精品解析：吉林长春市榆树市慧望初级中学2026-2027学年九年级上学期10月不情自测数学试题

榆树市慧望2026-2027学年九年级上学期10月 数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，即可得答案. 【详解】解：由题意，得x-1≥0，解得x≥1故选C. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 3. 一元二次方程两根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 将所求分式拆分为已知比例与1的和，代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 6. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 8. 如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点的初始坐标，根据变换规则写出前几次变换后的坐标，归纳出横、纵坐标的变化规律，代入 求解即可． 【详解】解：，， ，中点横坐标为， 为正三角形，点在第一象限， ∴点横坐标为，纵坐标为， 即， ∴再向右平移个单位长度， ∴第次变换后，点坐标为，即， 同理，第次变换后，点坐标为，即， 第次变换后，点坐标为，即， ， ∴第次变换后，点的横坐标为 ；当为偶数时，纵坐标为，当为奇数时，纵坐标为， 为偶数， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式进行分母有理化即可化简． 【详解】解： ． 11. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】1014 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，得到与的关系式，整理出的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 整理得， 两边同除以得， 因此． 12. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 对比，得． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点，．过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，根据平行于轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点和点的坐标，进而得到点的坐标及线段、、的长度. 利用平行线性质证明，根据相似三角形对应边成比例求出与的关系，结合即可求解． 【详解】解：∵点在轴正半轴上， ∴设点的坐标为，其中， ∵直线平行于轴， ∴点和点的纵坐标均为， ∵点、分别在函数和的图象上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴点的坐标为， ，，， ∵轴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴． 14. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】设正方形的边长为，利用勾股定理求出的长，根据作图过程表示出、等线段的长，分别计算四个矩形宽与长的比值，符合的即为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、分别是、的中点， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∵以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点， ∴， ，， 对于矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于②矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 对于③矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于④矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 综上所述，是黄金矩形的是①③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】按运算顺序先计算二次根式乘除，再化简合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 16. 下面是小敏同学解方程“”的过程： 解：．……第一步 ．……第二步 则或．……第三步 解得，．……第四步 （1）在，中，哪一个不是方程的解？说明理由； （2）小敏同学在第______步开始出现错误； （3）直接写出该方程的正确解______． 【答案】（1）不是方程的解， 理由：将代入原方程， 左边，右边，左边右边， 故是方程的解； 将代入原方程， 左边，右边，左边右边， 故不是方程的解； （2）二 （3）， 【解析】 【分析】（1）把，分别代入原方程验证即可； （2）根据提公因式后出现的符号问题回答即可； （3）用因式分解法解方程即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：小敏同学在第二步开始出现错误； 【小问3详解】 解：． ． 则或． 解得，． 17. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 【答案】河的宽度大致为96.7米 【解析】 【分析】观察图中的对顶角相等和一组直角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，然后根据“相似三角形对应边成比例”，求解未知边长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 某校九年级组织秋季篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求该校九年级有多少个班级． 【答案】 该校九年级有个班级 【解析】 【分析】根据单循环赛制的总场次等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根得到结果． 【详解】解：设该校九年级有个班级， ∵赛制为单循环形式，每两班之间都赛一场， ∴每个班级需与其余个班级各赛一场，所有班级的参赛场次总和为， ∵每场比赛由个班级参赛，会被重复计算次， ∴实际总比赛场次为， 根据题意得， 解得，， ∵班级数量为正整数， ∴不符合题意，舍去． 答：该校九年级有个班级． 19. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当______（写出一个即可）时，原方程有两个实数根，且两根异号． 【答案】（1） （2）（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有实数根时判别式非负的性质，列不等式求解k的取值范围． （2）结合两根异号时两根之积为负的条件，与有实根的条件联立，确定k的取值范围后选取符合条件的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：设方程的两根为， 方程有两个实数根且两根异号， 且， 由根与系数的关系得， 结合（1）中，可得 ， 则可取（答案不唯一）． 20. 在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； （2）在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求； （2）解：根据题意，画图如下： 则点F，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可； （2）根据三角形相似的判定，解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 21. 阅读材料：是一个无理数，且，所以的整数部分是1，将去掉它的整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分是． 已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）类比可得：____________，____________． （2）计算； （3）写出一个二次项系数是1的一元二次方程，且它的两个根是a和b． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定​的取值范围，再根据“小数部分=原数-整数部分”得到． （2）计算时，把第一步得到的代入表达式，因为是带根号的表达式，所以计算时需要用到分母有理化的方法，再合并同类项得到结果． （3）构造一元二次方程时，因为二次项系数为1，所以如果方程的两个根为和，那么根据韦达定理，方程可写为，先计算和的值，再代入即可得到对应方程． 【小问1详解】 解：，， 因此， 所以的整数部分； 用原数减去整数部分得到小数部分，即． 【小问2详解】 解：把代入式子：． 先对分母有理化： ， 相加计算： ． 【小问3详解】 解：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为a，b， 根据根与系数关系，方程为， 两根和：， 两根积：， 代入根与系数关系的形式，就得到符合要求的方程． 22. 如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． （1）上述三个说法正确的是：________（填序号）： （2）选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； （3）若，且，，则的长为________． 【答案】（1）①② （2）证明：选择①：∵，， ∴， 选择②：∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①②正确；③错误； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 又，， ， 解得或（负值舍去）． 23. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． （1）________； （2）用含的代数式表示、的长度； （3）当时，求的值； （4）当时，求的值． 【答案】（1） （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）结合点和点的运动速度求解即可； （3）利用列式求解即可； （4）利用列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴． 【小问2详解】 解：动点的速度为每秒，运动时间为秒，因此； 动点从出发速度为每秒，秒后， 结合，得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． 【小问4详解】 解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． 24. 在矩形中，，（），点E，G在上，点F，H在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点C恰好落在上同一点P处，点A的对应点为，点D的对应点为． （1）如图，当时， ①求证：； ②当时，m的值为______； ③当时，m的值为______． （2）当，且时，的长为______． 【答案】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：，，， ， ∴共线，同理共线， ， ， 又， ， ， 又， ； ②； ③； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质及折叠的性质得到，根据角的和差得到，即可证明； ②根据面积比是相似比的平方，得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，求出的值，进而可知m的值； ③，根据已知条件求出面积比，从而得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，求出的值，进而可知m的值； （2）根据已知条件推出，，利用三角形面积公式和已知条件得出和的关系，利用勾股定理求出，的长度，利用矩形的性质，结合图形得到的长度即可． 【小问1详解】 ①略； ②解：由矩形的性质可得，，， 由折叠性质得：，，，，，， ∵， ∴， ， ， 即， ∴， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， ∴； ③解：由折叠性质得：，，，，，， ∵， ∴， ，， ， 即 ∴， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， ，， 由折叠可知：，，，，，，，，，； ，，，， ，， ，， 设， ， ， 故， ， ， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市慧望2026-2027学年九年级上学期10月 数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程两根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：___________． 10. 化简：___________． 11. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 12. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点，．过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为___________． 14. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： 16. 下面是小敏同学解方程“”的过程： 解：．……第一步 ．……第二步 则或．……第三步 解得，．……第四步 （1）在，中，哪一个不是方程的解？说明理由； （2）小敏同学在第______步开始出现错误； （3）直接写出该方程的正确解______． 17. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 18. 某校九年级组织秋季篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，求该校九年级有多少个班级． 19. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当______（写出一个即可）时，原方程有两个实数根，且两根异号． 20. 在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； （2）在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 21. 阅读材料：是一个无理数，且，所以的整数部分是1，将去掉它的整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分是． 已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）类比可得：____________，____________． （2）计算； （3）写出一个二次项系数是1的一元二次方程，且它的两个根是a和b． 22. 如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． （1）上述三个说法正确的是：________（填序号）： （2）选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； （3）若，且，，则的长为________． 23. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． （1）________； （2）用含的代数式表示、的长度； （3）当时，求的值； （4）当时，求的值． 24. 在矩形中，，（），点E，G在上，点F，H在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点C恰好落在上同一点P处，点A的对应点为，点D的对应点为． （1）如图，当时， ①求证：； ②当时，m的值为______； ③当时，m的值为______． （2）当，且时，的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $