点右侧， ∴点表示的数为：， 故选：． 5. 已知x是5的算术平方根，则的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用算术平方根的意义求得x值，再利用立方根的意义解答即可． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根是， 故选：D 【点睛】本题主要考查了立方根的意义和算术平方根的意义，熟练掌握实数定义与法则是解题的关键． 6. 如图，，，、相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴共有四对． 7. 无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据已知条件，求出的取值范围，然后分两种情况讨论：①当，②时，分别判断各个选项中的式子的正负，然后再逐一进行判断即可． 【详解】解：，且为正整数， 且为整数， 当时，的整数部分，， ，，，， 当时， ，，，， 综上可知：，，选项不成立，选项一定成立， 故选：B． 8. 如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）． A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案． 【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小， ∵四边形的内角和为， ∴， 即①， 由作图可知：，， ∵的内角和为， ∴②， 方程①和②联立方程组， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键． 9. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 二．填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在实数中，最小的无理数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，先确定无理数，再比较大小即可． 【详解】无理数有，，，可知， 所以最小的无理数是． 故答案为：． 12. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度 【答案】90 【解析】 【分析】先利用HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠BCA=∠EFD，又因为∠ABC+∠BCA=90°，所以∠ABC+∠DFE=90°． 【详解】解：∵AC⊥AB，ED⊥DF， ∴∠CAB=∠FDE= 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠BCA=∠EFD． ∵AC⊥AB， ∴∠ABC+∠BCA=， ∴∠ABC+∠DFE=． 故答案为：90． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质的运用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法． 13. 如图，在和中，，，，则________º． 【答案】130 【解析】 【分析】证明△ABC≌△ADC即可． 【详解】∵，，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠D=∠B=130°， 故答案为：130． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键． 14. 实数、、在数轴上位置如图所示，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】观察数轴得：，可得，再根据算术平方根以及立方根的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ 15. 如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：观察图形可知，涂色部分由下方的一个正方形和上方的一个梯形组成， 下方正方形的边长为，面积为，上方梯形的上底为，下底为，高为，上方梯形的面积为， ∴涂色部分的总面积为， 设拼成的正方形的边长为，则， ， ， 即所拼成的正方形的边长应是． 16. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 17. 已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出，，的值，再比较与的大小即可． 【详解】解：∵，且，，， ∴， 解得，， ∴， ∵，且a、b、c都是正数， ∴ ． 18. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三．（计算题：本大题共2小题，共20分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 求下列各式中x的值： （1） （2） 【答案】（1）x＝﹣5 （2）x1＝8，x2＝﹣4 【解析】 【分析】（1）根据立方根定义求解即可； （2）移项后，根据平方根定义求解即可． 【小问1详解】 解：开立方得：＝﹣3， 解得：x＝﹣5． 【小问2详解】 方程整理得：， 开方得：x﹣2＝±6 ， 解得：x1＝8，x2＝﹣4. 【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 四．解答题：（本题共5小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ． （2） 证明：， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，为边的中点，点在线段上，连接，，，．求证：． 【答案】证明：∵在中，，为边的中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得；利用三角形外角的性质可得，即；再根据等角对等边即可证明结论． 【详解】略 23. 如图，在正方形网格中，整个小正方形的顶点叫做格点．已知点，，均在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在网格中画；画，垂足为； （2）比较大小：______，理由是______； （3）点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线，（保留作图痕迹，不写作法，用铅笔加黑加粗）． 【答案】（1） 如图所示，、即为所求； （2），垂线段最短 （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、，作直线，连接交于点即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）以为一边，利用尺规作，则． 【小问1详解】 解：取格点、、，连接、，则、在格线上，格线交于点， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴、即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作一个角等于已知角，无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质，平行线的判定，垂线段最短，三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图1，在四边形中，平分，． （1）求证: ； （2）如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）①； ②证明：取中点，连接交于，连接， ∵，，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线交于，连接并延长至，使，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为中点， ∵中点M， ∴与重合， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到； （2）①过作交于，证明，得到，则是等腰直角三角形，即可得到； ②取中点，连接交于，连接，证明，得到，即可得到，则，即，设直线交于，连接并延长至，使，连接，根据倍长中线模型得到，，即可得到，则得到为中点，则与重合，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过作交于， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期自主练习 八年级数学 考试时间：80分钟 满分分值：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知x是5的算术平方根，则的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，，，、相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 7. 无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）． A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 9. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在实数中，最小的无理数是_______． 12. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度 13. 如图，在和中，，，，则________º． 14. 实数、、在数轴上位置如图所示，化简________． 15. 如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 16. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则___________ ． 17. 已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 18. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三．（计算题：本大题共2小题，共20分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各式中x的值： （1） （2） 四．解答题：（本题共5小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 22. 如图，在中，，为边的中点，点在线段上，连接，，，．求证：． 23. 如图，在正方形网格中，整个小正方形的顶点叫做格点．已知点，，均在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在网格中画；画，垂足为； （2）比较大小：______，理由是______； （3）点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线，（保留作图痕迹，不写作法，用铅笔加黑加粗）． 24. 如图1，在四边形中，平分，． （1）求证: ； （2）如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $